6．2.2 直线上向量的坐标及其运算6．2.3 平面向量的坐标及其运算
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．(多选)在数轴上有M，N，P三点，其中点M，P的坐标分别是2和－3，且满足MN＝3NP，则点N的坐标可以是( )
A． B．－ C．－ D．－
2．已知A(2，3)，B(4，2)，C(1，)，D为线段AB的中点，则CD＝( )
A． B． C．2 D．
3．已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2) B．a＝(9，3)
C．a＝(－1，2) D．a＝(－4，－8)
4．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则m＝( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
5．已知M(2，－1)，N(0，5)，且点P在MN的延长线上，|MP|＝2|PN|，则P点坐标为( )
A．(－2，11) B．(，3)
C．(，3) D．(－2，12)
6．已知向量a＝(1，2)，b＝(x，6)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u∥v，求实数x的值；
(2)若a，v不共线，求实数x的值．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)已知向量a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，则b可能是( )
A．(4，－8) B．(8，4)
C．(－4，－8) D．(－4，8)
8．(多选)已知向量＝(1，－3)，＝(－2，1)，＝(t＋3，t－8)，若点A，B，C能构成三角形，则实数t可以为( )
A．－2 B． C．1 D．－1
9．(多选)已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且＝＋t，下列结论正确的是( )
A．若点P在x轴上，则t＝－
B．若点P在y轴上，则t＝－
C．若点P在第二象限，则－＜t＜－
D．存在t，使得四边形OABP为平行四边形
10．已知平行四边形ABCD的三个顶点A(－2，1)，B(2，2)，C(3，6)，而且A，B，C，D按逆时针方向排列，则
(1)AB＝________；
(2)D点的坐标为________．
11．已知＝(1，1)，＝(3，－1)，＝(a，b).
(1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
(2)若＝2，求点C的坐标．
12．已知a＝(2，1)，b＝(3，－4)，当λ为何值时，λa－b与a＋2b平行？平行时，它们是同向还是反向？
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．平面上有A(2，－1)，B(1，4)，D(4，－3)三点，点C在直线AB上，且＝，连接DC并延长至点E，使||＝||，则点E的坐标为________.
14．已知向量＝(4，3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2).
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
6．2.2 直线上向量的坐标及其运算
6．2.3 平面向量的坐标及其运算
1．答案：BC
解析：如图，当N点在线段MP上时，设N点坐标为x，则MN＝2－x，NP＝x＋3，
则2－x＝3(x＋3)，解得x＝－.
当N在P点左侧时，设N点坐标为x，则MN＝2－x，NP＝－3－x，则2－x＝3(－3－x)，解得x＝－.
综上，N点的坐标为－或－.
2．答案：C
解析：由题意，得D(3，)，
所以CD＝＝2.
3．答案：D
解析：＝(3－2，1＋1)＝(1，2)，∵(－4，－8)＝－4(1，2)，∴(－4，－8)满足条件．
4．答案：A
解析：a＋b＝(2－1，－1＋m)＝(1，m－1)，由(a＋b)∥c，得1×2－(m－1)×(－1)＝0，即m＝－1.
5．答案：A
解析：因为P在MN的延长线上且|MP|＝2|PN|，
所以＝2，则－＝2(－)，
所以＝2－＝2(0，5)－(2，－1)，
即＝(－2，11).
6．解析：(1)u＝a＋2b＝(1，2)＋(2x，12)＝(1＋2x，14)，
v＝2a－b＝(2，4)－(x，6)＝(2－x，－2).
由u∥v，故－2(1＋2x)＝14(2－x)，得x＝3.
(2)由a∥v可知，－2＝2(2－x)，
得x＝3.若a，v不共线，则x≠3.
7．答案：AD
解析：∵a＝(1，－2)，|b|＝4|a|，a∥b，∴b可能是(4，－8)或(－4，8).
8．答案：ABD
解析：∵向量＝(1，－3)，＝(－2，1)，＝(t＋3，t－8)，∴＝(－2，1)－(1，－3)＝(－3，4)，＝(t＋3，t－8)－(1，－3)＝(t＋2，t－5)，∵点A，B，C能构成三角形，∴≠λ，∴(－3，4)≠(λt＋2λ，λt－5λ)，得t≠1.结合选项，可知实数t可以为－2，，－1.
9．答案：ABC
解析：由已知得＝(1，2)，＝(4，5)，＝(3，3)，＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t).对于A，若点P在x轴上，则有2＋3t＝0，t＝－，A正确；对于B，若点P在y轴上，则有1＋3t＝0，t＝－，B正确；对于C，若点P在第二象限，则有解得－10．答案：(1) (2)(－1，5)
解析：(1)由两点间距离公式，得
AB＝＝.
(2)由题意知＝，所以－＝－.
因此＝＋－＝(－2，1)＋(3，6)－(2，2)＝(－1，5)，从而D(－1，5).
11．解析：由题意知，＝－＝(2，－2)，＝－＝(a－1，b－1).
(1)若A，B，C三点共线，则∥，
即2(b－1)－(－2)×(a－1)＝0，
故a＋b＝2.
(2)∵＝2，∴(a－1，b－1)＝(4，－4)，
∴∴即点C的坐标为(5，－3).
12．解析：λa－b＝λ(2，1)－(3，－4)＝(2λ－3，λ＋4)，
a＋2b＝(2，1)＋2(3，－4)＝(8，－7).
∵(λa－b)∥(a＋2b)，
∴8(λ＋4)＋7(2λ－3)＝0，解得λ＝－.
∴－a－b＝(－×2－3，－＋4)＝(－4，)，
即λa－b＝－(a＋2b).
故当λ＝－时，λa－b与a＋2b平行，平行时它们反向．
13．答案：(，－7)
解析：设坐标原点为O，
∵＝，∴－＝(－).
∴＝2－＝(3，－6).
∴点C的坐标为(3，－6).
又||＝||，且E在DC的延长线上，
∴＝－.
设E(x，y)，则(x－3，y＋6)＝－(4－x，－3－y)，
得
解得
∴点E的坐标为(，－7).
14．解析：(1)设点B的坐标为(x1，y1).
∵＝(4，3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4，3).
∴∴
∴B(3，1).
同理可得D(－4，－3).
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴点M的坐标为(－，－1).
(2)由已知得＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).
又＝λ，∴(1，1－y)＝λ(－7，－4)，
即∴
16．2 向量基本定理与向量的坐标 6．2.1 向量基本定理
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A．e1，e2
B．e1＋e2，3e1＋3e2
C．e1，5e2
D．e1，e1＋e2
2．如图，向量a－b等于( )
A.－4e1－2e2
B．－2e1－4e2
C．e1－3e2
D．3e1－e2
3．如图所示，矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则等于( )
A.(5e1＋3e2)
B．(5e1－3e2)
C．(3e2＋5e1)
D．(5e2－3e1)
4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y的值为( )
A．3 B．－3
C．0 D．2
5．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则( )
A．＝－＋
B．＝－
C．＝＋
D．＝－
6．如图，四边形OADB是以向量＝a，＝b为边的平行四边形．又BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示，，.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则＝
D.若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
8．(多选)已知a，b为非零不共线向量，向量8a－kb与－ka＋b共线，则k＝( )
A．2 B．－2
C．－8 D．8
9．已知点P是△ABC所在平面内的一点，边AB的中点为D，若2＝(1－λ)＋，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．AB边所在的直线上 B．BC边所在的直线上
C．AC边所在的直线上 D．△ABC的内部
10．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．
11．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
12．已知两个非零向量a和b不共线，＝2a－3b，＝a＋2b，＝ka＋12b.
(1)若2－3＋＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
核心素养升级练进阶训练第三层
13．如图所示，在△ABC中，点M为AB的中点，且＝，与相交于点E，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示.
14．已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，与不共线．
(1)在△OAB中，点P在AB上，且＝2，若＝r＋s，求r＋s的值；
(2)如图，点P满足＝m＋(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值．
6．2.1 向量基本定理
1．答案：B
解析：因为e1和e2是两个不共线向量，所以e1和5e2、e1和e1＋e2分别是两个不共线向量，所以A、C、D均能作为基底；B中，3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，所以两向量是共线向量，不能作为基底．
2．答案：C
解析：不妨令a＝，b＝，
则a－b＝－＝，
由平行四边形法则可知＝e1－3e2.
3．答案：A
解析：＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2).
4．答案：A
解析：由平面向量基本定理得
∴x＝6，y＝3.∴x－y＝3.
5．答案：A
解析：∵＝3，∴－＝3(－)，
即4－＝3，∴＝－＋.
6．解析：＝＝＝(－)＝(a－b)，
∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.
∵＝＝，
∴＝＋＝＋
＝＝(＋)＝(a＋b).
＝－＝(a＋b)－(a＋b)＝a－b.
7．答案：BC
解析：由平面向量基本定理可知，AD是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.
8．答案：AB
解析：∵向量8a－kb与－ka＋b共线，
∴存在实数λ，使得8a－kb＝λ(－ka＋b)，即8a－kb＝－kλa＋λb.
又∵a，b为非零不共线向量，
∴解得k＝±2，故选AB.
9．答案：C
解析：由2＝(1－λ)＋得
2(＋)＝－λ＋，
2＋2＝－λ＋，
＋2－＝－λ.
∵边AB的中点为D，
∴＝－λ，
∴点P在直线AC上．
10．答案：(－∞，4)∪(4，＋∞)
解析：若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，故由a≠kb即得λ≠4.
11．答案：
解析：如图，分别在，上取点E，F，
使＝，＝，
在上取点G，
使＝，
则EG∥AC，FG∥AE，所以＝＋＝，
所以M与G重合，所以＝＝.
12．解析：(1)2－3＋＝0，
∴2(2a－3b)－3(a＋2b)＋ka＋12b＝(1＋k)a＝0，
∵a≠0，∴k＋1＝0，∴k＝－1.
(2)∵A，B，C三点共线，∴＝λ，
∴－＝λ(－)，
∴(k－1)a＋10b＝－λa＋5λb，
∵a，b不共线，
∴由平面向量基本定理得，解得k＝－1.
13．解析：∵＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三点共线知存在实数λ满足＝λ＋(1－λ)＝λb＋(1－λ)a.
由C，E，M三点共线知存在实数μ满足
＝μ＋(1－μ)＝a＋(1－μ)b.
∴解得
∴＝a＋b.
14．解析：(1)因为＝2，所以＝，
所以＝(－)＝－，
又因为＝r＋s，所以r＝，s＝－，
所以r＋s的值为0.
(2)因为四边形OABP为平行四边形，
所以＝＋，又因为＝m＋，
所以＝＋(m＋1)，
依题意，是非零向量且不共线，
所以m＋1＝0，解得m＝－1.
16．1.5 向量的线性运算
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．(3a＋b＋c)－(2a＋b－c)等于( )
A．a－b＋2c B．5a－b＋2c
C．a＋b＋2c D．5a＋b
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．B，C，D B．A，B，C
C．A，B，D D．A，C，D
3．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交DC于点F，若＝a，＝b，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
4．设a，b是两个不共线的非零向量．若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
5．计算：
(1)4(a＋b)－3(a－b)－8a；
(2)(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
(3).
6．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足＝e＋2f，＝－4e－f，＝－5e－3f.
(1)用e，f表示；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)已知向量a，b是两个非零向量，在下列条件中，一定可以使a，b共线的是( )
A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e
B．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0
C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)
D．已知梯形ABCD，其中＝a，＝b
8．设P是△ABC所在平面内一点，且＋＝2，则( )
A．＋＝0 B．＋＝0
C．＋＝0 D．＋＋＝0
9．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2＋＋＝0，则( )
A．＝2 B．＝
C．＝3 D．2＝
10．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2∈R)，则λ1＋λ2的值为________．
11．在等腰梯形ABCD中，＝2，点E是线段BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＝______，μ＝________．
12．若＝3e1，＝3e2，且P是线段AB靠近点A的一个三等分点，则向量用e1，e2可表示为＝________．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．已知△ABC中，向量＝λ(＋)(λ∈R)，则点P的轨迹通过△ABC的( )
A．垂心
B．内心
C．外心
D．重心
14．在△OAB中，＝a，＝b，＝p，若p＝t(＋)，t∈R，则点P在( )
A．∠AOB平分线所在直线上
B．线段AB垂直平分线上
C．AB边所在直线上
D．AB边的中线上
6．1.5 向量的线性运算
1．答案：A
解析：(3a＋b＋c)－(2a＋b－c)＝(3a－2a)＋(b－b)＋(c＋c)＝a－b＋2c.
2．答案：C
解析：＝a＋2b，＝＋＝2a＋4b＝2，又与有公共点B，∴A，B，D三点共线．
3．答案：A
解析：由已知条件可知BE＝3DE，所以DF＝AB，所以＝＋＝＋＝a＋b.
4．答案：－4
解析：∵向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
∴ka＋2b＝λ(8a＋kb) k＝8λ，2＝λk k＝－4(∵方向相反，∴λ＜0 k＜0).
5．解析：(1)原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.
(2)原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c.
(3)原式＝(4a－3b＋b－a＋b)
＝(a－b)
＝a－b.
6．解析：(1)＝＋＋＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－8e－2f.
(2)证明：因为＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2，所以与方向相同，且的长度为长度的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD≠BC，所以四边形ABCD是梯形．
7．答案：AB
解析：由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故A可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故B可以；x＝y＝0，有xa＋yb＝0，但b与a不一定共线，故C不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故D不可以．
8．答案：B
解析：因为＋＝2，所以点P为线段AC的中点，故选项B正确．
9．答案：B
解析：因为D为BC的中点，所以＋＝2，所以2＋2＝0，
所以＝－，所以＝.
10．答案：
解析：由＝－＝－＝(－)＋＝－＋，得λ1＝－，λ2＝，从而λ1＋λ2＝.
11．答案：
解析：取AB的中点F，连接CF(图略)，则由题可得CF∥AD，且CF＝AD.
∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋，
∴λ＝，μ＝.
12．答案：2e1＋e2
解析：如图，
＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋＝×3e2＋×3e1＝2e1＋e2.
13．答案：D
解析：设D为BC的中点，则＋＝2，∴＝2λ，即P点在中线AD上，可知P点轨迹必过△ABC的重心．
14．答案：A
解析：如图，＝，＝，＝＋，||＝||＝1，故四边形ODFE为菱形，OF是∠AOB的平分线．因为＝t，所以点P在线段∠AOB平分线所在直线上．
16．1.4 数乘向量
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．若点C在直线AB上，且＝3，则＝( )
A．－2B．
C．－ D．2
2．如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝( )
A．a＋b B．a＋b
C．a＋b D．a＋b
3．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的个数是( )
①a与－λa的方向相反；②|－λa|≥|a|；③a与λ2a方向相同；④|－2λa|＝2|λ|·|a|.
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．已知|a|＝6，b与a的方向相反，且|b|＝3，a＝mb，则实数m＝________．
5．已知a，b是两个非零向量，则下列说法中正确的有________(填序号).
①－2a与a是共线向量，且－2a的模是a的模的两倍；
②3a与5a的方向相同，且3a的模是5a的模的；
③－2a与2a是一对相反向量；
④a－b与－(b－a)是一对相反向量．
6．(1)已知非零向量e1，e2不共线．如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．
(2)已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，求证a∥b.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．已知点O为线段AB的中点，则下列结论错误的是( )
A．＝2B．＝
C．＝ D．＝
8．如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则( )
A．＋＋＝0 B．－＋＝0
C．＋－＝0 D．－－＝0
9．(多选)设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的条件是( )
A．2a＝b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
10．如图，△ABC中，＝a，＝b，＝3，＝2，则等于( )
A．－a＋b B．a－b
C．a＋bD．－a＋b
11．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，＋＝λ，则λ＝________．
12．如图所示，已知＝，＝，求证：∥.
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．(多选)下列命题中正确的是( )
A．对于实数m和向量a，b，恒有m(a－b)＝ma－mb
B.对于实数m，n和向量a，恒有(m－n)a＝ma－na
C.若ma＝mb(m∈R)，则有a＝b
D．若ma＝na(m，n∈R，a≠0)，则m＝n
14．已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P，且＋＋＝，则( )
A．P在△ABC内部
B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上
D．P在AC边上
6．1.4 数乘向量
1．答案：D
解析：∵＝3，∴＝2.
2．答案：D
解析：∵＝3，∴＝＝(b－a)，
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
3．答案：B
解析：①②不正确，③④正确．
4．答案：－2
解析：＝＝2，所以|a|＝2|b|.又a与b的方向相反，所以a＝－2b，所以m＝－2.
5．答案：①②③
解析：①∵－2<0，
∴－2a与a方向相反，两向量共线．
又|－2a|＝2|a|，∴①正确．
②∵3>0，∴3a与a方向相同，且|3a|＝3|a|；
∵5>0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|.
∴3a与5a方向相同，且3a的模是5a的模的.
∴②正确．
③按照相反向量的定义可以判断正确．
④∵－(b－a)＝－b＋a＝a－b，
∴a－b与－(b－a)为相等向量．
∴④不正确．
6．证明：(1)∵＝e1＋e2，＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5，
∴，共线，又，有公共点B，
∴A，B，D三点共线．
(2)因为e1，e2共线，
所以存在λ∈R，使e1＝λe2，
所以a＝3e1＋4e2＝(3λ＋4)e2，b＝6e1－8e2＝(6λ－8)e2.
当λ≠时，a＝b，
所以a，b共线；
当λ＝时，b＝0，a，b也共线．
综上，a与b共线，即a∥b.
7．答案：D
解析：A，B，C正确；＝－，故D错误．
8．答案：A
解析：＋＋＝＋＋
＝(＋＋)＝0.
9．答案：AC
解析：，分别表示a，b的单位向量．
对于A，当2a＝b时，＝＝；
对于B，当a∥b时，可能有a＝－b，此时≠；
对于C，当a＝2b时，＝＝；
对于D，当a∥b且|a|＝|b|时，
可能有a＝－b，此时≠.
综上所述，使＝成立的条件是a＝2b，2a＝b.
10．答案：D
解析：＝＋＝＋(－)
＝(－)－＝－＋
＝－a＋b.
故选D.
11．答案：2
解析：因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
所以＋＝，又O为AC的中点，
所以＝2，所以＋＝2.
因为＋＝λ，所以λ＝2.
12．证明：由已知得＝－＝－＝(－)＝，∴∥.
13．答案：ABD
解析：根据向量的数乘满足分配律知，恒有m(a－b)＝ma－mb，故A正确．根据向量的数乘满足分配律知，恒有(m－n)a＝ma－na，故B正确．若m＝0，满足ma＝mb，则不一定有a＝b，故C错误．由ma＝na得，(m－n)a＝0，由于a≠0，所以m－n＝0，则m＝n，故D正确．
14．答案：D
解析：由已知得＋＋＝－，
∴＝－2，∴P在AC边上．
16．1.3 向量的减法
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．化简下列各式：
①－－；②－＋－；
③－＋；④＋＋－.
其中结果为0的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．如图，设＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a－b＋c B．b－(a＋c)
C．a＋b＋c D．b－a＋c
3．(多选)如图，点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，则下列等式一定成立的是( )
A．＋＝ B．－＝0
C．－＝ D．＋＝
4．(多选)在平行四边形ABCD中，设＝a，＝b，＝c，＝d，下列等式中正确的是( )
A．a＋b＝c B．a－b＝d
C．b－a＝d D．c－a＝b
5．已知||＝6，||＝9，则|－|的取值范围是________．
6．如图，在五边形ABCDE中，若四边形ACDE是平行四边形，且＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示向量，，.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．如图，在△ABC中，D是BC上一点，则＋－＝( )
A． B．
C． D．
8．如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝a，＝b，＝c，则等于( )
A．a＋b B．b－a C．c－b D．b－c
9．(多选)下列各式中，化简结果为 的是( )
A．(－)－
B．－(＋)
C．－(＋)－(＋)
D．－－＋
10．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，||2＝16，|＋|＝|－|，则||＝( )
A．2 B．4
C．16 D．8
11．若a≠0，b≠0，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b所在直线的夹角是________．
12．如图所示，O为△ABC内一点，＝a，＝b，＝c，求作b＋c－a.
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知水流速度为2 km/h，若船的实际航行方向与水流方向垂直，则经过3 h，该船的实际航程为________km.
14．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，试作向量并分别求模：
(1)a＋b＋c；
(2)a－b＋c.
6．1.3 向量的减法
1．答案：D
解析：①－－＝＋＋＝＋＝0.
②－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝0.
③－＋＝＋＝0.
④＋＋－＝＋＝0.
以上各式化简后结果均为0，故选D.
2．答案：A
解析：由于a－b＝－＝，＋＝，所以＝a－b＋c.
3．答案：AC
解析：＋＝，故A正确；＋＝0，故B错误；－＝＋＝，故C正确；＋＝＝，故D错误．
4．答案：ACD
解析：在平行四边形ABCD中，∵＝a，＝b，＝c，＝d，∴a－b＝＝－d，故B不正确，ACD均正确．
5．答案：[3，15]
解析：∵|||－|||≤|－|≤||＋||，且||＝6，||＝9，∴3≤|－|≤15，∴|－|的取值范围是[3，15].
6．解析：∵四边形ACDE为平行四边形，
∴＝＝c，＝－＝b－a，
∴＝＋＝b－a＋c，
＝－＝c－a，
＝－＝c－b.
7．答案：D
解析：＋－＝－＝.
8．答案：D
解析：＝＝＝－＝b－c.
9．答案：ABC
解析：(－)－＝＋＋＝，故A正确；－(＋)＝－0＝，故B正确；－(＋)－(＋)＝－(＋)－(＋)＝－－＝－(＋)＝－＝，故C正确；－－＋＝2＋≠，故D不正确．
10．答案：A
解析：因为|＋|＝|－|，又点A在直线BC外，以AB，AC为邻边作 ABDC，则对角线AD，BC相等．故 ABDC为矩形，所以||＝||＝2.
11．答案：30°
解析：设＝a，＝b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图所示，则a＋b＝，a－b＝.
∵|a|＝|b|＝|a－b|，
∴||＝||＝||，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠BOA＝60°.
在菱形OACB中，对角线OC平分∠BOA，
∴a与a＋b所在直线的夹角为30°.
12．解析：方法一 以，为邻边作 OBDC，连接OD，AD，
则＝＋＝b＋c，
＝－＝b＋c－a.
方法二 作＝＝b，
连接AD，则＝－＝c－a，
＝＋＝c－a＋b＝b＋c－a.
13．答案：6
解析：如图，表示水流速度，表示船在静水中的速度，则表示船的实际速度．因为||＝2，||＝4，∠AOB＝120°，则∠CBO＝60°.又因为∠AOC＝∠BCO＝90°，所以||＝2，所以船的实际航行速度为2 km/h，则实际航程为2×3＝6 km.
14．解析：(1)如图，由已知得，a＋b＝＋＝，
又＝c，
∴延长AC到E，使||＝||.
则a＋b＋c＝，且||＝2.
(2)如图，作＝，
则＋＝，
而＝－＝a－＝a－b，
∴a－b＋c＝＋＝且||＝2.
16．1.2 向量的加法
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋≠0；
③＝＋＋.
A．②③ B．②
C．①D．③
2．如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点，则下面结论正确的是( )
A．＝＋B．＋＝0
C．＋＋≠0 D．＋＋≠0
4．若在△ABC中，＝a，＝b，且|a|＝|b|＝1，|a＋b|＝，则△ABC的形状是( )
A．正三角形
B．锐角三角形
C．斜三角形
D．等腰直角三角形
5．已知向量a，b均为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．向量a与b反向，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同
B．向量a与b反向，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同
C．向量a与b同向，则向量a＋b与a的方向相同
D．向量a与b同向，则向量a＋b与b的方向相同
6．如图，在平行四边形ABCD中，
(1)＋＝________；
(2)＋＋＝________；
(3)＋＋＝________；
(4)＋＋＝________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)下列说法中正确的是( )
A．如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同
B．△ABC中，必有＋＋＝0
C．若＋＋＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点
D．若a，b均为非零向量且方向相同，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等
8．(多选)已知平行四边形ABCD，设＋＋＋＝a，且b是一非零向量，则下列结论正确的是( )
A.a∥bB．a＋b＝a
C．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|
9．已知四边形ABCD是一菱形，则下列等式中成立的是( )
A．＋＝ B．＋＝
C．＋＝ D．＋＝
10．在以下各命题中，不正确的命题个数是( )
(1)任一非零向量的方向都是唯一的；
(2)|a|－|b|<|a＋b|；
(3)若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；
(4)已知A，B，C为平面上任意三点，则＋＋＝0.
A．1 B．2
C．3 D．4
11．若a等于“向东走8 km”，b等于“向北走8 km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．
12．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且BP＝QC.
求证：＋＝＋.
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶，船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度的大小．
14．已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点．求证：2＝＋.
6．1.2 向量的加法
1．答案：B
解析：①满足向量加法的交换律与结合律，①正确．
＋＝＝0，②不正确．
＋＋＝＋(＋)＝＋＝＋＝，③正确．
2．答案：C
解析：在方格纸上作出＋，如图，易知＋＝.
3．答案：D
解析：容易判断＋＋＝2≠0.
4．答案：D
解析：由于＝|a|＝1，||＝|b|＝1，||＝|a＋b|＝，所以△ABC为等腰直角三角形，故选D.
5．答案：B
解析：∵a与b方向相反，|a|<|b|，∴a＋b与a的方向相反，故B不正确．
6．答案：(1) (2) (3) (4)0
解析：(1)由平行四边形法则可知＋＝；
(2)＋＋＝＋＝；
(3)＋＋＝＋＝；
(4)＋＋＝＋＋＝＋＝0.
7．答案：BD
解析：A错，若a＋b＝0时，方向是任意的；B正确；C错，A，B，C三点共线时也满足；D正确．
8．答案：AC
解析：∵在平行四边形ABCD中，＋＝0，＋＝0，∴a为零向量，∵零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，∴A、C正确，B、D错误．
9．答案：C
解析：对于A，＋＝≠；对于B，＋≠；对于C，＋＝＋＝，又＝，∴＋＝；对于D，＋≠.
10．答案：A
解析：(1)(3)(4)正确，只有(2)不正确．
11．答案：8 km 北偏东45°
解析：如图所示，设＝a，＝b，则＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则||＝8，∠BAC＝45°.
12．证明：∵＝＋，
＝＋，
∴＋＝＋＋＋.
又∵BP＝QC且与方向相反，
∴＋＝0，∴＋＝＋，
即＋＝＋.
13．解析：如图所示，表示水流速度，表示船垂直于对岸的方向行驶的速度，表示船实际航行的速度，∠AOC＝30°，||＝5.
∵四边形OACB为矩形，
∴||＝＝5，
||＝＝10，
∴水流速度大小为5 km/h，船实际速度大小为10 km/h.
14．证明：如图所示，在四边形CDEF中，＝＋＋.①
在四边形ABFE中，
＋＋＋＝0，
所以＝＋＋.②
①＋②得
＋＝＋＋＋＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋).
因为E，F分别是AD，BC的中点，
所以＋＝0，＋＝0，
所以2＝＋.
1第六章 平面向量初步 6．1 平面向量及其线性运算 6．1.1 向量的概念
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．(多选)下列说法错误的是( )
A．向量∥就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量长度等于0
D．共线向量是在一条直线上的向量
2．如图，设O是正方形ABCD的中心，则：①＝；②∥；③与共线；④＝.下列选项正确的是( )
A．①②④ B．①③④
C．①②③ D．②③④
3．如图所示，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与共线的向量有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m＝________．
5．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号).
6．一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量，，；
(2)求||.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．下列关于向量的说法正确的个数是 ( )
①始点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②始点相同，相等的两个非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的始点与终点一定共线．
A．3 B．2
C．1 D．0
8．如图，在等腰梯形ABCD中，①与是共线向量；②＝；③>.以上结论中正确的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
9．若||＝||且＝，则四边形ABCD的形状为( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．等腰梯形
10．下列结论中，正确的是( )
A．2 020 cm长的线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度选定，则l上有且只有两点A，B，使得，是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量不可能是平行向量
D．一个人从点A向东走500米到达B点，则向量不可能表示这个人从点A到点B的位移
11．给出以下说法：
①若|a|＝0，则a为零向量；
②单位向量都相等；
③若a与b共线，则a与b的方向相同或相反；
④向量的模一定是正数；
⑤起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
⑥向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上．其中正确的序号是________．
12．如图所示，已知四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又＝且＝，求证：＝.
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．下列命题正确的是( )
A．若向量a∥b，则a与b的方向相同或相反
B．若向量a∥b，b∥c，则a∥c
C．若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等
D．若向量a＝b，b＝c，则a＝c
14．一位模型赛车手遥控一辆赛车，沿正东方向前行1 m，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1 m，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1 m，按此方法继续操作下去．
(1)按适当的比例作图说明当α＝45°时，至少需操作几次时赛车的位移为0；
(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个即可．
6．1.1 向量的概念
1．答案：ABD
解析：向量∥包含所在的直线与所在的直线平行或重合两种情况，故A错误；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B错误；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误．
2．答案：C
解析：与方向相同，大小相等，所以①正确；与方向相同，所以∥，所以②正确；因为AB∥CD，所以与共线，③正确；因为与方向不同，所以＝错误．
3．答案：C
解析：与共线的有，，.
4．答案：0
解析：因为A，B，C三点不共线，所以与不共线，又因为m∥且m∥，所以m＝0.
5．答案：①③④
解析：因为a＝b a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④.
6．解析：(1)向量，，如图所示：
(2)由题意，可知与方向相反，故与共线，
∵||＝||，∴在四边形ABCD中，AB∥CD且AB＝CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴＝，∴||＝||＝200 km.
7．答案：C
解析：始点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；始点相同，相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的始点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．
8．答案：A
解析：因为与的方向不相同，也不相反，所以与不共线，即①不正确；由①可知②不正确；因为两个向量不能比较大小，所以③不正确．
9．答案：C
解析：由＝，可知四边形ABCD为平行四边形，又因为||＝||，所以四边形ABCD为菱形．
10．答案：B
解析：一个单位长度取2 020 cm时，2 020 cm长的有向线段刚好表示单位向量，故A错误；方向为北偏西50°的向量与东偏南40°的向量是平行的，故C错误；位移既有大小又有方向，可以用向量表示，故D错误．
11．答案：①⑤
解析：①正确，模等于0的向量就是零向量；②错误，单位向量的模都相等，但方向不一定相同，因此，单位向量不一定相等；③错误，由于零向量与任一向量共线，但其方向任意，因此，当a与b共线且其中有一个零向量时，它们的方向不一定相同或相反；④错误，向量的模是非负实数，可能是零；⑤正确，对于一个向量只要不改变其模的大小和方向，是可以任意移动的，因此相等向量可以起点不同；⑥错误，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量必须在同一直线上．
12．证明：因为＝，
所以||＝||且AB∥DC，
所以四边形ABCD是平行四边形，
所以||＝||且DA∥CB.
又因为与的方向相同，所以＝.
同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以＝.
因为||＝||，||＝||，所以||＝||.
又与的方向相同，所以＝.
13．答案：D
解析：向量a∥b，可能b＝0，此时不能得到a与b的方向相同或相反，故A选项错误；
向量a∥b，b∥c，可能b＝0，此时不能得到a∥c，故B选项错误；两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，故C选项错误；根据向量相等的知识可知D选项正确．
14．解析：(1)如图可知操作8次可使赛车的位移为零，此时α＝＝45°.
(2)若使赛车能回到出发点，则赛车的位移为零，由第(1)问作图可知，所作图形需是内角为(180－α)度的正多边形，故n(180－α)＝(n－2)180，得α＝，又n是不小于3的整数，所以当n＝10，即α＝36°时需操作10次可回到出发点；当n＝12，即α＝30°时需操作12次可回到出发点．
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