3．1.2 函数的表示法
必备知识基础练
1．函数y＝x－1(x≥0)的图象是( )
A．一条射线 B．一条线段
C．两条射线 D．一条直线
2．已知函数f(x)的对应关系如下表，函数y＝g(x)的图象为如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则f(g(2))＝( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A．3 B．2 C．1 D．0
3．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝－ B. f(x)＝
C．f(x)＝3x D．f(x)＝－3x
4．已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝( )
A．2 B． C．1 D．－1
5．已知函数f(x)和g(x)的定义域为{2，3，4，5}，其对应关系如下表，则g(f(x))的值域为( )
x 2 3 4 5
f(x) 4 2 5 2
g(x) 4 3 2 4
A.{2，3} B．{2，4}
C．{3，4} D．{2，3，4}
6．(多选)下列给出的式子是分段函数的是( )
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
7．已知二次函数f(x)的图象经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，则函数f(x)的解析式为________．
8．[2022·广东梅州高一期末]已知f(2x－1)＝x2－2x，则f(0)＝________．
关键能力综合练
1．某学生离家去上学，一开始岀发，心情轻松，缓慢行进，后来发现时间比较紧，为了赶时间开始加速，走完余下的路程．下列图形中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )
2．已知函数f(x)＝，若f(x)＝5，则x的值是( )
A．－2 B．2或－
C．2或－2 D．2或－2或－
3．函数y＝x＋的图象是( )
4．已知函数f(x＋1)＝x2－2x＋3，则函数y＝f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝x2－6x＋4 B．f(x)＝x2－4x＋6
C．f(x)＝x2－4x－4 D．f(x)＝x2－6x＋11
5．已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)－4x]＝5恒成立，则f(2)＝( )
A．1 B．3 C．7 D．9
6．(多选)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则实数a的值为( )
A．－2 B．－ C．－1 D．1
7．[2022·广东深圳高一期末]已知函数f(x)＝，则f(f(5))＝________．
8．已知函数f(x)满足f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，则f(x)＝________．
9．已知函数f(x)＝且f(2)＝0.
(1)求f(f(1))；
(2)若f(m)＝－m，求实数m的值．
10．求下列函数的解析式．
(1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(2)若函数f()＝x－1，求f(x).
核心素养升级练
1．(多选)具有性质f()＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是( )
A．f(x)＝x－ B．f(x)＝x＋
C．f(x)＝ D．f(x)＝x2－
2．对于任意的实数x1、x2，min{x1，x2}表示x1、x2中较小的那个数．若函数f(x)＝2－x2，g(x)＝x，记h(x)＝min{f(x)，g(x)}，则h(x)的解析式为________________．
3．已知函数f(x)＝
(1)画出函数f(x)的图象；
(2)求f(f(3))，f(a2＋1)(a∈R)的值；
(3)当f(x)≥2时，求x的取值范围．
3．1.2 函数的表示法
必备知识基础练
1．答案：A
解析：函数y＝x－1为一次函数，图象为直线，但是当x≥0时，所得到的图象为一条射线．
2．答案：B
解析：观察函数y＝g(x)的图象得：g(2)＝1，由表格知：f(1)＝2，所以f(g(2))＝2.
3．答案：B
解析：设f(x)＝(k≠0)，
∵f(－3)＝＝－1，∴k＝3，
∴f(x)＝.
4．答案：B
解析：根据题意，因为f(－1)＝2，所以f(f(－1))＝f(2)＝.
5．答案：B
解析：g(f(2))＝g(4)＝2，g(f(3))＝g(2)＝4，g(f(4))＝g(5)＝4，g(f(5))＝g(2)＝4，所以所求值域是{2，4}．
6．答案：AD
解析：对于A：f(x)＝，定义域为[1，5]∪(－∞，1)＝(－∞，5]，且[1，5]∩(－∞，1)＝ ，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A正确；
对于B：f(x)＝，定义域为R∪[2，＋∞)＝R，但R∩[2，＋∞)＝[2，＋∞)≠ 不满足函数的定义，如当x＝2时，f(2)＝3和4，故不是函数，故B错误；
对于C：f(x)＝，定义域为[1，5]∪(－∞，1]＝(－∞，5]，且[1，5]∩(－∞，1)＝{1}，且f(1)＝5和1，故不是函数，故C错误；
对于D：f(x)＝，定义域为(－∞，0)∪[5，＋∞)，且(－∞，0)∩[5，＋∞)＝ ，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D正确．
7．答案：f(x)＝－x2－4x－1
解析：根据顶点为(－2，3)，设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)，
由f(x)过点(－3，2)，得2＝a×1＋3，
解得a＝－1，
所以f(x)＝－(x＋2)2＋3＝－x2－4x－1.
8．答案：－
解析：令x＝，则2x－1＝0，所以f(0)＝f(2×－1)＝()2－2×＝－.
关键能力综合练
1．答案：C
解析：由题意知：一开始岀发，心情轻松，缓慢行进，所以开始曲线比较平缓，后来发现时间比较紧，为了赶时间开始加速，所以曲线变得越来越陡峭，又因为纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，所以开始距离最大，最后距离为0，故选C.
2．答案：A
解析：当x≤0时，f(x)＝x2＋1＝5，解得：x＝－2或x＝2(舍)，∴x＝－2；
当x>0时，f(x)＝－2x＝5，解得：x＝－(舍)；
综上所述：x的值是－2.
3．答案：C
解析：对于y＝x＋，当x>0时，y＝x＋1；当x<0时，y＝x－1.
即y＝，故其图象应为C.
4．答案：B
解析：因为f(x＋1)＝x2－2x＋3，
令t＝x＋1，则x＝t－1，
则f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＋3＝t2－4t＋6，
所以f(x)＝x2－4x＋6.
5．答案：D
解析：因为函数f(x)是一次函数，且f[f(x)－4x]＝5恒成立，
令f(x)－4x＝t，则f(x)＝4x＋t，
所以f(t)＝4t＋t＝5，解得t＝1，
所以f(x)＝4x＋1，f(2)＝2×4＋1＝9.
6．答案：AB
解析：令f(a)＝t，故f(t)＝2，进而得t＝－1或t＝1，
所以f(a)＝－1或f(a)＝1，
由于x>0时，f(x)≥2，
所以3a＋5＝－1或3a＋5＝1，解得a＝－2或a＝－.
7．答案：1
解析：因为函数f(x)＝，
所以f(5)＝f(3)＝f(1)＝12＝1，
所以f(f(5))＝f(1)＝12＝1.
8．答案：－2x＋1
解析：因为f(x)＋2f(－x)＝2x＋3，①
所以f(－x)＋2f(x)＝2·(－x)＋3，②
②×2－①得，f(x)＝－2x＋1.
9．解析：(1)∵f(2)＝2a－1＝0得a＝，
∴f(x)＝，
∴f(1)＝－，
∴f(f(1))＝f(－)＝－2.
(2)当m≥0时，由f(m)＝－m得m－1＝－m解得m＝；
当m＜0时，由f(m)＝－m得＝－m，无实数解，
综上所述，m＝.
10．解析：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b，(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)＋b，f(x－1)＝a(x－1)＋b，
所以3f(x＋1)－2f(x－1)＝ax＋5a＋b＝2x＋17，
则，解得，
所以f(x)＝2x＋7.
(2)由函数f()＝x－1，
令＝t≥0，则x＝t2－1，
所以f(t)＝t2－2，
所以f(x)＝x2－2，x∈[0，＋∞).
核心素养升级练
1．答案：AC
解析：对于选项A，f()＝－x，－f(x)＝－x，故满足“倒负”变换；
对于选项B，f()＝＋x，－f(x)＝－－x，故不满足“倒负”变换；
对于选项C，当0＜x＜1时，f()＝－x，－f(x)＝－x，当x＝1时，f(1)＝0，成立，当x＞1时，f()＝，－f(x)＝，故满足“倒负”变换；
对于选项D，f()＝，－f(x)＝，故不满足“倒负”变换．
2．答案：h(x)＝
解析：当f(x)≤g(x)时，即2－x2≤x，即x2＋x－2≥0，解得x≤－2或x≥1，
此时，h(x)＝min{f(x)，g(x)}＝f(x)＝2－x2；
当f(x)>g(x)时，即2－x2>x，即x2＋x－2<0，
解得－2
此时，h(x)＝min{f(x)，g(x)}＝g(x)＝x.
综上所述，h(x)＝.
3．解析：(1)函数f(x)的图象如图所示：
(2)f(f(3))＝f(3－32)＝f(－6)＝1－2×(－6)＝13，
f(a2＋1)＝3－(a2＋1)2＝－a4－2a2＋2；
(3)当x>0时，f(x)≥2 3－x2≥2 －1≤x≤1，∴0当x＝0时，f(x)＝2，符合题意；
当x<0时，f(x)≥2 1－2x≥2 x≤－，
综上所述：x的取值范围为：(－∞，－]∪[0，1].
13．3 函数的应用(一)
必备知识基础练
1．给容器甲注水，下面图象中哪一个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系( )
2．某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按高出成本价1元/个售出，售完后共赚78元，则这两筐椰子原来的总个数为( )
A．180 B．160
C．140 D．120
3．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的函数解析式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200副 B．400副
C．600副 D．800副
4．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，若已知x年后的设备维护总费用为x(x＋1)元，则为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )
A．10 B．11 C．13 D．21
5．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
6．疫情暴发期间某种防护用品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为：
P＝ (t∈N*)
设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0A．10 B．20 C．25 D．30
关键能力综合练
7．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中正确的个数是( )
①这几年人民生活水平逐年得到提高；②生活费收入指数增长最快的一年是2010年；③生活价格指数上涨速度最快的一年是2011年；④虽然2012年生活费收入增长缓慢，但由于生活价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．用一段长为36米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知墙长20米，则菜园面积的最大值是( )
A．144 B．160 C．162 D．180
9．(多选)如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y(单位：件)与时间t(单位：天)之间的函数关系，图②是一件产品的销售利润z(单位：元)与时间t(单位：天)之间的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论正确的是( )
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D．第30天的日销售利润是750元
10．(多选)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中错误的是( )
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
11．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km. 如图表示甲从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，其中甲在公园休息的时间是10 min，那么y＝f(x)的解析式为________．
12．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中x%(0f(x)＝(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：
(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？
(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义．
核心素养升级练
13．为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量f(t)(单位：mg/m3)与时间t(单位：h)的函数关系为f(t)＝，当消毒(h)后，测量得药物释放量等于1(mg/m3)；而实验表明，当药物释放量小于(mg/m3)对人体无害．
(1)求k的值；
(2)若使用该消毒剂对房间进行消毒，求对人体有害的时间有多长？
14．已知某企业原有员工2 000人，每人每年可为企业创利3.5万元．为应对新型冠状病毒肺炎疫情给企业带来的不利影响，该企业实施“优化重组，分流增效”的策略，分流出一部分员工待岗．为维护生产稳定，该企业决定待岗人数不超过原有员工的5%，并且每年给每位待岗员工发放生活补贴0.5万元．据评估，当待岗员工人数x不超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利(1－)万元；当待岗员工人数x超过原有员工1%时，留岗员工每人每年可为企业多创利0.9万元．为使企业年利润最大，应安排多少员工待岗？
3．3 函数的应用(一)
必备知识基础练
1．解析：容器下端较窄，上端较宽，当均匀地注入水时，刚开始的一段时间高度变化较大，随时间的推移，高度的变化速度开始减小，即高度变化不太明显，四个图象中只有B项符合该特点．
答案：B
2．解析：设原来两筐椰子的总个数为x，成本价为a元/个，则
解得故这两筐椰子原来共有120个．
答案：D
3．解析：由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．
答案：D
4．解析：设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y，则x年的平均费用为y＝＝x＋＋1.5(x∈N＋)，由均值不等式得y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号．
答案：A
5．解析：L(Q)＝40Q－Q2－10Q－2 000
＝－Q2＋30Q－2 000
＝－(Q－300)2＋2 500，
当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．
答案：2 500
6．解析：由题意得：
y＝，
当0＜t＜25，t∈N*时，y＝(t＋20)(40－t)
＝－t2＋20t＋800＝－(t－10)2＋900，
所以t＝10天时，ymax＝900元，
当25≤t≤30，t∈N*时，
y＝(－t＋100)(40－t)＝t2－140t＋4 000＝(t－70)2－900，
而y＝(t－70)2－900，
在t∈[25，30]时，函数递减，
所以t＝25天时，ymax＝1 125元，
因为1 125＞900，
所以第25天日销售额最大为1 125元．
答案：C
关键能力综合练
7．解析：由题意“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；“生活费收入指数”在2010～2011年最陡，故②正确 ；“生活价格指数”在2011～2012年最平缓，故③不确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故④正确．
答案：C
8．解析：设菜园靠墙一边的长为x米，则矩形菜园的宽为()米，且0则菜园面积y＝x·＝·x·(36－x)≤×()2＝162，
当且仅当x＝36－x，
即x＝18时等号成立．
答案：C
9．解析：对于A，在图①中，t＝24时，y＝200，故A选项结论正确；对于B，根据图②，(0，25)，(20，5)的中点坐标为(10，15)，故B选项结论正确；对于D，由图①知第30天销售150件，由图②知第30天一件产品利润为5元，故日销售利润为150×5＝750元，故D选项结论正确；由①知(0，100)，(24，200)的中点为(12，150)，即第12天和第30天的销售量相同，根据图②，第12天的一件产品利润高于第30天一件产品利润，故第12天与第30天这两天的日销售利润不相等，故C选项结论错误．
答案：ABD
10．解析：对于A，由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km ，则A错；对于B，由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错；对于C，甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(升)，则C错；对于D，当行驶速度小于80 km/h时，在相同条件下，丙车的燃油效率高于乙车，则在该市用丙车比用乙车更省油，则D对．
答案：ABC
11．解析：由题图知所求函数是一个分段函数，且各段均是直线，可用待定系数法求得
y＝f(x)＝
答案：y＝f(x)＝
12．解析：(1)由题意知，当30f(x)＝2x＋－90>40，
即x2－65x＋900>0，
解得x<20或x>45，
∴x∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间．
(2)当0g(x)＝30·x%＋40(1－x%)＝40－，
当30g(x)＝(2x＋－90)·x%＋40(1－x%)＝－x＋58，
∴g(x)＝，
当0当32.5说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的，
有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的，
当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．
核心素养升级练
13．解析：(1)由题意可知f()＝＝1，故k＝2.
(2)因为k＝2，所以f(t)＝，
又因为f(t)≥时，药物释放量对人体有害，
所以或，
解得≤t<或≤t≤，所以≤t≤，
由－＝，故对人体有害的时间为 h.
14．解析：设重组后，该企业年利润为y万元，
当待岗人员不超过1%时，
由1－＞0，x≤2 000×1%＝20，
得则y＝(2 000－x)(3.5＋1－)－0.5x
＝－5(x＋)＋9 000.64，
当待岗人员超过1%且不超过5%时，
由20得20则y＝(2 000－x)(3.5＋0.9)－0.5x＝－4.9x＋8 800，
故y＝
当有x＋≥2 ＝32，
则y＝－5(x＋)＋9 000.64
≤－5×32＋9 000.64＝8 840.64，
当且仅当x＝，即x＝16时取等号，此时y取得最大值8 840.64；当20所以y<－4.9×20＋8 800＝8 702，
又8 840.64＞8 702，
故当x＝16时，y有最大值8 840.64，
即要使企业年利润最大，应安排16名员工待岗．
1第2课时 函数奇偶性的应用
必备知识基础练
1．若定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则( )
A．f(3)B．f(－π)C．f(3)D．f(4)2．定义在R上的函数f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则f(x)＜0的解集是( )
A．(－3，0)∪(3，＋∞)
B．(－∞，－3)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D．(－3，0)∪(0，3)
3．已知f(x)＝(k－2)x2＋(k－3)x＋3是偶函数，则f(x)的递减区间为________．
4．已知函数f(x)是R上的偶函数，且当x<0时，f(x)＝x(x－1)，则当x>0时，f(x)＝________．
5．已知奇函数f(x)是定义在(－1，1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围．
6．设定义在[－2，2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)关键能力综合练
7．函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)A．a>1 B．a<－2
C．a>1或a<－2 D．－18．定义在R上的奇函数f(x)，满足f()＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则不等式xf(x)＞0的解为( )
A.
B．
C．
D．
9．(多选)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且有f(3)>f(1)，则下列各式中一定成立的是( )
A．f(－3)>f(－1) B．f(0)C．f(－1)f(0)
10．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](aA．有最大值4 B．有最小值－4
C．有最大值－3 D．有最小值－3
11．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求函数f(x)，g(x)的解析式．
12．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时f(x)＝－x2－2x.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对任意实数m，f(m－1)＋f(m2＋t)＜0恒成立，求实数t的取值范围．
核心素养升级练
13．函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－2)的图象关于点(2，0)对称，则满足f(4x－4)＋f(x2－x)<0的实数x的取值范围为________．
14．已知函数y＝f(x)的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，且当x>0时，f(x)<0恒成立．
(1)证明函数y＝f(x)是R上的单调函数；
(2)讨论函数y＝f(x)的奇偶性；
(3)若f(x2－2)＋f(x)<0，求x的取值范围．
第2课时 函数奇偶性的应用
必备知识基础练
1．解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)，
又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，0＜3＜π<4，
∴f(3)即f(3)答案：C
2．解析：因为f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，
所以f(x)在(－∞，0)内是增函数，
因为f(－3)＝－f(3)＝0，
所以f(3)＝0，
当x>0时，由f(x)＜0＝f(3)，
得0当x<0时，由f(x)＜0＝f(－3)，
所以x<－3，
当x＝0时，f(x)＝0不符合题意，
故f(x)<0的解集为(－∞，－3)∪(0，3).
答案：B
3．解析：由偶函数的定义知k＝3，f(x)＝x2＋3，
其图象开口向上，所以f(x)的递减区间是(－∞，0].
答案：(－∞，0]
4．解析：设任意x>0，则－x<0，所以f(－x)＝－x(－x－1)＝x(x＋1)，因为函数f(x)为R上的偶函数，故当x>0时，f(x)＝f(－x)＝x(x＋1)，即x>0时，f(x)＝x(x＋1).
答案：x(x＋1)
5．解析：原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m)，
因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)又f(x)是减函数，
所以m－1>2m－3，所以m<2，
又f(x)的定义域为(－1，1)，
所以－1所以0综上得1故实数m的取值范围是(1，2).
6．解析：∵g(x)在[－2，2]上为偶函数，且x≥0时为减函数，
∴g(1－m)≤g(m) g(|1－m|) －1≤m<，
即m的取值范围为.
关键能力综合练
7．解析：因为函数f(x)在实数集R上是偶函数，且f(3)所以f(3)又函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以3<|2a＋1|，解得a>1或a<－2.
答案：C
8．解析：因为函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f()＝0，所以f(－)＝0，且在区间(－∞，0)上单调递减，
因为当－＜x＜0时，f(x)＜0，此时xf(x)＞0，
当0＜x＜时，f(x)＞0，此时xf(x)＞0，
综上，xf(x)＞0的解集为{x|0答案：C
9．解析：因为f(x)为偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，
又f(3)>f(1)，
所以f(－3)>f(－1)，f(3)>f(－1)都成立．
答案：AC
10．解析：方法一 根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知选B.
方法二 当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，
即－3≤－f(x)≤4，
∴－4≤f(x)≤3，
即在区间[－b，－a]上f(x)的最小值为－4，f(x)的最大值为3.
答案：B
11．解析：∵f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝ ①，
用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝，
∴f(x)－g(x)＝ ②，
(①＋②)÷2，得f(x)＝，
(①－②)÷2，得g(x)＝.
12．解析：(1)当x＜0时，－x＞0，又因为f(x)为奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x2＋2x)＝x2－2x，
所以f(x)＝，
(2)f(m－1)＋f(m2＋t)＜0，
所以f(m－1)＜－f(m2＋t)，
又f(x)是奇函数，所以f(m－1)＜f(－t－m2)，
又因为f(x)为R上的单调递减函数，
所以m－1＞－t－m2恒成立，
所以t＞－m2－m＋1＝－(m＋)2＋恒成立，
所以t＞，即实数t的范围为(，＋∞).
核心素养升级练
13．解析：函数y＝f(x－2)的图象关于点(2，0)对称，
则函数y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称，即y＝f(x)为奇函数，满足f(－x)＝－f(x)，
所以f(4x－4)＋f(x2－x)<0，
f(4x－4)<－f(x2－x) f(4x－4)又因为y＝f(x)是定义在R上的增函数，所以4x－4<－x2＋x －4答案：(－4，1)
14．解析：(1)证明：设 x1，x2∈R且x1>x2，则x1－x2>0，
∴f(x1)－f(x2)＝f[(x1－x2)＋x2]－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)，
又当x>0时，f(x)<0恒成立，
∴f(x1－x2)<0，∴f(x1)∴函数y＝f(x)是R上的减函数．
(2)解：令a＝b＝0，得f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，∴f(0)＝0，
由f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)，
即f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，
∴f(－x)＝－f(x)，又函数y＝f(x)的定义域为R，
故函数y＝f(x)是奇函数．
(3)解：方法一 由f(x2－2)＋f(x)<0得
f(x2－2)<－f(x)，又y＝f(x)是奇函数，
即f(x2－2)又y＝f(x)在R上是减函数，
∴x2－2>－x，解得x>1或x<－2，
故x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
方法二 由f(x2－2)＋f(x)<0，f(a＋b)＝f(a)＋f(b)且f(0)＝0，得f(x2－2＋x)又y＝f(x)在R上是减函数，
∴x2－2＋x>0，解得x>1或x<－2，
故x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
4第1课时 函数的奇偶性
必备知识基础练
1．下列函数中是奇函数的为( )
A．y＝x－1 B．y＝x2
C．y＝|x| D．y＝x
2．函数y＝的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
3．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＝x3，则f(2)的值是( )
A．8 B．－8 C． D．－
4．函数y＝|x－1|的图象是( )
5．若函数f(x)＝(a＋x)·(2－x)(a∈R)是偶函数，则a＝________，值域为________．
6．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝－3x2＋1；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝
关键能力综合练
7．(多选)已知定义在区间[－7，7]上的一个偶函数，在[0，7]上的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.这个函数有两个单调增区间
B．这个函数有三个单调减区间
C．这个函数在其定义域内有最大值7
D．这个函数在其定义域内有最小值－7
8．下列函数既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝－x2＋1 B．y＝
C．y＝－ D．y＝x|x|
9.(多选)下列四个选项中不正确的是( )
A．偶函数的图象一定与y轴相交
B．奇函数的图象在[a，b]，[－b，－a]上的单调性一定相同
C．偶函数的图象关于y轴对称
D．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过(－a，f(a))
10.
设奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，当x∈[0，5]时，函数y＝f(x)的图象如图所示，则使函数值y＜0的解集为( )
A．(2，5) B．(－5，－2)∪(2，5)
C．(－2，0) D．(－2，0)∪(2，5)
11．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5，2b－3]上的奇函数，则f()的值为( )
A． B．
C．1 D．无法确定
12．已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________．
核心素养升级练
13．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________．
14．函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f()＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数；
第1课时 函数的奇偶性
必备知识基础练
1．解析：对于A选项，函数y＝x－1为非奇非偶函数；对于B选项，函数y＝x2为偶函数；对于C选项，函数y＝|x|的定义域为R，且|－x|＝|x|，函数y＝|x|为偶函数；对于D选项，函数y＝x为奇函数．
答案：D
2．解析：由9－x2>0可得－3令f(x)＝，则f(x)＝＝，
f(－x)＝＝－f(x)，
所以函数y＝是奇函数．
答案：A
3．解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(2)＝f(－2)＝(－2)3＝－8.
答案：B
4．解析：根据函数的定义域为{x|x≠0}可知选项B，选项C不正确；根据函数y＝|x－1|的值恒正，可知选项D不正确．
答案：A
5．解析：f(x)＝(a＋x)(2－x)＝－x2＋(2－a)x＋2a，定义域为R，f(－x)＝－x2－(2－a)x＋2a，
因为f(x)为偶函数，所以f(－x)＝f(x)，
所以2－a＝0，即a＝2，
f(x)＝－x2＋4，因为－x2≤0，所以－x2＋4≤4.即值域为(－∞，4].
答案：2 (－∞，4]
6．解析：(1)f(x)＝的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数．
(2)f(x)＝－3x2＋1的定义域是R，f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)f(x)＝的定义域是[－1，0)∪(0，1]，
所以解析式可化简为f(x)＝，满足f(－x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．
(4)函数的定义域为R，
当x>0时，－x<0，则f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1＝f(x)，
当x＝0时，f(－x)＝f(x)＝1，
当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x＋1＝f(x)，
综上，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
关键能力综合练
7．解析：根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，作出其在[－7，7]上的图象，如图所示，由图象可知这个函数有三个单调增区间，有三个单调减区间，在其定义域内有最大值7，最小值不是－7.
答案：BC
8．解析：函数y＝－x2＋1为偶函数，故A错误；函数y＝的定义域为{x|x≠－1}，所以该函数为非奇非偶函数，故B错误；函数y＝－在整个定义域内不单调，故C错误；函数y＝x|x|＝，所以该函数为奇函数且单调递增，故D正确．
答案：D
9．解析：偶函数的图象一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，例如，函数f(x)＝x0，其定义域为{x|x≠0}，故其图象与y轴不相交，但f(x)＝x0＝1(x≠0)是偶函数，从而可知A是错误的，C是正确的．奇函数的图象关于原点对称，若在[a，b]内单调递增(单调递减)，则在[－b，－a]内也为单调递增(单调递减)，故B正确．若点(a，f(a))在奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象上，则点(－a，－f(a))也在其图象上，故D是错误的．
答案：AD
10．解析：因为原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5，5]上的图象关于坐标原点对称，由y＝f(x)在[0，5]上的图象，知它在[－5，0]上的图象，如图所示，由图象知，使函数值y<0的解集为(－2，0)∪(2，5).
答案：D
11．解析：由题意可知2b－5＋2b－3＝0，即b＝2.
又f(x)是奇函数，故f(－x)＋f(x)＝0，
所以2ax2＋2c＝0对任意x都成立，则a＝c＝0，
所以f(x)＝x3＋2x，
所以f()＝＋2×＝＋1＝.
答案：B
12．解析：令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，
∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，
∴g(3)＝5，
又f(3)＝g(3)＋2，
所以f(3)＝5＋2＝7.
答案：7
核心素养升级练
13．解析：在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，
令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，
又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，
∴f(1)＋g(1)＝1.
答案：1
14．解析：(1)由题意得
解得 f(x)＝，
此时f(－x)＝＝－f(x)，满足题意，
所以f(x)＝.
(2)证明：任取x1x2∈(－1，1)且x1f(x1)－f(x2)＝－
＝.
因为－1所以x2－x1>0，x1x2－1<0，
(x＋1)(x＋1)>0，
所以f(x1)－f(x2)<0，
即f(x1)所以f(x)在(－1，1)上是增函数．
1第2课时 函数的平均变化率与最值
必备知识基础练
1．已知函数f(x)＝在[1，2]上的最大值为A，最小值为B，则A－B等于( )
A． B．－
C．1 D．－1
2．函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])的最小值、最大值分别为( )
A．3，5 B．－3，5
C．1，5 D．5，－3
3．已知f(x)＝x2－ax＋在[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为( )
A．0 B．
C．1 D．2
4．函数y＝f(x)的定义域为[－4，6]，且在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2，6]上递增，且f(－4)＜f(6)，则函数f(x)的最小值是________，最大值是________．
5．质点运动规律为s＝t2＋3，则在时间(3，3＋Δt)内的平均速度为________，在t＝3处的瞬时速度为________．
6．利用函数的平均变化率证明函数y＝在区间[0，5]上是减函数．
关键能力综合练
7．已知函数f(x)＝kx2－4x＋8在[5，10]上单调递减，且f(x)在[5，10]上的最小值为－32，则实数k的值为( )
A．－ B．0
C．0或－ D．0或
8．(多选)下列函数中，值域是[0，＋∞)的是( )
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝x2 D．y＝－x2＋4
9．(多选)设c＜0，f(x)是区间[a，b]上的减函数，下列结论中正确的是( )
A．f(x)在区间[a，b]上有最小值f(a)
B．在[a，b]上有最小值f(a)
C．f(x)－c在[a，b]上有最小值f(b)－c
D．cf(x)在[a，b]上有最小值cf(a)
10．已知曲线y＝－1上两点A(2，－)，B(2＋Δx，－＋Δy)，当Δx＝1时，直线AB的斜率为________．
11．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是________．
12．已知函数f(x)＝x＋.
(1)试证明函数f(x)在(0，2)上单调递减；
(2)求函数f(x)在[，4]上的值域．
核心素养升级练
13．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是( )
14．对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．13
C．12
15．求二次函数f(x)＝x2－2ax＋2在[2，4]上的最小值．
第2课时 函数的平均变化率与最值
必备知识基础练
1．解析：函数f(x)＝在[1，2]上是减函数，所以x＝1时，f(x)的最大值为1，即A＝1，x＝2时，f(x)的最小值为，即B＝，则A－B＝1－＝.
答案：A
2．解析：因为f(x)＝－2x＋1在[－2，2]是减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，当x＝－2时，函数的最大值为5.
答案：B
3．解析：因为f(x)＝x2－ax＋图象的开口向上，对称轴为x＝，
①当≤，即a≤1时，此时函数取得最大值g(a)＝f(1)＝1－，
②当>，即a>1时，此时函数取得最大值g(a)＝f(0)＝，故g(a)＝，故当a＝1时，g(a)取得最小值.
答案：B
4．解析：因为函数y＝f(x)在区间[－4，－2]上递减，在区间[－2，6]上递增，所以f(x)的最小值是f(－2)，又因为f(－4)＜f(6)，所以f(x)的最大值是f(6).
答案：f(－2) f(6)
5．解析：根据平均变化率的公式，
则在时间(3，3＋Δt)内的平均速度为
＝＝6＋Δt，
当t＝3时的瞬时速度为6.
答案：6＋Δt 6
6．解析：证明：设0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，
则f(x2)－f(x1)＝－＝，
所以＝，
又由0≤x1，x2≤5，且x1≠x2，
则x1＋2＞0，x2＋2＞0，所以<0，
则函数y＝在[0，5]上是减函数．
关键能力综合练
7．解析：由函数f(x)＝kx2－4x＋8在[5，10]上单调递减可知，当x＝10时，函数有最小值，
即100k－40＋8＝－32，解得k＝0，当k＝0时，f(x)＝－4x＋8，函数单调递减，满足题意．
答案：B
8．解析：y＝|x|的值域是[0，＋∞)；y＝3－x的值域是R；
y＝x2的值域是[0，＋∞)；
y＝－x2＋4的值域是(－∞，4].
答案：AC
9．解析：A中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，在区间[a，b]上有最小值f(b)，A错误；B中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，而函数在[a，b]上单调性无法确定，其最小值无法确定，B错误；C中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，f(x)－c在区间[a，b]上也是减函数，其最小值为f(b)－c，C正确；D中，f(x)是区间[a，b]上的减函数，且c＜0，则cf(x)在区间[a，b]上是增函数，则在[a，b]上有最小值cf(a)，D正确．
答案：CD
10．解析：Δy＝－1－(－)＝，
kAB＝＝－，当Δx＝1时，kAB＝－.
答案：－
11．解析：a＜－x2＋2x恒成立，即a小于函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值，而f(x)＝－x2＋2x，x∈[0，2]的最小值为0，所以a＜0.
答案：(－∞，0)
12．解析：(1)证明：任取x1，x2∈(0，2)且x1则f(x1)－f(x2)＝(x1＋)－(x2＋)
＝(x1－x2)＋(－)＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)(1－)，又0所以x1－x2<0，0所以(x1－x2)>0，
则f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)＝x＋在x∈(0，2)上单调递减．
(2)任取x1，x2∈[2，＋∞)且x1即f(x)在[2，＋∞)上单调递增，又f(x)在(0，2)上单调递减，
其中f()＝，f(2)＝4，f(4)＝5，所以f(x)在区间[，4]上的值域为[4，].
核心素养升级练
13．解析：由图象可知，高度与时间都是线性关系，所以排除C、D；当t∈[0，t1]时，高度匀速增长，当t∈[t1，t2]时，高度也是匀速增长的，但t∈[0，t1]时的增长速率小于t∈[t1，t2]时的增长速率，所以只有A满足．
答案：A
14．解析：对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，
设g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
即g(a)>0在a∈[－1，1]上恒成立．
g(a)在a∈[－1，1]上是关于a的一次函数或常数函数，其图象为一条线段，
则只需线段的两个端点在x轴上方，
即，解得x>3或x<1.
答案：B
15．解析：∵函数图象的对称轴是x＝a，
∴当a<2时，f(x)在[2，4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝6－4a，
当a>4时，f(x)在[2，4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝18－8a，
当2≤a≤4时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，
设f(x)在[2，4]上的最小值为g(a)，
∴g(a)＝
2第1课时 函数单调性的定义与证明
必备知识基础练
1．下列函数在(0，＋∞)上是增函数的是( )
A．y＝B．y＝|x|
C．y＝－x2 D．y＝－2x＋1
2．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(9，＋∞) B．[9，＋∞)
C．(－∞，－9) D．(－∞，－9]
3．可推得函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是( )
A．a＝0 B．
C． D．
4．函数f(x)＝x2＋ax－1在[2，3]上不单调，则实数a的取值范围为________．
5．已知函数f(x)＝
(1)在图中画出函数f(x)的大致图象；
(2)写出函数f(x)的单调递减区间．
6．已知函数f(x)＝ax＋(a，b是常数)，满足f(1)＝3，f(2)＝.
(1)求a，b的值；
(2)试判断函数f(x)在区间(0，)上的单调性，并用定义证明．
关键能力综合练
7．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，则( )
A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a)
8．已知函数f(x)＝－x|x|＋2x，则下列结论正确的是( )
A．递增区间是(0，＋∞)
B．递减区间是(－∞，－1)
C．递增区间是(－∞，－1)
D．递增区间是(－1，1)
9．定义域在R上的函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有(x1－x2)[(f(x1)－f(x2)]＞0，则有( )
A.f(－2)＜f(1)＜f(3)
B．f(1)＜f(－2)＜f(3)
C．f(3)＜f(－2)＜f(1)
D．f(3)＜f(1)＜f(－2)
10．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．[－1，0)∪(0，1]
C．(0，1) D．(0，1]
11．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．
12．如果二次函数y＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1]上是减函数，那么a的取值范围是________．
核心素养升级练
13．已知f(x)＝是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为________．
14．能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________．
15．已知函数f(x)＝，且f(1)＝3，f(2)＝.
(1)求a，b的值，写出f(x)的表达式；
(2)判断f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．
第1课时 函数单调性的定义与证明
必备知识基础练
1．解析：函数y＝在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；
函数y＝|x|＝在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；
函数y＝－x2在(0，＋∞)上单调递减，故C错误；
函数y＝－2x＋1在(0，＋∞)上单调递减，故D错误．
答案：B
2．解析：因为y＝f(x)在R上为增函数，
且f(2m)>f(m＋9)，所以2m>m＋9，解得m>9.
答案：A
3．解析：因为函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，2]上，若a>0，图象开口向上，对称轴x＝－＝，
要使f(x)在区间[1，2]上为增函数，则
若a＜0，图象开口向下，要求＞2，显然不可能，
所以函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间[1，2]上为增函数的一个条件是
答案：B
4．解析：可得f(x)的对称轴为x＝－，
因为f(x)在[2，3]上不单调，则2<－<3，
解得－6答案：(－6，－4)
5．解析：(1)函数f(x)的大致图象如图所示．
(2)由函数f(x)的图象得出，函数的单调递减区间为[2，4].
6．解析：(1)因为f(1)＝3，f(2)＝，
所以解得：
故a＝2，b＝1.
(2)由(1)得f(x)＝2x＋，任取x1，x2∈(0，)且x1那么f(x1)－f(x2)＝2x1＋－2x2－
＝(x1－x2)(2－)，
因为0＜x1＜x2＜，
所以x1x2＜，2－＜0，又x1－x2<0，
故f(x1)－f(x2)＞0，f(x1)>f(x2)，
故f(x)在(0，)上递减．
关键能力综合练
7．解析：因为a2＋1－a＝(a－)2＋＞0，所以a2＋1＞a，又因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a2＋1)＜f(a).
答案：D
8．解析：因为函数f(x)＝－x|x|＋2x＝，作出函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，递增区间是(－1，1)，递减区间是(－∞，－1)和(1，＋∞).
答案：D
9．解析：因为对任意的x1，x2∈R，且x1≠x2，都有(x1－x2)[(f(x1)－f(x2)]＞0，
当x1即f(x1)当x1>x2时，x1－x2>0，则f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2).可得函数f(x)是在R上的增函数，所以f(－2)＜f(1)＜f(3).
答案：A
10．解析：因为g(x)＝在区间[1，2]上是减函数，所以a>0，因为函数f(x)＝－x2＋2ax的图象开口向下，对称轴为直线x＝a，且函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，所以a≤1，
故满足题意的a的取值范围是(0，1].
答案：D
11．解析：函数f(x)＝的单调减区间为(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1.
答案：[－1，＋∞)
12．解析：y＝3x2＋2(a－1)x＋b＝3(x＋)2＋b－在区间(－∞，1]上是减函数，
则－≥1，所以a≤－2.
答案：(－∞，－2]
核心素养升级练
13．解析：因为f(x)是增函数，
所以解得0≤a≤1.
答案：[0，1]
14．解析：这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，且函数f(x)在[0，2]上不是增函数即可，如f(x)＝答案不唯一．
答案：f(x)＝ (答案不唯一)
15．解析：(1)由
则f(x)＝.
(2)任设1≤x1＜x2，f(x1)－f(x2)
＝－＝(x1－x2)·，
因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，
又因为x1≥1，x2>1，
所以x1x2>1，2x1x2>2>1，即2x1x2－1＞0，
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
故f(x)在[1，＋∞)上是增函数.
1第3课时 分段函数
必备知识基础练
1．函数f(x)＝，则f(f(2))的值为( )
A．－1 B．－3
C．0 D．－8
2．已知函数f(x)＝，若f(a)＝10，则实数a的值为( )
A．±3 B．3
C．－3 D．－3或－5
3．设函数f(x)＝则f()＝________，若f(x0)>1，则x0的取值范围是________．
4．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________．
5．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝求f(g(x))和g(f(x))的解析式．
6．设函数f(x)＝且f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的定义域、值域．
关键能力综合练
7．设f(x)＝则f(5)的值是( )
A．24 B．21 C．18 D．16
8．已知f(x)＝如果f(x0)＝3，那么x0＝( )
A．2或－ B．2
C．－ D．2或
9．设x∈R，定义符号函数sgn x＝则( )
A．|x|＝x|sgn x| B．|x|＝x sgn |x|
C．|x|＝|x|sgn x D．|x|＝x sgn x
10．令[x]表示不超过x的最大整数，例如，[－3.5]＝－4，[2.1]＝2，若函数f(x)＝3[x]－[2x]，则函数f(x)在区间[0，2]上所有可能取值的和为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．(多选)已知f(x)＝则满足不等式xf(x)＋x≤2的x的值有( )
A．1 B．2 C．3 D．－1
12．求函数f(x)＝－＋x2的定义域，并画出图象，再求其值域．
核心素养升级练
13．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域为________．
14．已知函数f(x)＝1＋，
(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；
(2)在坐标系中画出函数f(x)的图象；
(3)在同一坐标系中，再画出函数g(x)＝(x>0)的图象(不用列表)，观察图象直接写出当x>0时，不等式f(x)>的解集．
第3课时 分段函数
必备知识基础练
1．解析：因为函数f(x)＝，
所以f(2)＝22－2－3＝－1，
所以f(f(2))＝f(－1)＝1－(－1)2＝0.
答案：C
2．解析：因为函数f(x)＝，f(a)＝10，
所以当a≤0时，f(a)＝a2＋1＝10，
解得a＝－3或a＝3(舍去)；
当a>0时，f(a)＝－2a＝10，解得a＝－5(舍去)，
所以实数a的值为－3.
答案：C
3．解析：f()＝ ＝＝，
当x0≤0时，由－x0－1>1，得x0<－2，
当x0>0时，由>1，得x0>1，
所以x0的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞).
答案： (－∞，－2)∪(1，＋∞)
4．解析：当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2，
当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2，
当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2，
故y＝
根据函数解析式作出函数图象，如图所示，
由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}．
答案：{y|y≤2}
5．解析：当x≥0时，g(x)＝x2，
f(g(x))＝2x2－1，
当x<0时，g(x)＝－1，f(g(x))＝－2－1＝－3，
所以f(g(x))＝
因为当2x－1≥0，即x≥时，g(f(x))＝(2x－1)2，
当2x－1<0，即x<时，g(f(x))＝－1，
所以g(f(x))＝
6．解析：(1)因为f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－1，
所以16－4b＋c＝3，4－2b＋c＝－1，
解得：b＝4，c＝3，
所以f(x)＝
(2)分析函数的定义域为[－4，4]，
当－4≤x<0时，f(x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，
由－4≤x<0可得，－1≤f(x)≤3，
当0≤x≤4时，
f(x)＝－x＋3，
所以－1≤f(x)≤3，
所以函数的值域为[－1，3]，
其图象如图所示．
关键能力综合练
7．解析：f(5)＝f(f(10))，
f(10)＝f(f(15))＝f(18)＝21，
f(5)＝f(21)＝24.
答案：A
8．解析：因为f(x)＝
所以若x0<0，f(x0)＝x＝3，则x0＝－，
同理若x0>0，f(x0)＝x0＋1＝3，则x0＝2.
答案：A
9．解析：当x<0时，|x|＝－x，x|sgn x|＝x，
x sgn |x|＝x，|x|sgn x＝(－x)·(－1)＝x，排除A，B，C.
答案：D
10．解析：因为[x]表示不超过x的最大整数，所以：
当0≤x<时，有0≤2x<1，则[x]＝0，则3[x]＝0，[2x]＝0，此时f(x)＝0，
当≤x<1时，有1≤2x<2，则[x]＝0，则3[x]＝0，[2x]＝1，此时f(x)＝－1，
当1≤x<时，有2≤2x<3，则[x]＝1，则3[x]＝3，[2x]＝2，此时f(x)＝1，
当≤x<2时，有3≤2x<4，则[x]＝1，则3[x]＝3，[2x]＝3，此时f(x)＝0，
当x＝2时，2x＝4，则[x]＝2，则3[x]＝6，[2x]＝4，此时f(x)＝2，函数f(x)在区间[0，2]上所有可能取值的和为0－1＋1＋0＋2＝2.
答案：B
11．解析：当x≥0时，f(x)＝1，
代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，所以0≤x≤1，
当x<0时，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，
解得x≤2，所以x<0.综上可知x≤1.
答案：AD
12．解析：由题意知，该函数的定义域为{x|x≠0}，f(x)＝其图象如图所示，
由图象可知，所求函数的值域为[－，＋∞).
核心素养升级练
13．解析：由题意得f(x)＝
画出函数f(x)的图象，值域是(－∞，1].
答案：(－∞，1]
14．解析：(1)因为当x≥0时，f(x)＝1；
当x<0时，f(x)＝x＋1，
所以f(x)＝
(2)函数图象如图：
(3)由图可知当x>1时，f(x)>g(x)，
所以不等式f(x)>的解集为{x|x>1} .
2第2课时 函数的表示方法
必备知识基础练
1．一旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，发现每间房客每天的定价与住房率有如下关系：
每间房定价 100元 90元 80元 60元
住房率 65% 75% 85% 95%
要使每天的收入最高，每间房的定价为( )
A．100元 B．90元 C．80元 D．60元
2．下列函数中不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
3.
已知函数y＝f(x)的对应关系如表，函数y＝g(x)的图象是如图所示的曲线ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，则g(f(1))的值为( )
x 1 2 3
f(x) 2 3 0
A.3 B．2 C．1 D．0
4．(多选)已知函数f(x)是一次函数，满足f(f(x))＝9x＋8，则f(x)的解析式可能为( )
A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x－2
C．f(x)＝－3x＋4 D．f(x)＝－3x－4
5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的定义域是____________，值域是________．
6．求下列函数的解析式：
(1)已知f(x＋2)＝2x＋3，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x).
关键能力综合练
7．某高三学生于2020年9月第二个周末乘高铁赴济南参加全国高中数学联赛(山东省赛区)的比赛活动．早上他乘坐出租车从家里出发，离开家不久，发现身份证忘在家里了，于是回到家取上身份证，然后乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站，令x(单位：分钟)表示离开家的时间，y(单位：千米)表示离开家的距离，其中等待红绿灯及在家取身份证的时间忽略不计，下列图象中与上述事件吻合最好的是( )
8．等腰三角形的周长为20，底边长y是一腰长x的函数，则( )
A．y＝10－x(0＜x≤10)
B．y＝10－x(0＜x＜10)
C．y＝20－2x(5≤x≤10)
D．y＝20－2x(5＜x＜10)
9．(多选)甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A.甲比乙先出发
B．乙与甲跑的路程一样多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
10．如图所示，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出此盒子的体积V以x为自变量的函数式，并指明这个函数的定义域．
11．设函数f(x)满足f(x)＋2f()＝x(x∈R且x≠0)，则f(x)＝________．
12．已知二次函数f(x)满足f(0)＝f(4)，且f(x)＝0的两根平方和为10，图象过(0，3)点，求f(x)的解析式．
核心素养升级练
13．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 1 2 3
f(x) 1 3 1
x 1 2 3
g(x) 3 2 1
则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是________．
14．给定函数f(x)＝－x＋1，g(x)＝(x－1)2，x∈R.
(1)画出函数f(x)，g(x)的图象；
(2) x∈R，用m(x)表示f(x)，g(x)中的较小者，记为m(x)＝min{f(x)，g(x)}，请分别用图象法和解析法表示函数m(x).
第2课时 函数的表示方法
必备知识基础练
1．解析：住房率是每天房价的函数关系，这种关系在题中是用表格的形式表示出来的，而每天的收入y＝房价×住房率×间数(100)，我们也可以列出相应的表格：
每间房定价 100元 90元 80元 60元
住房率 65% 75% 85% 95%
收入 6 500元 6 750元 6 800元 5 700元
从表格很清楚地看到，每天的房价定在80元时，每天的收入最高．
答案：C
2．解析：验证法．若f(x)＝x＋1，则f(2x)＝2x＋1，而2f(x)＝2(x＋1)＝2x＋2，则f(2x)≠2f(x)，故选C.
答案：C
3．解析：由y＝g(x)的图象及y＝f(x)的对应关系表得g(f(1))＝ g(2)＝1.
答案：C
4．解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，由题意可知f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋8，
所以，解得或，
所以f(x)＝3x＋2或f(x)＝－3x－4.
答案：AD
5．解析：由函数图象可知，函数的定义域为[－3，0]∪[1，3]，值域为[1，5].
答案：[－3，0]∪[1，3] [1，5]
6．解析：(1)f(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，
∴f(x)＝2x－1.
(2)方法一(换元法) 令t＝＋1，t≥1，则x＝(t－1)2，
所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，
所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
方法二(配凑法) f(＋1)＝x＋2＝x＋2＋1－1＝(＋1)2－1，
因为＋1≥1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1).
关键能力综合练
7．解析：由题意，该高三学生离开家，y是x的一次函数，且斜率为正；高三学生返回家的过程中，y仍然是x的一次函数，斜率为负；高三学生最后由家乘坐出租车以更快的速度赶往高铁站，y仍然是x的一次函数，斜率为正值，且斜率比第一段的斜率大，则图象先增再减再增，且第三段的斜率大于第一段的斜率，所以与事件吻合最好的图象为C.
答案：C
8．解析：因为2x＋y＝20，所以y＝20－2x，
解不等式组得5＜x＜10.
答案：D
9．解析：从图中直线看出s甲＝s乙；甲、乙同时出发，跑了相同的路程，甲先于乙到达．
答案：BD
10．解析：由题意可知该盒子的底面是边长为(a－2x)的正方形，高为x，
所以此盒子的体积V＝(a－2x)2·x＝x(a－2x)2，
其中自变量x应满足即0所以此盒子的体积V以x为自变量的函数式为
V＝x(a－2x)2，定义域为(0，).
11．解析：因为对任意x∈R且x≠0都有f(x)＋2f()＝x成立．所以对于∈R，有f()＋2f(x)＝，两式组成方程组
②×2－①整理得：f(x)＝(－x).
答案：(－x)
12．解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝f(4)知得4a＋b＝0 ①，
又图象过(0，3)点，所以c＝3 ②，
设f(x)＝0的两实根为x1，x2，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝(－)2－2·＝10.
即b2－2ac＝10a2 ③，
由①②③得a＝1，b＝－4，c＝3，所以f(x)＝x2－4x＋3.
核心素养升级练
13．解析：由表中对应值，知f[g(1)]＝f(3)＝1.
当x＝1时，f[g(1)]＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不满足条件；
当x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，满足条件；
当x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，不满足条件；
所以满足f[g(x)]>g[f(x)]的x的值是2.
答案：1 2
14．解析：(1)f(x)＝－x＋1的图象如图(1)所示，g(x)＝(x－1)2的图象如图(2)所示．
(2)①图象法：在同一坐标系中画出f(x)，g(x)的图象，如图(3)所示，结合函数m(x)的定义，可得函数m(x)的图象，如图(4)所示．由－x＋1＝(x－1)2，得x＝0或x＝1.
结合图(4)得m(x)＝
②解析法：由f(x)≤g(x) －x＋1≤(x－1)2 x≤0或x≥1，所以m(x)＝
1第1课时 函数的概念
必备知识基础练
1．下列说法错误的是( )
A．函数值域中的每一个值都有定义域中的至少一个值与它对应
B．函数的定义域是无限集，则值域也是无限集
C．定义域与对应关系确定后，函数值域也就确定了
D.若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素
2．下列各项表示同一个函数的是( )
A．f(x)＝与g(x)＝x＋1
B．f(x)＝ －1与g(x)＝x－1
C．f(t)＝ 与g(x)＝
D．f(x)＝1与g(x)＝x·
3．若对应关系f为“求绝对值”是定义在集合A上的一个函数，值域为B，若A＝{－1，0，1}，则A∩B＝( )
A．{－1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}
4．函数f(x)＝的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．[1，2) D．[1，2)∪(2，＋∞)
5．函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数为( )
A．0 B．1 C．0或1 D．无数个
6．f(x)的定义域A＝{x∈Z|0≤x≤3}，则f(x)＝－2x2＋6x的值域为( )
A．[0，] B．[，＋∞) C．(－∞，] D．{0，4}
关键能力综合练
7．(多选)下列对应关系，其中是定义在集合A上的函数的是( )
A．A＝{1，4，9}，B＝{－3，－2，－1，1，2，3}，f为“求平方根”
B．A＝R，B＝R，f为“求倒数”
C．A＝R，B＝R，f为“平方减2”
D．A＝{－1，0，1}，B＝{0，1}，f为“求平方”
8．如表表示y是x的函数，则函数的值域是( )
x x<2 2≤x≤3 x＞3
y －1 0 1
A.{y|－1≤y≤1} B．R
C．{y|2≤y≤3} D．{－1，0，1}
9．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义．给定集合M＝{－1，1，2，4}，N＝{1，2，4，16}，给出下列四个对应关系：①“求倒数”，②“加上1”，③“求绝对值”，④“求平方”，请由函数定义判断，其中能构成定义在集合M上的函数的是( )
A．①③ B．①② C．③④ D．②④
10．四个函数：①y＝x＋1；②y＝x2；③y＝x2－1；④y＝中定义域相同的函数有( )
A．①②③ B．①② C．②③ D．②③④
11．(多选)下列四个图形中可能是函数y＝f(x)图象的是( )
12．已知函数f(x＋2)的定义域为(－2，0)，则函数f(2x－2)的定义域为( )
A．(0，2) B．(－，)
C．(1，2) D．(－，0)
核心素养升级练
13．如图所示，用长为1的铁丝做一个下部为矩形、上部为半圆形的框架，若半圆的半径为x，求此框架围成的面积y与x的函数解析式，并写出它的定义域．
14．(1)求下列函数的值域：
①y＝；
②y＝ ；
③f(x)＝，x∈[1，2]；
(2)已知函数f(x)＝2x－，x∈[1，5]，求f(x)的最小值．
第1课时 函数的概念
必备知识基础练
1．解析：根据函数的概念可判断A，C，D是正确的．对于B，如函数y＝1，值域是{1}，是有限集．
答案：B
2．解析：对于A选项，f(x)＝的定义域为{x|x≠1}，g(x)＝x＋1的定义域为R，故不满足；对于B选项，f(x)＝－1与g(x)＝x－1的定义域均为R，f(x)＝－1＝|x|－1，两个函数对应关系不一致，故不满足；对于C选项，f(t)＝ 与g(x)＝ 的定义域均为{x|－1≤x<1}，函数对应关系一致，故是同一个函数，满足；对于D选项，f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝x·的定义域为{x|x≠0}，故不满足．
答案：C
3．解析：由题意知A＝{－1，0，1}，对应关系f为“求绝对值”，则B＝{0，1}，所以A∩B＝{0，1}．
答案：B
4．解析：f(x)＝的定义域满足：，解得x∈[1，2)∪(2，＋∞).
答案：D
5．解析：若函数y＝f(x)在x＝a处无意义，则函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数为0；若函数y＝f(x)在x＝a处有意义，则函数y＝f(x)的图象与直线x＝a的交点个数为1.
答案：C
6．解析：因为A＝{x∈Z|0≤x≤3}＝{0，1，2，3}，f(x)＝－2x2＋6x，所以f(0)＝0，
f(1)＝4，f(2)＝4，f(3)＝0，故值域为{0，4}．
答案：D
关键能力综合练
7．解析：对于A，不是函数，A中的元素在B中的对应元素不唯一；对于B，不是函数，A中的元素0在B中没有对应元素；对于C，符合函数概念，是函数；对于D符合函数概念，是函数．
答案：CD
8．解析：函数值只有－1，0，1三个数值，故值域为{－1，0，1}．
答案：D
9．解析：在①中，y＝，当x＝－1时，y＝＝－1 N，错误；在②中，y＝x＋1，当x＝－1时，y＝－1＋1＝0 N，错误；在③中，y＝|x|，满足函数定义，正确；在④中，y＝x2满足函数定义，正确．
答案：C
10．解析：①②③中函数的定义域均为R，而④中函数的定义域为{x|x≠0}，故选A.
答案：A
11．解析：A，D都满足函数的定义；在B中，当x＝0时，有两个函数值与之对应，不满足函数对应的唯一性；在C中，存在一个x有两个y与x对应，不满足函数对应的唯一性．
答案：AD
12．解析：由题意知－2∴0∴0<2x－2<2，解得1故f(2x－2)的定义域是(1，2).
答案：C
核心素养升级练
13．解析：AB＝2x，的长为πx，于是AD＝，
所以y＝2x·＋，
即y＝－x2＋x，
由得0所以此函数的定义域为(0，).
14．解析：(1)①y＝＝＝3－，
∵≠0，∴y≠3，
∴y＝的值域为{y|y∈R且y≠3}．
②令t＝x2－4x＋6，配方得t＝(x－2)2＋2，故t∈[2，＋∞)，则函数y＝的值域是[，＋∞).
③f(x)＝＝1－，
∵x∈[1，2]，∴x2∈[1，4]，
∴x2＋2∈[3，6]，∴∈[，]，
∴－∈[－，－]，
∴1－∈[－，]，
∴f(x)的值域为[－，].
(2)因为函数f(x)＝2x－，x∈[1，5]，
设t＝∈[0，2]，则x＝t2＋1，
所以g(t)＝2t2－t＋2，t∈[0，2]，
图象开口向上，对称轴为t＝，
所以f(x)min＝g()＝2×()2－＋2＝.
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