4．6 函数的应用(二)
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．某公司为适应市场需求，对产品结构进行了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后期增长越来越慢．若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A.一次函数 B．二次函数
C.指数型函数 D．对数型函数
2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A. B．
C. D．－1
3．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2016年全年投入研发奖金130万元．在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )
A.2018年 B．2019年
C.2020年 D．2021年
4．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg (其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度).设η1＝70 dB的声音强度为I1，η2＝60 dB的声音强度为I2，则I1是I2的( )
A.倍 B．10倍
C.10倍 D．ln 倍
5．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
6．2019年某地官方数字显示：该地区人口约有60万，但其人口总数在过去40年内翻了一番，问该地区每年人口的平均增长率是多少？
以下数据供计算时使用：
真数N 1.010 1.015 1.017 1.310 2.000
对数lg N 0.004 3 0.006 5 0.007 3 0.117 3 0.301 0
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．下面给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是( )
A.指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t
C.幂函数：y＝t3D．二次函数：y＝2t2
8．(多选)如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象，则( )
A.第3个月有害物质的剩留量是
B.第4个月时，剩留量就会低于
C.每月减少的有害物质质量都相等
D.当剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3
9．(多选)江苏省高邮市素有“鱼米之乡”之称，高邮城西有风光秀丽的高邮湖，湖内盛产花鲢鱼，记花鲢鱼在湖中的游速为v m/s，花鲢鱼在湖中的耗氧量的单位数为x，经研究发现，花鲢鱼的游速v与log2(x≥100)成正比，经测定，当花鲢鱼的耗氧量为200单位时，其游速为 m/s.则下列说法正确的是( )
A.v＝log2(x≥100)
B.当花鲢鱼静止时，耗氧量为100单位
C.当花鲢鱼的耗氧量为400单位时，其游速为2 m/s
D.若某条花鲢鱼的游速提高了1 m/s，则它的耗氧量的单位数是原来的2倍
10．在一次数学试验中，应用图形计算器采集到如下一组数据：
x －2.0 －1.0 0 1.00 2.00 3.00
y 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02
给出下列几个函数：
①y＝a＋bx；②y＝a＋bx；③y＝ax2＋b；④y＝a＋.
其中可以近似表示这些数据满足的规律的是________．
11．有关数据显示，中国某行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，该行业产生的包装垃圾将超过4 000万吨．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
12．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝()t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为________；
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．
14．美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产．经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y＝kxa(x>0)，其图象如图所示．
(1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)的函数关系式；
(2)如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？
(3)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获净利润，当x为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润．(净利润＝A芯片毛收入＋B芯片毛收入－研发耗费资金)
4．6 函数的应用(二)
1．答案：D
解析：由题意分析，符合对数型函数的特点．
2．答案：D
解析：设年平均增长率为x，则有(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，解得x＝－1.
3．答案：C
解析：设第x年的研发奖金为200万元，则由题意可得130×(1＋12%)x＝200，∴1.12x＝，
∴x＝log1.12＝log1.1220－log1.1213＝－＝≈＝3.8.即3年后不到200万元，第4年超过200万元，即2020年超过200万元．
4．答案：B
解析：依题意可知，η1＝10lg ，η2＝10lg ，所以η1－η2＝10lg －10lg ，则1＝lg I1－lg I2，所以＝10.
5．答案：125
解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.
6．解析：设该地区每年人口的平均增长率为x，n年前的人口数为y，
则y·(1＋x)n＝60，则当n＝40时，y＝30，
即30(1＋x)40＝60，
∴(1＋x)40＝2，两边取对数，
则40lg (1＋x)＝lg 2，
则lg (1＋x)＝≈0.007 525，
∴1＋x≈1.017，解得x≈1.7%.
7．答案：A
解析：由题干中的图象可知，该函数模型为指数函数模型．
8．答案：BD
解析：由于函数的图象经过点(2，)，故函数的关系式为y＝()t.当t＝3时，y＝()3＝，故A错误；当t＝4时，y＝<，故B正确；当t＝1时，y＝，减少，当t＝2时，y＝，减少，故每月减少的有害物质质量不相等，故C错误；分别令y＝，，，解得t1＝log，t2＝log，t3＝log，所以t1＋t2＝t3，故D正确．
9．答案：AB
解析：因为花鲢鱼的游速v与log2(x≥100)成正比，所以设v＝k·log2，又因为当x＝200时，v＝，所以＝k·log2，解得k＝，所以v＝log2(x≥100)，故A正确；当花鲢鱼静止时即v＝0，得log2＝0，解得x＝100，故B正确；当花鲢鱼的耗氧量为400单位时，即x＝400，得v＝log2＝log24＝1 m/s，故C错误；设花鲢鱼开始的游速为v0，耗氧的单位数为x0，则后来的速度为v1，设提速后的耗氧单位数为x1，因为v1＝v0＋1＝log2＋1＝(log2＋2)＝log2，又因为v1＝·log2，即log2＝log2，所以x1＝4x0，即耗氧量的单位数是原来的4倍，故D错误．
10．答案：②
解析：由题中表格数据画出函数的大致图象，可知这些数据满足的规律近似于指数函数．
11．答案：2021
解析：设该行业生产的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，
由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×()n，
当y＝4 000时，有()n＝10，
两边取对数可得n(lg 3－lg 2)＝1，
∴n(0.477 1－0.301 0)＝1，解得n≈6，
∴从2015＋6＝2021年开始，该行业产生的包装垃圾将超过4 000万吨．
12．答案：5
解析：设经过n小时后才能开车，此时酒精含量为0.3(1－0.25)n.根据题意，有0.3(1－0.25)n≤0.09，在不等式两边取常用对数，则有n lg ＝n(lg 3－2lg 2)≤lg 0.3＝lg 3－1，将已知数据代入，得n(0.48－0.6)≤0.48－1，解得n≥＝4，故至少经过5小时才能开车．
13．答案：(1)y＝ (2)0.6
解析：(1)因为药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，
则设函数为y＝kt(k>0)，
将点(0.1，1)代入y＝kt，
可得k＝10，所以y＝10t，
将点(0.1，1)代入y＝()t－a，得a＝0.1，
故所求的函数关系式为y＝
(2)由()t－0.1＝0.25＝，得t＝0.6，
即至少要经过0.6小时后，学生才能回到教室．
14．解析：(1)设投入资金x千万元，
则生产A芯片的毛收入y＝(x>0).
将(1，1)，(4，2)代入y＝kxa，
得∴
∴生产B芯片的毛收入y＝(x>0).
(2)由>，得x>16；由＝，得x＝16，
由<，得0
∴当投入资金大于16千万元时，生产A芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产A，B芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产B芯片的毛收入更大．
(3)由题知投入x千万元生产B芯片，则投入(40－x)千万元资金生产A芯片，公司所获净利润f(x)＝＋－2＝－(－2)2＋9，014．5 增长速度的比较
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．我们常用函数y＝f(x)的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy等于( )
A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋Δx
C．f(x0)·ΔxD．f(x0＋Δx)－f(x0)
2．函数f(x)＝2x2－1在区间(1，1＋Δx)上的平均变化率等于( )
A．4 B．4＋2Δx
C．4＋2(Δx)2 D．4x
3．在对数函数y＝log2x的图象上，从x＝2到x＝4的平均变化率是多少？此变化率的几何意义是________________________________________．
4．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x，②y＝x2，③y＝x3，④y＝中，平均变化率最大的是________．
5．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝log2x，若这两个函数在区间[1，4]上的平均变化率分别为k1，k2，则k1________k2(填“>”“<”或“＝”).
6．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这四个函数在区间[2，4]上的平均变化率，并比较它们的大小．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．下面对函数f(x)＝logx，g(x)＝()x与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )
A．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越慢
B．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越快
C．f(x)衰减速度越来越慢，g(x)衰减速度越来越慢，h(x)衰减速度越来越慢
D．f(x)衰减速度越来越快，g(x)衰减速度越来越快，h(x)衰减速度越来越快
8．函数y＝在区间[1，2]，[2，3]，[3，4]的平均变化率分别为k1，k2，k3，则( )
A．k1C．k39．四个函数在第一象限中的图象如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是( )
A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝，d：y＝2－x
B．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝
C．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝，d：y＝2－x
D．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝
10．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
11．(多选)甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1).则以下结论正确的是( )
A.当x>1时，甲走在最前面
B．当01时，丁走在最后面
C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
12．(多选)如图显示物体甲、乙在时间0到t1范围内路程s的变化情况，下列说法正确的是( )
A．在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B．在0到t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
C．在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D．在t0到t1范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？
14．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：
x 1 5 10 15 20 25 30
y1 2 26 101 226 401 626 901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10 20 30 40 50 60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907
关于x呈指数型函数变化的变量是________，呈对数型函数变化的变量是________．
4．5 增长速度的比较
1．答案：D
解析：∵自变量x由x0改变到x0＋Δx，当x＝x0时，y＝f(x0)，当x＝x0＋Δx时，y＝f(x0＋Δx)，∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.
2．答案：B
解析：因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[2(1＋Δx)2－1]－(2－1)＝2(Δx)2＋4Δx，所以＝2Δx＋4.
3．答案：；过对数函数y＝log2x图象上两点(2，1)，(4，2)的直线的斜率
解析：从x＝2到x＝4的平均变化率为＝＝，此变化率的几何意义是过对数函数y＝log2x图象上两点(2，1)，(4，2)的直线的斜率．
4．答案：③
解析：Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝3.99；④y＝在x＝1附近的平均变化率k4＝－＝－.∴k3>k2>k1>k4.
5．答案：>
解析：k1＝＝＝，所以函数f(x)＝3x在区间[1，4]上的平均变化率为＝26，k2＝＝＝，所以函数g(x)＝log2x在区间[1，4]上的平均变化率为＝＝，故k1>k2.
6．解析：＝＝6，＝＝6，＝＝36，＝＝28，所以在区间[2，4]上的平均变化率由大到小依次为>>＝.
7．答案：C
解析：观察函数f(x)＝logx，g(x)＝()x与h(x)＝x－在区间(0，＋∞)上的大致图象如图，可知：函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；
同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度变慢，在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.
8．答案：A
解析：k1＝－1＝－，k2＝－＝－，k3＝－＝－，∴k19．答案：C
解析：a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.故选C.
10．答案：B
解析：画出函数的图象，可知当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图象位于二次函数图象的上方，二次函数的图象位于对数函数图象的上方，故g(x)>f(x)>h(x).
11．答案：BCD
解析：四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，B，C，D正确．
12．答案：BC
解析：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为＝，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以>，故C正确，D错误．
13．解析：山路从A到B高度的平均变化率为hAB＝＝，山路从B到C高度的平均变化率为hBC＝＝，∴hBC>hAB，∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多．
14．答案：y2 y4
解析：以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2随着x的增大而迅速增加，y4随着x的增大而增大，但变化缓慢，画出它们的图象可知变量y2关于x呈指数型函数变化，y4关于x呈对数型函数变化．
14．4 幂函数
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．下列函数是幂函数的是( )
A．y＝5x B．y＝x5
C．y＝5x D．y＝(x＋1)3
2．函数y＝x的图象是( )
3．如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )
A.①y＝，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝，④y＝x－1
D．①y＝x3，②y＝，③y＝x2，④y＝x－1
4．下列函数在(－∞，0)上为减函数的是( )
A．y＝x B．y＝x2
C．y＝x3D．y＝x－2
5．(多选)下列不等式在aA．a－1>b－1 B．<
C．b2b－
6．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．b＜c＜a
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( )
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2，2， D．2，，－2，－
8．若<，则a的取值范围是( )
A．(，) B．(，)
C．(，2) D．(，＋∞)
9．(多选)定义域和值域相等的函数为“等域函数”，下列幂函数为“等域函数”的是( )
A．y＝x3 B．y＝x－
C．y＝ D．y＝x2
10．，，从小到大依次是________．
11．若幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图象与坐标轴无公共点，且关于原点对称，则实数m的取值集合为________．
12．已知幂函数y＝f(x)＝，其中m∈{x|－2(1)是区间(0，＋∞)上的增函数；
(2)对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝0.
求同时满足(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0，3]时f(x)的值域．
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13．幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线．设点A(1，0)，B(0，1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xα，y＝xβ的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么，αβ等于________．
14．已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)x－m－1(m∈R)为偶函数．
(1)则f()＝________；
(2)若f(2a＋1)＝f(a)，则实数a的值为________．
4．4 幂函数
1．答案：B
解析：函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．
2．答案：B
解析：∵当x>1时，x>x；当x＝1时，x＝x，所以A、C、D均不正确，选B.
3．答案：B
解析：因为y＝x3的定义域为R且为奇函数，故应为图①；y＝x2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②，同理可得出选项B正确．
4．答案：B
解析：∵A，C项在(－∞，0)上为增函数；D项中y＝x－2＝在(－∞，0)上也是增函数，故选B.
5．答案：ABC
解析：分别构造函数y＝x－1，y＝，y＝x2，y＝x－，其中函数y＝x－1，y＝x2在(－∞，0)上为减函数，故A、C成立，
而y＝，y＝x－为(－∞，0)上的增函数，从而B成立，D不成立．
6．答案：B
解析：由于函数y＝()x在它的定义域R上是减函数，∴a＝>b＝>0.由于函数y＝x在它的定义域R上是增函数，且>，故有c＝>a＝，故a，b，c的大小关系是b＜a＜c，故选B.
7．答案：B
解析：根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B.
8．答案：B
解析：令f(x)＝x－＝，∴f(x)的定义域是(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，故原不等式等价于解得9．答案：ABC
解析：y＝x3的定义域和值域都为R，A正确；y＝x－的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)，B正确；y＝的定义域和值域都为[0，＋∞)，C正确；y＝x2的定义域为R，值域为[0，＋∞)，D错误．
10．答案：0.25－<6.25<0.16－
解析：∵0.25－＝0.5－<0.16－，0.25－＝<6.25，6.25＝2.5＝0.4－<0.16－，∴0.25－＜6.25＜0.16－.
11．答案：{0，2}
解析：幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与坐标轴无公共点，且关于原点对称，可得m2－2m－3＜0(m∈Z)，并且m2－2m－3为奇数，解得m＝0，或m＝2，则实数m的取值集合为{0，2}．
12．答案：f(x)＝x3 [0，27]
解析：因为m∈{x|－2当m＝－1时，f(x)＝x2，只满足条件(1)而不满足条件(2)；
当m＝1时，f(x)＝x0，条件(1)(2)都不满足；
当m＝0时，f(x)＝x3，条件(1)(2)都满足，且在区间[0，3]上是增函数，所以x∈[0，3]时，函数f(x)的值域为[0，27].
13．答案：1
解析：因为BM＝MN＝NA，点A(1，0)，点B(0，1)，
所以M(，)，N(，)，分别代入y＝xα，y＝xβ，
则α＝log，β＝log，
所以α·β＝log·log＝1.
14．答案：(1)16 (2)－1或－
解析：(1)由m2－5m＋7＝1，得m＝2或3，
当m＝2时，f(x)＝x－3是奇函数，∴不满足题意，
∴m＝2舍去；
当m＝3时，f(x)＝x－4，满足题意，
∴f(x)＝x－4，
∴f()＝()－4＝16.
(2)由f(x)＝x－4为偶函数和f(2a＋1)＝f(a)可得|2a＋1|＝|a|，即2a＋1＝a或2a＋1＝－a，解得a＝－1或a＝－.
14．3 指数函数与对数函数的关系
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．函数y＝log3x的反函数是( )
A．y＝logx B．y＝3x
C．y＝()xD．y＝x3
2．函数y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为( )
A．(0，＋∞) B．(1，9]
C．(0，1) D．[9，＋∞)
3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域为( )
A．(1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[1，＋∞)
4．函数y＝f(x)的反函数存在，若点(2，1)在y＝f(x)的图象上，则其反函数一定过点________．
5．已知函数f(x)＝log2(x＋a)的反函数为y＝f－1(x)，且f－1(2)＝1，则实数a＝________．
6．求下列函数的反函数．
(1)y＝2x＋1(x<0)；
(2)y＝ex＋1.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．函数y＝(x≠－5)的反函数是( )
A．y＝－5(x≠0) B．y＝x＋5(x∈R)
C．y＝＋5(x≠0) D．y＝x－5(x∈R)
8．(多选)下列说法不正确的是( )
A．函数y＝ax与y＝()x的图象关于x轴对称
B．函数y＝logax与y＝的图象关于y轴对称
C．函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称
D．函数y＝ax与y＝logax的图象关于y轴对称
9．将y＝2x的图象________，再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象( )
A．先向上平移一个单位长度
B．先向右平移一个单位长度
C．先向左平移一个单位长度
D．先向下平移一个单位长度
10．(多选)已知f(x)＝则下列结论正确的是( )
A．f(f(1))＝ B．f(f(－1))＝
C．f(f(0))＝ D．f(f())＝2 019
11．已知函数f(x)＝1＋logax，y＝f－1(x)是函数y＝f(x)的反函数，若y＝f－1(x)的图象过点(2，4)，则a的值为________．
12．设函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)满足f(27)＝3，则f－1(log92)的值是________．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
14．已知f(x)＝loga(ax－1)(a>0，且a≠1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)解方程f(2x)＝f－1(x).
4．3 指数函数与对数函数的关系
1．答案：B
解析：∵y＝log3x，∴3y＝x，∴函数y＝log3x的反函数是y＝3x，故选B.
2．答案：B
解析：由于反函数的定义域为原函数的值域，
∵0＜x≤2，∴y＝3x∈(1，9]，故y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(1，9].
3．答案：C
解析：y＝f－1(x)的定义域即为原函数的值域，∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0.
4．答案：(1，2)
解析：由互为反函数的图象关于直线y＝x对称，∴(2，1)关于y＝x的对称点(1，2)一定在其反函数的图象上．
5．答案：3
解析：函数f(x)＝log2(x＋a)的反函数为y＝f－1(x)，且f－1(2)＝1，则2＝log2(1＋a)，解得a＝3.
6．解析：(1)因为y＝2x＋1，0<2x<1，所以1<2x＋1<2，
所以1由2x＝y－1，得x＝log2(y－1)，
所以f－1(x)＝log2(x－1)(1(2)由y＝ex＋1得x＋1＝ln y，
即x＝－1＋ln y，所以所求反函数为y＝－1＋ln x (x>0).
7．答案：A
解析：∵y＝(x≠－5)，∴y≠0，
∴xy＋5y＝1，∴x＝－5，∴y＝(x≠－5)的反函数为y＝－5(x≠0).
8．答案：ABD
解析：令a＝2，分别作出y＝ax，y＝()x，y＝logax，y＝logx，y＝x对应的图象如图，由图象可知：函数y＝ax与y＝()x的图象关于y轴对称，故A不正确；函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称，故B不正确；函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，故C正确，D不正确．
9．答案：D
解析：将y＝2x向下平移一个单位得到y＝2x－1，再作关于直线y＝x对称的图象即可得到，故选D.
10．答案：ACD
解析：f(f(1))＝f()＝()＝，选项A正确；f(f(－1))＝f(2)＝0≠，选项B不正确；f(f(0))＝f(1)＝，选项C正确；f(f())＝f(log2)＝＝＝2 019，选项D正确．
11．答案：4
解析：因为y＝f－1(x)的图象过点(2，4)，所以函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，又因为f(x)＝1＋logax，
所以2＝1＋loga4，即a＝4.
12．答案：
解析：∵f(27)＝3，∴loga27＝3，解得a＝3，
∴f(x)＝log3x，∴f－1(x)＝3x，
所以f－1(log92)＝＝＝.
13．解析：将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.
如图可知，
a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，
b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标，
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，
于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)，
而A，B都在直线y＝－x＋3上，
所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，
或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.
14．解析：(1)要使函数有意义，必须ax－1>0，得ax＞1，
当a>1时，x>0；
当0∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；
当0(2)当a>1时，设0故0∴loga(ax1－1)∴f(x1)故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
类似地，当0(3)令y＝loga(ax－1)，则ay＝ax－1，
∴x＝loga(ay＋1)，
∴f－1(x)＝loga(ax＋1)，
由f(2x)＝f－1(x)，得loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)，
∴a2x－1＝ax＋1，
解得ax＝2或ax＝－1(舍去)，∴x＝loga2.
14．2.3 对数函数的性质与图象(一)
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．(多选)下列函数为对数函数的是( )
A．y＝ln x
B．y＝loga(2x)(a>0且a≠1)
C．y＝log(a－1)x(a>1且a≠2)
D．y＝2logax(a>0且a≠1)
2．若某对数函数的图象过点(4，2)，则该对数函数的解析式为( )
A．y＝log2x B．y＝2log4x
C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定
3．函数f(x)＝的定义域是( )
A．[4，＋∞)
B．(10，＋∞)
C.(4，10)∪(10，＋∞)
D．[4，10)∪(10，＋∞)
4．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是( )
A．m>0，0C．m>0，n>1 D．m<0，n>1
5．函数y＝loga(x＋1)－2(a>0且a≠1)的图象恒过点________．
6．函数f(x)＝的定义域为________．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a>0，且a≠1，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象可能是( )
8．已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a的取值范围是( )
A.[，) B．[，1)
C．(0，1) D．(0，)
9．(多选)已知实数a，b满足等式log2a＝log3b，则下列四个选项中，可能成立的有( )
A．a＞b＞1 B．a＜b＜1
C．b＜a＜1 D．a＝b
10．如果函数f(x)＝(3－a)x，g(x)＝logax的增减性相同，则a的取值范围是________．
11．函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)在[2，3]上的最大值为1，则a＝________．
12．已知函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1).
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数的奇偶性．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．已知f(x)＝|log3x|，若f(a)>f(2)，则a的取值范围为________．
14．已知函数f(x)＝则f(f(－1))＝________；若f(f(x))＝x，则x的取值范围是______．
4．2.3 对数函数的性质与图象(一)
1．答案：AC
解析：y＝loga(2x)(a>0且≠1)的真数不符合对数函数定义，B错误；
y＝2logax(a>0且a≠1)在对数形式前乘2，不符合对数函数定义，D错误．
2．答案：A
解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝logax，则loga4＝2，解得a＝2，故所求解析式为y＝log2x.
3．答案：D
解析：由解得
∴x≥4且x≠10，
∴函数f(x)的定义域为[4，10)∪(10，＋∞).
4．答案：C
解析：由题中图象知函数为增函数，故n>1，
又当x＝1时，f(x)＝m>0，故m>0.
5．答案：(0，－2)
解析：依题意，x＋1＝1，即x＝0时，y＝loga(0＋1)－2＝0－2＝－2，故图象恒过定点(0，－2).
6．答案：(0，]
解析：由1－2log5x≥0，得log5x≤，
故07．答案：AD
解析：由题意知f(x)＝ax－2是指数型函数，
g(x)＝loga|x|是对数型函数，且是一个偶函数．当01时，f(x)＝ax－2单调递增，g(x)＝loga|x|在(0，＋∞)上单调递增，此时D符合题意，故选AD.
8．答案：A
解析：因为f(x)为(－∞，＋∞)上的减函数，
所以有，解得≤a<.
9．答案：CD
解析：实数a，b满足等式log2a＝log3b，即y＝log2x在x＝a处的函数值和y＝log3x在x＝b处的函数值相等，当a＝b＝1时，log2a＝log3b＝0，此时D成立；令log2a＝log3b＝1，可得a＝2，b＝3，由此知A不成立；令log2a＝log3b＝－1，可得a＝，b＝，由此知C成立，B不成立，综上知可能成立的有CD两项．
10．答案：(1，2)
解析：若f(x)，g(x)均为增函数，则即1＜a＜2.
若f(x)，g(x)均为减函数，则无解．
11．答案：3
解析：当a＞1时，f(x)的最大值是f(3)＝1，则loga3＝1，∴a＝3.
当0＜a＜1时，f(x)的最大值是f(2)＝1，则loga2＝1，
∴a＝2(不合题意舍去).
综上得a＝3.
12．解析：(1)要使函数有意义，则有>0，
即或
解得x>1或x<－1，
此函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，关于原点对称．
(2)f(－x)＝loga＝loga
＝－loga＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
13．答案：(0，)∪(2，＋∞)
解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，由于f(2)＝f()，故结合图象可知02.
14．答案：－1 (－∞，1]
解析：f(－1)＝3－1>0，故f(f(－1))＝f(3－1)＝log33－1＝－1.
当x≤0时，f(x)＝3x>0，
f(f(x))＝f(3x)＝log33x＝x；
当0f(f(x))＝f(log3x)＝3log3x＝x；
当x＝1时，f(x)＝log31＝0，f(f(x))＝f(0)＝30＝1；
当x>1时，f(x)＝log3x>0，f(f(x))＝log3(log3x)≠x，故使f(f(x))＝x的x的取值范围是(－∞，1].
14．2.1 对数运算 4.2.2 对数运算法则
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．将()3＝化为对数式正确的是( )
A．log3＝ B．log＝3
C．log＝3 D．log3＝
2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( )
A．a－2 B．3a－(1＋a)2
C．5a－2 D．－a2＋3a－1
3．计算log225·log32·log59的结果为( )
A．3 B．4
C．5 D．6
4．若x＝60，则＋＋的值为( )
A．1 B．
C．2 D．－1
5．求下列各式中x的值．
(1)log5(log3x)＝0；
(2)－ln e2＝x；
(3)lg [log2(lg x)]＝0；
(4)log3(2x－1)＝1；
(5)4x－2x＋1－3＝0.
6．计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．若lg x＝m，lg y＝n，则lg －lg ()2的值等于( )
A．m－2n－2 B．m－2n－1
C．m－2n＋1 D．m－2n＋2
8．(多选)下列各等式正确的是( )
A．log23×log25＝log2(3×5)
B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)
C．log2＝log2x－log2y
D．lg ＝ lg m(m>0，n>1，n∈N*)
9．(多选)下列指数式与对数式互化正确的是( )
A．e0＝1与ln 1＝0
B．8－＝与log8＝－
C．lg 100＝2与＝10
D．log77＝1与71＝7
10．log425－2log410＋log45·log516的值是________．
11．已知函数f(x)＝f(f(0))＝3a，则a＝________；f(log2a)＝________．
12．(1)已知log189＝a，log1854＝b，求182a－b的值；
(2)已知logx27＝，求x的值．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．已知函数f(x)＝则f(1＋log23)的值为( )
A．6 B．12 C．24 D．36
14．中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C＝Wlog2(1＋)，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了(附：lg 2≈0.301 0)( )
A．20% B．23%
C．28% D．50%
4．2.1 对数运算
4．2.2 对数运算法则
1．答案：B
解析：将()3＝化为对数式为log＝3.
2．答案：A
解析：∵a＝log32，
∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)
＝3a－2(a＋1)＝a－2.
3．答案：D
解析：原式＝··＝··＝6．
4．答案：A
解析：＋＋＝log603＋log604＋log605＝log60(3×4×5)＝1.
5．解析：(1)设t＝log3x，则log5t＝0，∴t＝1，
即log3x＝1，∴x＝3.
(2) 由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，－x＝2，x＝－2.
(3)∵lg [log2(lg x)]＝0，∴log2(lg x)＝1，
∴lg x＝2，∴x＝102＝100.
(4)由题意得2x－1＝3，∴x＝2.
(5)原方程可化为(2x)2－2·2x－3＝0，
∴(2x＋1)(2x－3)＝0，∴2x＝3，∴x＝log23.
6．解析：(1)原式＝(lg 25－lg 72)－lg ＋lg (72×5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
7．答案：D
解析：原式＝lg x－2(lg y－lg 10)＝m－2n＋2.
8．答案：BD
解析：对于A，log23＋log25＝log2(3×5)，不正确；对于B，正确；对于C，当x，y均为负数时，等式右边无意义；对于D，lg ＝lg m符合对数的运算法则，正确．故选BD.
9．答案：ABD
解析：lg 100＝2 102＝100, ＝10 log10010＝，C不正确，A，B，D均正确．
10．答案：1
解析：log425－2log410＋log45·log516
＝log425－log4100＋×＝log4＋
＝log4＋log416＝－1＋2＝1.
11．答案：2 1
解析：f(0)＝30＋1＝2，
∴f(f(0))＝f(2)＝4a－2＝3a，
∴a＝2，f(log2a)＝f(log22)＝f(1)＝2×12－1＝1.
12．答案：(1) (2)
解析：(1)∵log189＝a，log1854＝b，
∴18a＝9，18b＝54，
∴182a－b＝＝＝.
(2)logx27＝31＋log32＝3·3log32＝3×2＝6.
∴x6＝27，∴x6＝33，又x＞0，∴x＝.
13．答案：C
解析：因为2＜3＜22，所以1＜log23＜2，
2＜1＋log23＜3，4＜(1＋log23)＋2＜5，
所以f(1＋log23)＝f((1＋log23)＋2)
＝f(3＋log23)＝23＋log23＝23·3＝24.
14．答案：B
解析：根据题意，计算出的值即可．
当＝1 000时，C＝Wlog21 000，当＝5 000时，C＝Wlog25 000，
因为＝＝＝≈≈1.23，
所以将信噪比从1 000提升至5 000，则C大约增加了23%.
14．1.2 指数函数的性质与图象(一)
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x；⑥y＝.其中，指数函数的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
2．以下关于数的大小的结论中错误的是( )
A．1.72.5<1.73 B．0.8－0.1<0.8－0.2
C．1.70.3>0.93.1 D．>
3．不论a取何正实数，函数f(x)＝ax＋1－2恒过点( )
A．(－1，－1) B．(－1，0)
C．(0，－1) D．(－1，－3)
4．设<()b<()a<1，则( )
A．aaC．ab5．若函数y＝(k－2)ax＋2＋b(a>0且a≠1)是指数函数，则k＝________，b＝________．
6．设f(x)＝3x，g(x)＝()x.
(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；
(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．已知a＝，b＝2－1.5，c＝，则下列关系中正确的是( )
A．cC．b8．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(0，)
C．(－∞，) D．(－，)
9．(多选)若函数y＝ax－(b＋1)(a>0且a≠1)的图象在第一、三、四象限，则必有( )
A．0C．a>1 D．b>0
10．(多选)已知实数a，b满足()a＝()b，给出下面几种关系，则其中可能成立的是( )
A．0C．a11．若函数y＝()x在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝________．
12．已知函数f(x)＝ax(x≥0)的图象经过点(2，)，其中a>0且a≠1.
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．(多选)对于函数f(x)＝abx(其中a，b为常数，a＞0且a≠1)，下列结论正确的是( )
A．f(x)是指数函数
B．当a＞1，b＞0时，f(x)是增函数
C．当0＜a＜1，b＞0时，f(x)是减函数
D．当a＞1，b＜0时，f(x)是减函数
14．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
4．1.2 指数函数的性质与图象(一)
1．答案：C
解析：①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；④中，y＝x3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2＜0，不是指数函数；⑥中y＝3＝()x是指数函数．
2．答案：D
解析：y＝1.7x单调递增，2.5<3，∴1.72.5<1.73，A正确；y＝0.8x单调递减，－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2，B正确；又1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1，C正确；
＝()4＝，＝()3＝，∵<，∴<，D错误．
3．答案：A
解析：令x＋1＝0，则x＝－1，f(－1)＝－1，所以函数f(x)＝ax＋1－2的图象恒过点(－1，－1).
4．答案：C
解析：由已知条件得05．答案：3 －2
解析：根据指数函数的定义，得解得
6．解析：(1)函数f(x)，g(x)的图象如图所示：
(2)f(1)＝31＝3，g(－1)＝()－1＝3，
f(π)＝3π，g(－π)＝()－π＝3π，
f(m)＝3m，g(－m)＝()－m＝3m.
从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，函数y＝ax与y＝()x的图象关于y轴对称．
7．答案：C
解析：∵b＝2－1.5＝，
y＝()x是R上的减函数，<<，
∴b8．答案：B
解析：由已知，得0<1－2a<1，解得09．答案：CD
解析：由指数函数y＝ax图象的性质知函数y＝ax的图象过第一、二象限， 且恒过点(0，1)，而函数y＝ax－(b＋1)的图象是由y＝ax的图象向下平移(b＋1)个单位长度得到的，
如图，若函数y＝ax－(b＋1)的图象在第一、三、四象限，则a>1，且b＋1>1，∴a>1，b>0.
10．答案：BCD
解析：在同一坐标系中作出函数y＝()x与函数y＝()x的图象，如图所示．
若()a＝()b>1，则a若()a＝()b<1，则0若()a＝()b＝1，则b＝a＝0.
11．答案：6
解析：由指数函数y＝()x的单调性可知在x＝－1处取最小值为2，在x＝－2处取最大值为4.∴m＋n＝6.
12．解析：(1)因为函数f(x)＝ax(x≥0)的图象经过点(2，)，所以a2＝，
因为a>0且a≠1，所以a＝.
(2)由(1)得f(x)＝()x(x≥0)，
函数f(x)＝()x为减函数，
当x＝0时，函数f(x)取最大值1，故f(x)∈(0，1]，
所以函数y＝f(x)＋1＝()x＋1(x≥0)∈(1，2]，
故函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域为(1，2].
13．答案：BCD
解析：当b＝0时，f(x)＝abx不是指数函数，A不正确；由于f(x)＝abx＝(ab)x，∴当a＞1，b＞0时，ab＞1，f(x)是增函数；当a＞1，b＜0时，0＜ab＜1，f(x)是减函数，故BCD均正确．
14．答案：19
解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1(x∈N*)，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶覆盖水面一半．
14．1.2 指数函数的性质与图象(二)
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则a的值是( )
A．4 B．1或3
C．3 D．1
2．若f(x)＝()|x|，x∈R，那么f(x)是( )
A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数
C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数
D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数
3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( )
A．aC．b4．若()2a＋1<()8－2a，则实数a的取值范围是( )
A．(，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，)
5．函数y＝的定义域为________，值域为________．
6．(1)函数f(x)＝3x－3(1＜x≤5)的值域是________；
(2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________；
(3)已知a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．函数y＝ 的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为( )
A．a＞0 B．a＜1
C．0＜a＜1 D．a≠0
8．同一直角坐标系中函数y＝()x，y＝()x，y＝3x，y＝2x的图象如图所示，则上述函数分别对应的图象是( )
A．①②③④ B．②①③④
C．④③②① D．③④②①
9．(多选)关于函数f(x)＝的说法中，正确的是( )
A．偶函数
B．奇函数
C．在(0，＋∞)上是增函数
D．在(0，＋∞)上是减函数
10．函数y＝()x2＋2x－1的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0，4] D．[4，＋∞)
11．(易错题)若函数f(x)＝是R上的增函数，则实数a的取值范围为( )
A．(1，＋∞) B．(1，8)
C．(4，8) D．[4，8)
12．方程|2x－1|＝a有唯一实数解，则a的取值范围是________．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．若定义运算a*b＝则函数f(3x*3－x)的值域是( )
A．(0，1] B．[1，＋∞)
C．(0，＋∞) D．(－∞，＋∞)
14．已知函数f(x)＝3x，且f(a＋2)＝18，g(x)＝3ax－4x的定义域为[－1，1].
(1)求3a的值及函数g(x)的解析式；
(2)试判断函数g(x)的单调性；
(3)若方程g(x)＝m有解，求实数m的取值范围．
4．1.2 指数函数的性质与图象(二)
1．答案：C
解析：由题意得得a＝3，故选C.
2．答案：D
解析：由x∈R且f(－x)＝f(x)知f(x)是偶函数，
当x>0时，f(x)＝()x是减函数．
3．答案：C
解析：∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y＝0.6x在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.
4．答案：A
解析：因为函数y＝()x在R上为减函数，
所以2a＋1>8－2a，所以a>.
5．答案：(－∞，0] [0，1)
解析：由1－2x≥0，得2x≤1，∴x≤0，
∴y＝的定义域为(－∞，0].
由0<2x≤1，得－1≤－2x<0，∴0≤1－2x<1，
∴y＝的值域为[0，1).
6．答案：(1)(，9] (2)(，＋∞) (3)见解析
解析：(1)因为1＜x≤5，所以－2＜x－3≤2.而函数f(x)＝3x是单调递增的，于是有＜f(x)≤32＝9，即所求函数的值域为(，9].
(2)∵a2＋a＋2＝(a＋)2＋>1，
∴(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x x>1－x x>.
∴x∈(，＋∞).
(3)当a>1时，
∵a－5x>ax＋7，∴－5x>x＋7，解得x<－；
当0∵a－5x>ax＋7，∴－5x－.
综上所述，当a>1时，x的取值范围为(－∞，－)；
当07．答案：C
解析：由ax－1≥0，得ax≥a0.
∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0＜a＜1.
8．答案：A
解析：由指数函数的图象在y轴右侧“底大图高”的特点知选A.
9．答案：BC
解析：f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数；当x增大时，ex－e－x增大，故f(x)增大，故函数f(x)为增函数．
10．答案：C
解析：设t＝x2＋2x－1，则y＝()t.
因为t＝(x＋1)2－2≥－2，y＝()t为关于t的减函数，
所以0故所求函数的值域为(0，4].
11．答案：D
解析：由题意可知，f(x)在R上是增函数，
所以解得4≤a＜8，故选D.
12．答案：a≥1或a＝0
解析：作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.
13．答案：A
解析：当x≥0时，3x≥3－x，
∴f(3x*3－x)＝3－x∈(0，1]；
当x<0时，3x<3－x，∴f(3x*3－x)＝3x∈(0，1)，
∴f(3x*3－x)的值域为(0，1].
14．解析：(1)f(a＋2)＝3a＋2＝32·3a＝18，
所以3a＝2，所以g(x)＝(3a)x－4x＝2x－4x.
(2)g(x)＝2x－4x＝－(2x)2＋2x，
令2x＝t∈，所以g(x)＝μ(t)＝－t2＋t＝－(t－)2＋在t∈上单调递减，又t＝2x为单调递增函数，所以g(x)在x∈[－1，1]上单调递减．
(3)由(2)知g(x)＝μ(t)＝－t2＋t＝－(t－)2＋，
在t∈上单调递减，所以g(x)∈，
即m∈.
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