5．4 统计与概率的应用
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．已知样本：12，7，11，12，11，12，10，10，9，8，13，12，10，9，6，11，8，9，8，10，那么频率为0.25的数据的范围是( )
A.[5.5，7.5) B．[7.5，9.5)
C.[9.5，11.5) D．[11.5，13.5)
2．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A.134石 B．169石 C．338石 D．1 366石
3．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应先调查哪个公司的车辆较合理( )
A.甲公司 B．乙公司
C.甲与乙公司 D．以上都对
4．一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子(一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色)，跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输．这个规则是________的(填“公平”或“不公平”).
5．为了估计某自然保护区中天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号，不影响其存活，然后放回保护区．经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只，查看其中有记号的天鹅，设有20只．试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为________只．
6．某保险公司决定每月给推销员确定一个具体的销售目标，对推销员实行目标管理．销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额(单位：万元)，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)①根据图中数据，求出月销售额在[14，16)小组内的频率；
②根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务？并说明理由；
(2)该公司决定从月销售额为[22，24)和[24，26]的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自同一个小组的概率．
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7．某汽车站，每天均有3辆开往省城的分上、中、下三个等级的客车．某天王先生准备从该汽车站乘车去省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为( )
A. B．C． D．
8．(多选)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是( )
A.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜
B.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜
C.从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜
D.张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜
9．有甲、乙两支女子曲棍球队，为了预测来年的情况，作了如下统计：在当年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为5.1，全年比赛进球个数的标准差为21；而乙队平均每场进球数为0.8，全年比赛进球个数的标准差为0.3.那么有关来年的叙述正确的个数为( )
①甲队的每场进球数一定比乙队多；②估计乙队发挥比甲队稳定；③与甲队相比，估计乙队几乎每场都进球；④甲队的总进球数可能比乙队要多．
A.1 B．2
C.3 D．4
10．在如图所示的一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与25%分位数之和为56，则被污染的数字为( )
A.2 B．3
C.4 D．5
11．某企业三个分厂生产同一种电子产品，三个分厂产量分布如图所示，现在用分层抽样方法从三个分厂生产的该产品中共抽取100件做使用寿命的测试，则第一分厂应抽取的件数为________；由所得样品的测试结果计算出第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命平均值分别为1 020小时、980小时、1 030小时，估计这个企业所生产的该产品的平均使用寿命为________小时．
12．某医院门诊部关于病人等待挂号的时间记录如下：
等待时 间/min [0，5) [5，10) [10，15) [15，20) [20，25]
频数 4 8 5 2 1
(1)试用上述分组资料来求病人平均等待时间的估计值及平均等待时间标准差的估计值s；
(2)为更好地服务病人，提高效率，医院应如何规定病人等待的时间范围？
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13．请设计一份调查问卷，就最近结束的一次考试调查学生的作弊情况．
14．用力伸大拇指有的人是直的(直拇指)，有的人是曲的(曲拇指).同人的眼皮单双一样，也是由遗传自父母的基因决定的，其中显性基因记作D，隐性基因记作d；成对的基因中，只要出现了显性基因，就一定是直拇指(这就是说，“直拇指”的充要条件是“基因对是DD，dD或Dd”).同前面一样，决定眼皮单双的基因记作B(显性基因)和b(隐性基因).
有一对夫妻，两人决定大拇指形态和眼皮单双的基因都是DdBb，不考虑基因突变，求他们的孩子是直拇指且单眼皮的概率．(生物学上已经证明：控制不同性状的基因遗传时互不干扰．)
5．4 统计与概率的应用
1．答案：D
解析：由题意可知，样本容量为20，20×0.25＝5，而四个选项中，只有D的区间中有5个数据．
2．答案：B
解析：这批米内夹谷约为×1 534≈169石，故选B.
3．答案：B
解析：由于甲公司桑塔纳的比例为＝，
乙公司桑塔纳的比例为＝，可知应选B.
4．答案：不公平
解析：方法一 把卡片六个面的颜色记为G1，G2，G3，B1，B2，B3，其中，Gi表示绿色，Bi表示蓝色(i＝1，2，3)；G3和B3是两面颜色不一样的那张卡片的颜色．游戏所有的结果可以用如图所示．
不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为＝.
因此，这个游戏不公平．
方法二 把三张卡片分别记为G，B，M，其中，G表示两面都是绿色的卡片，B表示两面都是蓝色的卡片，M表示一面是绿色另一面是蓝色的卡片．
考虑乙抽取到卡片只有三种可能，而且只有抽到M乙才能赢，所以乙赢的概率为.
因此，这个游戏不公平．
5．答案：1 500
解析：设保护区中天鹅的数量约为n，将n的估计值记作.假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，设事件A＝{带有记号的天鹅}，则P(A)＝.
第二次从保护区中捕出150只天鹅，其中有20只带有记号，由概率的统计定义可知，P(A)≈.
则≈，解得n≈1 500，
即＝1 500.
所以估计该自然保护区中约有天鹅1 500只．
6．解析：(1)①月销售额在[14，16)小组内的频率为1－2×(0.03＋0.12＋0.18＋0.07＋0.02＋0.02)＝0.12.
②若要使70%的推销员能完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成该目标．根据题图所示的频率分布直方图知，[12，14)和[14，16)两组的频率之和为0.18，
故估计月销售额目标应定为16＋×2＝17万元．
(2)根据频率分布直方图可知，月销售额为[22，24)和[24，26]的频率分别为0.04，0.04，则月销售额在[22，24)内的有2人，分别记为A1，A2，月销售额在[24，26]内的有2人，分别记为B1，B2，则不同的选择有：A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，一共6种情况，每一种情况都是等可能的，而2人来自同一个小组的情况有2种，所以选出的推销员来自同一个小组的概率P＝＝.
7．答案：B
解析：上、中、下三辆车的出发顺序是任意的，有上、中、下；上、下、中；中、上、下；中、下、上；下、上、中；下、中、上，共6种情况．若第二辆车比第一辆好，有3种情况：下、中、上；下、上、中；中、上、下，符合条件的仅有2种情况；若第二辆不比第一辆好，有3种情况：中、下、上；上、中、下；上、下、中，其中仅有1种情况适合条件．所以王先生乘上上等车的概率P＝＝.
8．答案：ACD
解析：A中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，A符合题意；B中，张明获胜的概率是，而李华获胜的概率是，故游戏规则不公平，B不符合题意；C中，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C符合题意；D中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，D符合题意．
9．答案：C
解析：当年由于甲队全年比赛进球个数的标准差为21，远远大于乙队进球个数的标准差0.3，说明甲队发挥不稳定，乙队发挥稳定；又当年甲队平均每场进球数5.1，远远大于乙队平均每场进球数0.8，说明当年甲队在很多场比赛中进球很少，也有很多场比赛中进球非常多，而乙队当年大部分比赛都进球，只有少部分比赛中没有进球 ，因此利用当年的比赛情况，可以估计来年的比赛情况：甲队的每场进球数只是可能比乙队多．所以①不正确；②③④正确．
10．答案：D
解析：由图可知，该组数据的极差为48－20＝28，则该组数据的25%分位数为56－28＝28，该组数据有12个，12×25%＝3，设被污染的数字为x，则＝28，得x＝5.
11．答案：50 1 015
解析：第一分厂应抽取的件数为100×50%＝50；该产品的平均使用寿命为1 020×0.5＋980×0.2＋1 030×0.3＝1 015.
12．解析：(1)易知＝xipi，s2＝ (xi－)2pi，其中xi为组中值，pi为相应的频数．
＝(2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1)＝9.5(min).
s2＝[(2.5－9.5)2×4＋(7.5－9.5)2×8＋(12.5－9.5)2×5＋(17.5－9.5)2×2＋(22.5－9.5)2×1]＝28.5(min2).
s＝≈5.34(min).
∴病人平均等待时间为9.5 min，标准差约为5.34 min.
(2)由(1)知平均等待时间为9.5 min，标准差约为5.34 min.
∴规定病人等待的时间范围为4.16～14.84 min.
13．解析：准备一个不透明的袋子，里面装有形状、大小、质量完全相同的黑、白棋子各15颗．
调查问卷设计如下：
班级：________ 姓名：________，
为了防止您回答的问题被别人知道，请您先从袋子里摸出一个棋子．若摸到的是白棋子，就如实回答问题一；若摸到的是黑棋子，就如实回答问题二．每个问题仅有两个可选答案：是或否．
问题一：您在这次考试中作弊了吗？
问题二：您的生日的日期是偶数吗？
您的回答：________(填“是”或“否”).
(理论解析： 假设被调查的学生数为2m，回答“是”的有n人．由题意可知，每个学生从口袋中摸出1个白棋子或1个黑棋子的概率都是0.5，即我们估计大约m个学生回答了第一个问题，另m个学生回答了第二个问题．在摸出黑棋子的前提下，回答自己生日日期是偶数的概率认为是.因而在回答第二个问题的学生中，大约有人回答“是”．所以我们推出，在回答第一个问题的m人中，大约有n－人回答“是”，即被调查的2m个学生中，在这次考试中大约有n－人作弊．)
14．解析：方法一 根据题意，这对夫妻孩子的决定大拇指形态和眼皮单双的基因的所有可能可以用下图所示：
不难看出，样本空间中共包含16个样本点，其中表示直拇指且单眼皮的是DDbb，Ddbb，dDbb，因此，所求概率为.
方法二 先考虑孩子是直拇指的概率．
所有的情况可用如图表示，由图可以看出，孩子是直拇指的概率约为.
同理，孩子是双眼皮的概率为，因此是单眼皮的概率为1－＝.
由于不同性状的基因遗传时互不干扰，也就是说是否为直拇指与是否为单眼皮相互独立，因此是直拇指且单眼皮的概率为×＝.
15．3.4 频率与概率
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是( )
A.如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，则有90人会治愈
B.如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会治愈
C.说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%
D.以上说法都不对
2．某人将一枚硬币连续抛掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A.概率为B．频率为
C.频率为6 D．概率接近0.6
3．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，那么第999次出现正面朝上的概率是( )
A.B．
C.D．
4．“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法正确的是________．(填序号)
①北京今天一定降雨，而上海一定不降雨；
②上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨；
③北京和上海都可能没降雨；
④北京降雨的可能性比上海大．
5．样本容量为200的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为________，数据落在[2，10)内的概率约为________．
6．某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查，数据如下表：
认为作业多 认为作业不多 总数
喜欢电脑游戏 18 9 27
不喜欢电脑游戏 8 15 23
总数 26 24 50
如果校长随机地问这个班的一名学生，下面事件发生的概率是多少？
(1)认为作业多；
(2)喜欢电脑游戏并认为作业不多．
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7．掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1，2，3，4，5，6)，若前3次连续掷到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是( )
A.一定出现“6点朝上”
B.出现“6点朝上”的概率大于
C.出现“6点朝上”的概率等于
D.无法预测“6点朝上”的概率
8．(多选)下列叙述正确的是( )
A.频率反映的是事件发生的频繁程度，概率反映的是事件发生的可能性大小
B.做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件的概率
C.百分率是频率，但不是概率
D.频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是确定性的、不依赖于试验次数的理论值
9．(多选)下列说法中，正确的是( )
A.某人射击10次，击中靶心8次，则他击中靶心的频率是0.8
B.某人射击10次，击中靶心7次，则他击不中靶心的频率是0.7
C.某人射击10次，击中靶心的频率是，则他击中靶心5次
D．某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，则他击不中靶心4次
10．一袋中有红球5个、黑球4个，现从中任取5个球，至少有1个红球的概率为( )
A. B．C． D．1
11．(多选)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表：
血型 A B AB O
该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以给任何一种血型的人输血，任何血型的人都可以给AB血型的人输血，其他不同血型的人不能互相输血．下列结论正确的是( )
A.任找一个人，其血可以输给B型血的人的概率是0.64
B.任找一个人，B型血的人能为其输血的概率是0.29
C.任找一个人，其血可以输给O型血的人的概率为1
D.任找一个人，其血可以输给AB型血的人的概率为1
12．若某地8月15日无雨记为0，有雨记为1，统计从1995年至2019年的气象资料得：11000 10011 00001 01011 10100，则该地出现8月15日下雨的概率约为________．
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13．设人的某一特征(眼睛的大小)是由他的一对基因所决定的，以d表示显性基因，r表示隐性基因，则具有dd基因的人为纯显性，具有rr基因的人为纯隐性，具有rd基因的人为混合性，纯显性与混合性的人都显露显性基因决定的某一特征，孩子从父母身上各得到一个基因，假定父母都是混合性，问：
(1)1个孩子由显性决定特征的概率是多少？
(2)“该父母生的2个孩子中至少有1个由显性决定特征”，这种说法正确吗？
14．某中学从参加高一年级上学期期末考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)；
(2)从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，求选到第一名学生的概率(第一名学生只一人).
5．3.4 频率与概率
1．答案：C
解析：概率是指一个事件发生的可能性的大小．治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说是治愈的可能性较大．
2．答案：B
解析：事件A＝{正面朝上}的概率为，因为试验的次数较少，所以事件A的频率为，与概率值相差太大，并不接近．
3．答案：D
解析：抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷1 000次，每一次出现正面朝上的概率均为.
4．答案：②③④
解析：北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，所以②③④正确，①错误．
5．答案：64 0.4
解析：由于[6，10)范围内，频率/组距＝0.08，所以频率＝0.08×4＝0.32，而频数＝频率×样本容量，所以频数＝0.32×200＝64.同样，估计数据落在[2，10)范围内的概率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.
6．解析：(1)记“认为作业多”为事件A，则由公式可知，
P(A)＝＝0.52.
(2)记“喜欢电脑游戏并认为作业不多”为事件B，则由公式知P(B)＝＝0.18.
7．答案：C
解析：随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关，由于正方体骰子质地均匀，所以它出现哪一面朝上的可能性都是.
8．答案：AD
解析：根据频率与概率的定义及关系可知A，D正确，B，C不正确．
9．答案：ACD
解析：A中，因为某人射击10次，击中靶心8次，所以他击中靶心的频率是＝0.8；B中，因为某人射击10次，击中靶心7次，所以他击不中靶心的频率是＝0.3；C中，因为某人射击10次，击中靶心的频率是，所以他应击中靶心10×＝5(次)；D中，因为某人射击10次，击中靶心的频率是0.6，所以他击不中靶心10×(1－0.6)＝4(次).
10．答案：D
解析：这是一个必然事件，其概率为1.
11．答案：AD
解析：任找一个人，其血型为A、B、AB、O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们两两互斥．由已知，有P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35.因为B，O型血可以输给B型血的人，所以“可以输给B型血的人”为事件B′∪D′，根据概率的加法公式，得P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64，故A正确；B型血的人能为B型、AB型的人输血，其概率为0.29＋0.08＝0.37，B错误；由O型血只能接受O型血的人输血知，C错误；由任何人的血都可以输给AB型血的人，知D正确．
12．答案：0.44
解析：根据所统计的25年的资料，共有11次有雨，因此该地8月15日下雨的概率约为＝0.44.
13．解析：父母的基因分别为rd、rd，则这孩子从父母身上各得一个基因的所有可能性为rr，rd，rd，dd，共4种，故具有dd基因的可能性为，具有rr基因的可能性也为，具有rd的基因的可能性为.
(1)1个孩子由显性决定特征的概率是.
(2)这种说法不正确，2个孩子中每个由显性决定特征的概率均相等，为.
14．解析：(1)依题意，60分及以上的分数所在的第三、四、五、六组的频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，
所以这次考试的及格率约为75%.
(2)成绩在[70，100]的人数是(0.03＋0.025＋0.005)×10×60＝36.
所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选一人，
选到第一名学生的概率P＝.
15．3.3 古典概型
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1．下列试验是古典概型的是( )
A.口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}
B.在区间[－1，5]上任取一个实数x，使x2－3x＋2＞0
C.抛一枚质地均匀的硬币，观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
2．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{1，2，3}中随机选取一个数为b，满足b>a的样本点有( )
A.3个 B．9个
C.10个 D．15个
3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )
A.B．
C.D．1
4．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点数是( )
A.3 B．4
C.5 D．6
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )
A.0.6 B．0.5
C.0.4 D．0.3
6．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获得食物的概率为________．
7．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为0，1，2，3四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于6，则中一等奖，等于5，则中二等奖，等于4或3，则中三等奖．
(1)求中三等奖的概率；
(2)求中奖的概率．
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8．(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是( )
A.任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B.每次抽取1件，不放回抽取两次，样本点总数为16
C.每次抽取1件，不放回抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D.每次抽取1件，有放回抽取两次，样本点总数为16
9．若甲、乙、丙三名学生随机站成一排，则甲站在边上的概率为( )
A.B．
C.D．
10．有大小相同的五个球，上面分别标有序号1，2，3，4，5，现从中任取两球，则这两球的序号不相邻的概率为( )
A.B．
C.D．
11．将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是________．
12．先后掷两个均匀的骰子，观察朝上的面的点数，记事件A：点数之和为7，B：至少出现一个3点，则P()＝________；P(B)＝________；P(AB)＝________．
13．同时抛掷1角，5角和1元的三枚硬币，计算：
(1)恰有两枚出现正面的概率；
(2)至少有两枚出现正面的概率．
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14．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160.现采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动．
(1)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？
(2)设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．
①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
②设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．
15．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A饮料，另外2杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
5．3.3 古典概型
1．答案：C
解析：A中两个样本点不是等可能的；B中样本点的个数是无限的；D中“中靶”与“不中靶”不是等可能的；C符合古典概型的两个特征．
2．答案：A
解析：把所取的数a，b写成数对(a，b)的形式，则样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，其中满足b>a的有(1，2)，(1，3)，(2，3)共3个．
3．答案：C
解析：从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.
4．答案：D
解析：事件A包含的样本点有6个：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(3，1).
5．答案：D
解析：将2名男同学分别记为x，y，3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)＝＝0.3.
6．答案：
解析：该树枝的树梢有6处，有2处能找到食物，所以获得食物的概率为＝.
7．解析：设“中三等奖”为事件A，“中奖”为事件B，
从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共16种不同的结果．
(1)取出的两个小球号码相加之和等于4或3的取法有：(1，3)，(2，2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共7种结果，
则中三等奖的概率为P(A)＝.
(2)由(1)知两个小球号码相加之和等于3或4的取法有7种；两个小球号码相加之和等于5的取法有2种：(2，3)，(3，2)；
两个小球号码相加之和等于6的取法有1种：(3，3).
则中奖概率为P(B)＝＝.
8．答案：ACD
解析：记4件产品分别为1，2，3，a，其中a表示次品．在A中，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，3)，(2，a)，(3，a)}，“恰有1件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝＝，A正确；在B中，每次抽取1件，不放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)}，因此n(Ω)＝12，B错误；在C中，“取出的2件中恰有1件次品”的样本点数为6，其概率为，C正确；在D中，每次抽取1件，有放回抽取两次，样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，a)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，a)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，a)，(a，1)，(a，2)，(a，3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，D正确．
9．答案：B
解析：甲、乙、丙三名学生随机站成一排，共有6种结果：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，其中甲站在边上的结果有4个，故所求的概率为＝.
10．答案：C
解析：从五个小球中任取两球的基本事件共有10种．其中序号相邻的有(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，共4种，故P(序号不相邻)＝1－＝＝.
11．答案：
解析：试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面的结果有3个，故所求的概率是.
12．答案：
解析：用数对(x，y)来表示抛掷结果，则样本空间可记为
Ω＝{(i，j)|i，j＝1，2，3，4，5，6}，
而且样本空间可用图直观表示．
样本空间中，共包含36个样本点．不难看出，A＝{(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)}，A包含6个样本点(即图中橙色框中的点)，
因此P(A)＝＝.
由对立事件概率之间的关系可知
P()＝1－P(A)＝1－＝.
类似地，可以看出图中绿色框中的点可以代表事件B，因此B包含11个样本点，从而P(B)＝.
易知AB＝{(4，3)，(3，4)}，因此P(AB)＝＝.
13．解析：依题意样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．
(1)用A表示“恰有两枚出现正面”这一事件，则事件A＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}共3个样本点，因此P(A)＝.
(2)用B表示“至少有两枚出现正面”这一事件，则事件B＝{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)}共4个样本点．∴P(B)＝＝.
14．解析：(1)由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层随机抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．
(2)①从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为
{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．
②由(1)，不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，
共5种．所以事件M发生的概率P(M)＝.
15．解析：用编号1，2，3表示A饮料，用编号4，5表示B饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为：(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(1，4，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，4，5)，(3，4，5)，共有10种．
令D表示“此人被评为优秀”，E表示“此人被评为良好”，F表示“此人被评为良好及以上”．
(1)事件D包含(1，2，3)这1个基本事件，故P(D)＝.
(2)事件E包括(1，2，4)，(1，2，5)，(1，3，4)，(1，3，5)，(2，3，4)，(2，3，5)，共6个基本事件，所以P(E)＝，
故P(F)＝P(D)＋P(E)＝.
15．3.2 事件之间的关系与运算
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A.A B
B.A＝B
C.A＋B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
2．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么A＝A1∪A2∪A3表示( )
A.全部击中 B．至少击中1发
C.至少击中2发 D．以上均不正确
3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )
A. B．C． D．1
4．从4名男生和2名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人中都是男生的概率为________．
5．从一批产品中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}，则下列结论正确的是________(填写序号).
①A与B互斥；②B与C互斥；③A与C互斥；④A与B对立；⑤B与C对立．
6．设某人向一个目标射击3次，用事件Ai表示随机事件“第i次射击击中目标”(i＝1，2，3)，指出下列事件的含义：
(1)A1∩A2；
(2)A1∩A2∩3；
(3)1∪2；
(4)1∩2∩3.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品；
事件B：至少有两件次品；
事件C：至少有一件次品；
事件D：至多有一件次品．
并给出以下结论，其中正确的是( )
A.A∪B＝C B．D∪B是必然事件
C.A∩B＝C D．A∩D＝C
8．(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中为互斥事件的是( )
A.恰有一名男生和全是男生
B.至少有一名男生和至少有一名女生
C.至少有一名男生和全是男生
D.至少有一名男生和全是女生
9．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A.A D B．B∩D＝
C.A∪C＝D D．A∪B＝B∪D
10．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A. B．C． D．
11．为维护世界经济秩序，我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年或3年内达到要求，则包括汽车在内的进口商品不超过4年的时间关税达到要求的概率为________．
12．国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：
命中环数 10 9 8 7
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该射击队员在一次射击中：
(1)命中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．(多选)下列命题中为真命题的是( )
A.若事件A与事件B互为对立事件，则事件A与事件B为互斥事件
B.若事件A与事件B为互斥事件，则事件A与事件B互为对立事件
C.若事件A与事件B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件
D.若事件A∪B为必然事件，则事件A与事件B为互斥事件
14．已知袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率为，得到黄球或绿球的概率为，求得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是多少？
5．3.2 事件之间的关系与运算
1．答案：C
解析：设A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩B＝{2}，A∪B＝{1，2，3}，所以A＋B表示向上的点数为1或2或3.
2．答案：B
解析：由题意可得事件A1、A2、A3是彼此互斥的事件，且A0∪A1∪A2∪A3为必然事件，A＝A1∪A2∪A3表示的是打靶3次至少击中一次．
3．答案：C
解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一色的概率为.
4．答案：
解析：设A＝{3人中至少有1名女生}，B＝{3人都为男生}，则A，B为对立事件，所以P(B)＝1－P(A)＝.
5．答案：①②⑤
解析：A＝{3件产品全不是次品}，指的是3件产品全是正品，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品不全是次品}包括1件次品2件正品，2件次品1件正品，3件全是正品3个事件，由此知：A与B是互斥事件，但不对立；A与C是包含关系，不是互斥事件，更不是对立事件；B与C是互斥事件，也是对立事件．所以正确结论的序号为①②⑤.
6．解析：(1)A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标．
(2)A1∩A2∩3表示第1次和第2次射击都击中目标，而第3次没有击中目标．
(3)1∪2表示第1次和第2次都没击中目标．
(4)1∩2∩3表示3次都没击中目标．
7．答案：AB
解析：事件A∪B：至少有一件次品，即事件C，所以A正确；
事件D∪B：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；
事件A∩B＝ ，C不正确；
事件A∩D：恰有一件次品，即事件A，所以D不正确．
8．答案：AD
解析：A中两个事件是互斥事件，恰有一名男生即选出的两名中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B中两个事件不是互斥事件；C中两个事件不是互斥事件；D中两个事件是互斥事件，至少有一名男生与全是女生显然不可能同时发生．
9．答案：D
解析：“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，∴A∪B≠B∪D.
10．答案：C
解析：由题意知，表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝＝.
11．答案：0.79
解析：设“包括汽车在内的进口商品恰好4年关税达到要求”为事件A，“不到4年达到要求”为事件B，则“包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求”是事件A∪B，而A，B互斥，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.18＋(1－0.21－0.18)＝0.79.
12．解析：记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak之间彼此互斥．
(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6.
(2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C，由于事件C与事件B互为对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.
13．答案：AC
解析：对立事件首先是互斥事件，故A为真命题．互斥事件不一定是对立事件，如将一枚硬币抛掷两次，共出现(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四种结果，事件M＝“两次出现正面”与事件N＝“只有一次出现反面”是互斥事件，但不是对立事件，故B为假命题．事件A，B为对立事件，则在一次试验中A，B一定有一个发生，故C为真命题．事件A∪B表示事件A，B至少有一个要发生，A，B不一定互斥，故D为假命题．
14．解析：记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，事件A，B，C，D显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝，①
P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝，②
P(C＋D)＝P(C)＋P(D)＝.③
由事件A和事件B＋C＋D是对立事件可得
P(A)＝1－P(B＋C＋D)
＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，
即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝.④
②③④联立可得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.
即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是，，.
15．3 概率5．3.1 样本空间与事件
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．(多选)给出下列四个命题，其中正确的是( )
A.“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
B.当“x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件
C.“每年的国庆节都是晴天”是必然事件
D.“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件
2．下列说法正确的是( )
A.任一事件的概率总在(0，1)内
B.不可能事件的概率不一定为0
C.必然事件的概率一定为1
D.以上均不正确
3．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有( )
A.1个 B．2个
C.3个 D．4个
4．“连续抛掷两枚质地均匀的骰子，记录朝上的点数”，该试验的结果共有 ( )
A.6种 B．12种
C.24种 D．36种
5．若袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和样本空间．
(1)从中任取1球；
(2)从中任取2球．
6．现在甲、乙、丙三人玩剪刀、石头、布的出拳游戏，观察其出拳情况．
(1)写出该试验的样本空间；
(2)写出事件“三人出拳相同”包含的事件A.
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．下列现象是必然现象的是( )
A.某路口单位时间内通过的车辆数
B.正n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3)
C.某同学竞选学生会主席成功
D.一名篮球运动员每场比赛所得的分数
8．在10名学生中，男生有x名，现从10名学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( )
A.5 B．6
C.3或4 D．5或6
9．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果是( )
A.第一枚6点，第二枚2点
B.第一枚5点，第二枚1点
C.第一枚1点，第二枚6点
D.第一枚6点，第二枚1点
10．下列给出五个事件：
①北京市2月3日下雪；
②函数y＝ax(a>0，且a≠1)在定义域上是增函数；
③实数的绝对值不小于0；
④连续抛掷一枚骰子两次，正面向上的点数之积大于36；
其中必然事件是________；不可能事件是________；随机事件是________．
11．写出下列随机试验的样本空间Ω.
(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和Ω＝________；
(2)生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数，Ω＝________．
12．在做抛掷红、蓝两枚骰子的试验中，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．写出：
(1)这个试验的样本空间；
(2)这个试验的结果的个数；
(3)指出事件A＝{(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)}的含义；
(4)写出“出现点数之和大于8”的所有样本点，并指出事件B＝{(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)}的含义．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．(多选)已知非空集合A，B，且集合A是集合B的真子集，则下列命题为真命题的是( )
A.“若x∈A，则x∈B”是必然事件
B.“若x A，则x∈B”是不可能事件
C.“若x∈B，则x∈A”是随机事件
D.“若x B，则x A”是必然事件
14．从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的3件产品中每次任取1件，每次取出后不放回，连续取两次．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)设A为“取出的两件产品中恰有一件次品”，写出集合A；
(3)把“每次取出后不放回”这一条件换成“每次取出后放回”，其余条件不变，请继续回答上述两个问题．
5．3.1 样本空间与事件
1．答案：ABD
解析：C项中“每年的国庆节都是晴天”是随机事件，故错误；ABD的判断均正确．
2．答案：C
解析：任一事件的概率总在[0，1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.
3．答案：C
解析：该生选报的所有可能情况是：{数学和计算机}，{数学和航空模型}，{计算机和航空模型}，所以基本事件有3个．
4．答案：D
解析：试验的全部结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)，共36种．
5．解析：(1)条件为：从袋中任取1球．样本空间为：{红，白，黄，黑}．
(2)条件为：从袋中任取2球．若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，则样本空间为：{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．
6．解析：以(J，S，B)表示三人中出剪刀、石头、布．
(1)Ω＝{(J，J，J)，(J，J，S)，(J，S，J)，(S，J，J)，(J，J，B)，(J，B，J)，(B，J，J)，(J，S，S)，(S，J，S)，(S，S，J)，(J，B，B)，(B，J，B)，(B，B，J)，(S，S，S)，(S，S，B)，(S，B，S)，(B，S，S)，(B，B，S)，(B，S，B)，(S，B，B)，(B，B，B)，(J，S，B)，(J，B，S)，(S，J，B)，(S，B，J)，(B，J，S)，(B，S，J)}．
(2)事件“三人出拳相同”包含下列三种情况：(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B).所以A＝{(J，J，J)，(S，S，S)，(B，B，B)}．
7．答案：B
解析：A，C，D选项为随机现象，B选项为必然现象．
8．答案：C
解析：由题意知，10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，所以x＝3或x＝4.
9．答案：D
解析：连续抛掷两枚骰子，第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是{X|－5≤X≤5，X∈Z}，则“X≥5”表示的试验结果是第一枚6点，第二枚1点．
10．答案：③ ④ ①②
解析：由必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知：③是必然事件，④是不可能事件，①②是随机事件．
11．答案： (1){3，4，5，…，18} (2){10，11，12，…}
解析：(1)因为掷一颗骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6，所以掷三颗骰子，三颗骰子的点数之和为3，4，5，…，18.
∴Ω＝{3，4，5，…，18}．
(2)由已知，Ω＝{10，11，12，…}．
12．解析：(1)这个试验的样本空间Ω为
{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，
(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，
(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)，
(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，
(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}．
(2)这个试验的结果的个数为36.
(3)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7.
(4)事件“出现点数之和大于8”的所有结果为(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6).
事件B的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数相同．
13．答案：ACD
解析：由真子集的定义可知A，C，D是真命题，B是假命题．
14．解析：(1)样本空间为Ω1＝{(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
(2)A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
(3)若改为取出后放回，则样本空间为Ω2＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)}，A＝{(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)}．
15．1.4 用样本估计总体
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．(多选)下列说法中正确的为( )
A.数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定
B.数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定
C.数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定
D.数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定
2．有一个容量为66的样本， 数据的分组及各组的频数如下：
[11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9
[23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 11 [31.5，35.5) 12
[35.5，39.5) 7 [39.5，43.5) 3
则总体中大于或等于31.5的数据约占( )
A. B．
C. D．
3．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为x和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为( )
A.，s2＋1002 B．＋100，s2＋1002
C.，s2D．＋100，s2
4．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率分布直方图如图所示，则
(1)这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是________．
(2)这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为________．
(3)这20名工人中一天生产该产品数量的平均数为________．
5．某车间20名工人年龄数据如下表：
年龄/岁 工人数/人
19 1
28 3
29 3
30 5
31 4
32 3
40 1
合计 20
(1)求这20名工人年龄的众数与极差；
(2)以十位数为茎，个位数为叶，做出这20名工人年龄的茎叶图；
(3)求这20名工人年龄的方差．
6.从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下的频率分布直方图．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图，求：
(1)这50名学生成绩的众数与中位数；
(2)这50名学生的平均成绩．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则( )
A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
B.甲的成绩的中位数大于乙的成绩的中位数
C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
8．(多选)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，则下列说法中正确的是( )
A.成绩在[70，80)分的考生人数最多
B.不及格的考生人数为1 000人
C.考生竞赛成绩的平均数约为70.5分
D.考生竞赛成绩的中位数约为75分
9．某果园有苹果树100棵，为了估计该果园的苹果总产量，小王先按长势把苹果树分成了A，B，C三个级别，其中A级30棵，B级60棵，C级10棵，然后从A，B，C三个级别的苹果树中分别随机抽取了3棵、6棵、1棵，测出其产量，制成了如下统计表．小李看了这个统计表后马上正确估计出了该果园的苹果总产量，那么小李的估计值是________ kg.
苹果树长势 A级 B级 C级
随机抽取棵数 3 6 1
所抽取果树的平均产量/kg 80 75 70
10.为了普及法律知识，达到“法在心中”的目的，某市法制办组织了一次普法知识竞赛，统计局调查队从甲、乙两单位中各随机抽取了5名职工的成绩，用茎叶图表示如下：
甲 乙
8 7 8 5 9
3 1 1 9 1 2 3
(1)根据图中的数据，分别求出样本中甲、乙两单位职工成绩的平均数和方差，并判断哪个单位职工对法律知识的掌握更为稳定；
(2)求被抽取的这10名职工成绩的平均数和方差．
(分层抽样的平均数和方差公式：设样本中不同层的平均数分别为1，2，…，n，方差分别为s，s，…，s，相应的权重分别为w1，w2，…，wn，则这个样本的平均数和方差分别为＝wii，s2＝wi[s＋(i－)2]，其中为样本平均数．)
11．某校医务室抽查了高一10位同学的体重(单位：kg)如下：74，71，72，68，76，73，67，70，65，74.
(1)求这10个学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差；
(2)估计高一所有学生体重数据的平均数、中位数、方差、标准差．
12．高一(3)班有男同学27名，女同学21名．在一次语文测验中，男同学得分的平均数是82，中位数是75，女同学得分的平均数是80，中位数是80.
(1)求这次测验全班成绩的平均数(精确到0.01)；
(2)估计全班成绩不超过80分的同学至少有多少人；
(3)分析男同学得分的平均数与中位数相差较大的主要原因．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．甲、乙两台机床在相同的技术条件下，同时生产一种零件，现在从甲、乙生产的零件中分别抽取40件、60件，甲的平均尺寸为10，方差为20，乙的平均尺寸为12，方差为40.那么从甲、乙生产的零件中抽取的这100件产品的平均尺寸和方差分别是多少？
14．已知一个样本：30，29，26，24，25，27，26，22，24，25，26，28，25，21，23，25，27，29，25，28.
(1)列出样本的频率分布表；
(2)画出频率分布直方图和频率分布折线图；
(3)根据频率分布直方图，估计总体出现在23～28内的频率是多少．
5．1.4 用样本估计总体
1．答案：ACD
解析：由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之无关，故B不正确，ACD正确．
2．答案：B
解析：由题意知样本的容量为66，而落在[31.5，43.5)内的样本数为12＋7＋3＝22，故总体中大于或等于31.5的数据约占＝.
3．答案：D
解析：因为每个数据都加上100，所以平均数也增加100，而离散程度应保持不变，即方差不变．
4．答案：(1)13 (2)62.5 (3)64
解析：(1)在[55，75)的人数为(0.040×10＋0.025×10)×20＝13.
(2)设中位数为x，则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，x＝62.5.
(3)0.20×50＋0.40×60＋0.25×70＋0.10×80＋0.05×90＝64.
5．解析：(1)这20名工人年龄的众数为：30，这20名工人年龄的极差为：40－19＝21.
(2)以十位数为茎，个位数为叶，做出这20名工人年龄的茎叶图如下．
(3)这20名工人年龄的平均数为：(19＋28×3＋29×3＋30×5＋31×4＋32×3＋40)÷20＝30；
所以这20名工人年龄的方差为：
(30－19)2＋(30－28)2＋(30－29)2＋(30－30)2＋(30－31)2＋(30－32)2＋(30－40)2＝12.6.
6．解析：(1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求，所以众数应为75.
由于中位数是所有数据的中间值，故在频率分布直方图中体现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标所对应的成绩即为所求．
∵0.004×10＋0.006×10＋0.02×10＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3，
∴ 前三个小矩形面积的和为0.3，而第四个小矩形面积为0.03×10＝0.3，0.3＋0.3>0.5，
∴ 中位数应大约位于第四个小矩形内．
设其底边为x，高为0.03，
∴令0.03x＝0.2得x≈6.7，
故中位数应约为70＋6.7＝76.7.
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的平均值，取每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的面积求和即可．
∴平均成绩为45×(0.004×10)＋55×(0.006×10)＋65×(0.02×10)＋75×(0.03×10)＋85×(0.022×10)＋95×(0.018×10)＝76.4.
7．答案：BC
解析：由条形统计图知：
甲射靶5次的成绩分别为：4，5，6，7，8；
乙射靶5次的成绩分别为：5，5，5，6，9，
所以甲＝＝6；乙＝＝6.
所以甲＝乙．故A不正确．
甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故B正确．
s＝[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝×10＝2，s＝[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝×12＝，因为2<，所以s8．答案：ABC
解析：由频率分布直方图可知，成绩在[70，80)分的考生人数最多，所以A正确．不及格的人数为4 000×(0.01＋0.015)×10＝1 000(人)，所以B正确．平均分约为(45×0.01＋55×0.015＋65×0.02＋75×0.03＋85×0.015＋95×0.01)×10＝70.5(分)，所以C正确．
设中位数约为x0分，因为(0.01＋0.015＋0.02)×10＝0.45<0.5，(0.01＋0.015＋0.02＋0.03)×10＝0.75>0.5，所以0.45＋(x0－70)×0.03＝0.5，解得x0≈71.7，D错误．
9．答案：7 600
解析：由题中表格各等级苹果树的平均产量可估算果园的苹果总产量为×100＝7 600 kg.
10．解析：(1)甲单位5名职工成绩的平均数甲＝＝90，乙单位5名职工成绩的平均数乙＝＝90，甲单位5名职工成绩的方差s＝×[(87－90)2＋(88－90)2＋(91－90)2＋(91－90)2＋(93－90)2]＝4.8，乙单位5名职工成绩的方差s＝×[(85－90)2＋(89－90)2＋(91－90)2＋(92－90)2＋(93－90)2]＝8.
∵s∴甲单位职工对法律知识的掌握更为稳定．
(2)∵甲单位职工的权重w甲＝，乙单位职工的权重w乙＝，甲＝90，乙＝90，s＝4.8，s＝8，由分层抽样求平均数和方差的公式可得，这10名职工成绩的平均数＝×90＋×90＝90，这10名职工成绩的方差s2＝w甲[s＋(甲－)2]＋w乙[s＋(乙－)2]＝×[4.8＋(90－90)2]＋×[8＋(90－90)2]＝6.4.
11．解析：(1)这10个学生体重数据的平均数为
＝×(74＋71＋72＋68＋76＋73＋67＋70＋65＋74)＝71.
这10个学生体重数据从小到大依次为65，67，68，70，71，72，73，74，74，76，位于中间的两个数是71，72，
∴这10个学生体重数据的中位数为＝71.5.
这10个学生体重数据的方差为
s2＝×[(74－71)2＋(71－71)2＋(72－71)2＋(68－71)2＋(76－71)2＋(73－71)2＋(67－71)2＋(70－71)2＋(65－71)2＋(74－71)2]＝11.
这10个学生体重数据的标准差为s＝＝.
(2)由样本估计总体得高一所有学生体重数据的平均数为71，中位数为71.5，方差为11，标准差为.
12．解析：(1)利用平均数计算公式，得
＝×(82×27＋80×21)≈81.13.
(2)因为男同学得分的中位数是75，
所以至少有14名男生得分不超过75分．
又因为女同学得分的中位数是80，
所以至少有11名女生得分不超过80分．
所以全班至少有25人得分不超过80分．
(3)男同学得分的平均数与中位数相差较大，说明男同学中两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大．
13．解析：由题知甲机床的平均尺寸和方差分别为甲＝10，s＝20，乙机床的平均尺寸和方差分别为乙＝12，s＝40，
所以从甲、乙生产的零件中抽出的这100件产品的平均尺寸＝＝11.2，所以方差s2＝×＝32.96.
14．解析：(1)计算极差：30－21＝9.
决定组距和组数：取组距为2.
∵＝4，∴共分5组．
决定分点，使分点比数据多一位小数．
并把第1小组的分点减小0.5，即分成如下5组：
20．5～22.5，22.5～24.5，24.5～26.5，26.5～28.5，28.5～30.5.
列出频率分布表如下：
分组 频数 频率
20.5～22.5 2 0.10
22.5～24.5 3 0.15
24.5～26.5 8 0.40
26.5～28.5 4 0.20
28.5～30.5 3 0.15
合计 20 1.00
(2)取各小长方形上的中点并用线段连接就构成了频率分布折线图，作出频率分布直方图．
(3)由频率分布表和频率分布直方图观察得：
样本值出现在23～28之间的频率为0.15＋0.40＋0.20＝0.75，所以可以估计总体中出现在23～28之间的数的频率约为0.75.
15．1.3 数据的直观表示
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．下列四个图中，用来表示不同品种的奶牛的平均产奶量最为合适的是( )
2．如图是两户居民家庭全年各项支出的统计图．根据统计图，下列对两户居民家庭教育支出占全年总支出的百分比作出的判断中，正确的是( )
A.甲户比乙户大 B．乙户比甲户大
C.甲、乙两户一样大 D．无法确定哪一户大
3．端午节期间，某市一周每天最高气温(单位：℃)情况如图所示，则这组表示最高气温数据的中位数是( )
A.22 B．24
C.25 D．27
4．甲、乙两名同学12次考试中数学成绩的茎叶图如图所示，则下列说法正确的是( )
A.甲同学比乙同学发挥稳定，且平均成绩也比乙同学高
B.甲同学比乙同学发挥稳定，但平均成绩比乙同学低
C.乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩也比甲同学高
D.乙同学比甲同学发挥稳定，但平均成绩比甲同学低
5．某市共有5 000名高三学生参加联考，为了了解这些学生对数学知识的掌握情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：
分组 频数 频率
[80，90) ① ②
[90，100) 0.050
[100，110) 0.200
[110，120) 36 0.300
[120，130) 0.275
[130，140) 12 ③
[140，150] 0.050
合计 ④
根据上面的频率分布表，可知①处的数值为________，②处的数值为________．
6．某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96，106](单位：厘米)，样本数据分组为[96，98)，[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106].
(1)求出x的值；
(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本总量N的数值；
(3)根据频率分布直方图提供的数据，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的学生数．
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)某班数学测试成绩及班级平均分关系的图如下所示．
其中说法正确的是( )
A.王伟同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定
B.张诚同学的数学学习成绩波动最小
C.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平
D.在6次测验中，每一次成绩都是王伟第1，张诚第2，赵磊第3
8．如图所示的是民航部门统计的某年春运期间12个城市售出的往返机票的平均价格以及相比上年同期变化幅度的数据统计图，根据统计图判断下面叙述不正确的是( )
A.深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B.深圳和厦门的平均价格同去年相比有所下降
C.平均价格从高到低居于前三位的城市为北京、深圳、广州
D.平均价格的涨幅从高到低居于前三位的城市为天津、西安、厦门
9．(多选)某调查机构对某地互联网行业进行了调查统计，得到整个互联网行业从业者的年龄分布扇形图、90后从事互联网行业的岗位分布条形图如图，则下列结论中一定正确的是( )
A.互联网行业从业者中90后占一半以上
B.互联网行业从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C.互联网行业从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业从事运营岗位的人数90后比80后多
10．已知甲、乙两组数可分别用图(1)、(2)表示，估计这两组数的平均数的相对大小是甲______乙，方差的相对大小是s________s(填“>”或“<”或“＝”).
11．“校园安全”受到全社会的广泛关注，某校政教处对部分学生及家长就校园安全知识的了解程度，进行了随机抽样调查，并绘制成如图所示的两幅统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)参与调查的学生及家长共有________人；
(2)在扇形统计图中，“基本了解”所对应的圆心角的度数是________；
(3)在条形统计图中，“非常了解”所对应的学生有________人；
(4)若全校有1 200名学生，请你估计对“校园安全”知识达到“非常了解”和“基本了解”的学生共有________人．
12．某高二(1)班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图的可见部分如图所示，根据图中的信息，可确定被抽测的人数为________，分数在[90，100]内的人数为________．
13．某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了100名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间t(以下简称为购票用时，单位为min)，下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图：
分组 频数 频率
一组 0≤t<5 0 0
二组 5≤t<10 10 0.10
三组 10≤t<15 10 ②
四组 15≤t<20 ① 0.50
五组 20≤t≤25 30 0.30
合计 100 1.00
解答下列问题：
(1)这次抽样的样本容量是多少？
(2)在表中填写出缺失的数据并补全频率分布直方图；
(3)旅客购票用时的平均数可能落在哪一组？
核心素养升级练进阶训练第三层
14．(多选)给出如图所示的三幅图：
则下列说法中，正确的有( )
A.从折线图能看出世界人口的变化情况
B.2050年非洲人口将达到大约15亿
C.2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D.从1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢
15．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷．现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如图所示．
(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数．
(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：
①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%
②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，根据平均数你会选择哪款？说明理由．
5．1.3 数据的直观表示
1．答案：D
解析：用统计图表示不同品种的奶牛的平均产奶量，即从图中可以比较各种数量的多少，因此“最为合适”的统计图是柱形统计图．注意B选项中的图不能称为统计图．
2．答案：B
解析：由条形统计图可知，甲户居民全年总支出为1 200＋2 000＋1 200＋1 600＝6 000(元)，教育支出占总支出的百分比为×100%＝20%，乙户居民教育支出占总支出的百分比为25%，则乙户居民比甲户居民教育支出占总支出的百分比大．故选B.
3．答案：B
解析：中位数是一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数).由此将这组数据重新排序为20，22，22，24，25，26，27，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为24.
4．答案：C
解析：由茎叶图的性质可知乙同学比甲同学发挥稳定，且平均成绩比甲同学高．
5．答案：3 0.025
解析：由位于[110，120)的频数为36，频率为＝0.300，得样本容量n＝120，所以[130，140)的频率为＝0.100，故②处应为1－0.050－0.200－0.300－0.275－0.100－0.050＝0.025，①处应为0.025×120＝3.
6．解析：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小，且频率之和等于1，
∴0.050×2＋0.100×2＋0.125×2＋0.150×2＋x×2＝1，
∴x＝0.075.
(2)样本中身高小于100厘米的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3.
∴样本容量N＝＝120.
(3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75.
∴学生数为120×0.75＝90(人).
7．答案：AC
解析：从图中看出王伟同学的数学学习成绩始终高于班级平均水平，学习情况比较稳定而且成绩优秀．张诚同学的数学成绩不稳定，总是在班级平均水平上下波动，而且波动幅度较大．赵磊同学的数学学习成绩低于班级平均水平，但他的成绩曲线呈上升趋势，表明他的数学成绩在稳步提高，第6次考试张诚没有赵磊的成绩好．
8．答案：D
解析：由图可知，A、B、C均正确，对于D，涨幅从高到低居于前三位的是天津、西安和南京，所以D错误．
9．答案：ABC
解析：A中，根据扇形图可知互联网行业从业者中90后占了56%，故正确；B中，互联网行业中从事技术岗位的90后人数占总人数的0.396×0.56≈0.222，故正确；C中，互联网行业中从事运营岗位的90后人数占总人数的0.17×0.56≈0.095，而80前从事互联网行业的人数才占总人数的0.03，故正确；D中，因为互联网行业中从事运营岗位的80后人数占总人数的比例不能确定，所以无法判断．
10．答案：＝ <
解析：甲＝(10×2＋20×6＋30×6＋40×2)＝25，
乙＝(10×3＋20×5＋30×5＋40×3)＝25，
s＝[(10－25)2×2＋(20－25)2×6＋(30－25)2×6＋(40－25)2×2]＝75，
s＝[(10－25)2×3＋(20－25)2×5＋(30－25)2×5＋(40－25)2×3]＝100，
故甲＝乙，s11．答案：(1)400 (2)135° (3)62 (4)790
解析：(1)根据参加调查的人中，不了解的占5%，人数是16＋4＝20人，据此即可求参与调查的学生及家长总人数是：(16＋4)÷5%＝400(人).
(2)利用360°乘以对应的比例即可求解：基本了解的人数是：73＋77＝150(人)，则对应的圆心角的底数是：360°×＝135°.
(3)利用总人数减去其它的情况的人数即可求解：400－83－77－73－54－31－16－4＝62(人).
(4)学生人数：62＋73＋54＋16＝205(人)，
“非常了解”和“基本了解”的人数：62＋73＝135(人).
当全校有1 200名学生，“非常了解”和“基本了解”的学生共有：1 200×≈790(人).
12．答案：25 2
解析：由频率分布直方图知，分数在[90，100]内的频率和[50，60)内的频率相同，所以分数在[90，100]内的人数为2人，总人数为＝25人．
13．解析：(1)样本容量是100.
(2)①50 ②0.10 所补频率分布直方图如图中的阴影部分：
(3)设旅客平均购票用时为t min，则有
≤t
<，
即15≤t<20.所以旅客购票用时的平均数可能落在第四组．
14．答案：AC
解析：从折线图能看出世界人口的变化情况，故A正确；从柱形图中可得到：2050年非洲人口大约将达到17亿，故B错误；从扇形图中能够明显地得到结论：2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；由题中三幅图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误．
15．解析：(1)由已知，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55.
使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.
(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56＝0.80＝80%>75%.
故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.
②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选B款订餐软件．
15．1.2 数据的数字特征(一)
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则这组数据的最大值和最小值分别是( )
A.15，17 B．10，17
C.12，17 D．17，10
2．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A.85，85，85 B．87，85，86
C.87，85，85 D．87，85，90
3．一组数据为6，47，49，15，42，41，7，39，43，40，36，则这组数据的第一四分位数(25%分位数)是( )
A.47 B．49 C．7 D．15
4．一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，2，x，5，10，其中x≠5，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的标准差为( )
A.9 B．4
C.3 D．2
5．某班8名学生的体重(单位：kg)分别是：42，48，40，47，43，58，47，45，则这组数据的极差是________，中位数是________，25%分位数是________．
6．有一笔统计资料，共有11个数据如下(不完全以大小排列)：2，4，4，5，5，6，7，8，9，11，x，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为( )
A.6 B．
C.66 D．6.5
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，可能发生变化的数字特征是( )
A.中位数 B．平均数
C.方差 D．极差
8．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )
A. B．
C. D．2
9．下列关于平均数、中位数、众数的说法中正确的一个是( )
A.中位数可以准确地反映出总体的情况
B.平均数可以准确地反映出总体的情况
C.众数可以准确地反映出总体的情况
D.平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况
10．(多选)下列说法正确的是( )
A.在两组数据中，平均数较大的一组极差较大
B.平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据波动的大小
C.方差的求法是求出各个数据与平均数的差的平方后再求和
D.在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大说明射击水平不稳定
11．一组数据12，34，15，24，39，25，31，48，32，36，36，37，42，50的25%分位数和75%分位数分别是________、________．
12．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：
甲群13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；
乙群54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．(多选)已知数据x1，x2，x3，…，x100是某市100个普通职工2020年7月份的收入(均不超过2万元)，设这100个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上某人2020年7月份的收入x101(约100万元)，则相对x，y，z，这101个数据( )
A.平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
B.平均数变大，中位数可能变大，方差变大
C.平均数变大，中位数一定变大，方差可能不变
D.平均数变大，中位数可能不变，方差变大
14．以下是某地在甲、乙两个重要道路交叉口设置的电子监控在连续一周时间里抓拍到的每一天的车辆违章次数情况：
甲：6，8，9，10，9，9，12；
乙：7，9，8，11，10，9，11.
(1)试分别求甲、乙两路口车辆违章次数的平均数、中位数、众数；
(2)分别求甲的25%分位数和乙的75%分位数．
5．1.2 数据的数字特征(一)
1．答案：D
解析：这组数据的最大值是17，最小值是10.故选D.
2．答案：C
解析：平均分为(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.由众数的定义可知众数为85，中位数为85.
3．答案：D
解析：将这组数据由小到大排列的结果是：6，7，15，36，39，40，41，42，43，47，49，一共11个．第一四分位数，即25%分位数，由11×25%＝2.75，得第一四分位数是第3个数据15.
4．答案：C
解析：由题意得该组数据的中位数为(2＋x)＝1＋；众数为2.∴1＋＝2×＝3，∴x＝4，∴该组数据的平均数为＝×(1＋2＋2＋4＋5＋10)＝4，∴该组数据的方差为s2＝×[(1－4)2＋(2－4)2＋(2－4)2＋(4－4)2＋(5－4)2＋(10－4)2]＝9，∴该组数据的标准差为3.故选C.
5．答案：18 46 42.5
解析：因为所给数据的最大值是58，最小值是40，所以极差是58－40＝18.将所给数据按从小到大的顺序排列是40，42，43，45，47，47，48，58.因为这组数据共8个，处于中间位置的是第4个数和第5个数，故这组数据的中位数是＝46.因为8×25%＝2，所以这组数据的25%分位数是＝42.5.
6．答案：A
解析：∵＝(2＋4＋4＋5＋5＋6＋7＋8＋9＋11＋x)＝(61＋x)＝6，∴x＝5.
s2＝＝＝6.
7．答案：BCD
解析：由于去掉一个最高分与一个最低分后，评委所评的9个分数从小到大排序后，中间一个数字不会改变，故中位数不变．由于最高分和最低分是极端分数，因此会影响平均数、方差和极差．
8．答案：D
解析：由题可知样本的平均数为1，
所以＝1，解得a＝－1，
所以样本的方差为
×[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
9．答案：D
解析：根据平均数、中位数、众数的定义可知平均数、中位数、众数都有局限性，都不能准确地反映出总体的情况．
10．答案：BD
解析：平均数表示一组数据的集中趋势，平均数的大小并不能说明该组数据极差的大小，所以A错误；平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据波动的大小，所以B正确；方差公式s2＝ (xi－)2，所以C错误；方差大说明射击水平不稳定，所以D正确．
11．答案：25 39
解析：把数据从小到大排序为12，15，24，25，31，32，34，36，36，37，39，42，48，50共14个数，14×25%＝3.5，14×75%＝10.5，所以25%分位数和75%分位数分别是第4个和第11个数据，即是25，39.
12．解析：(1)甲群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为
＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
13．答案：BD
解析：因为数据x1，x2，x3，…，x100是某市100个普通职工2020年7月份的收入，而x101大于x1，x2，x3，…，x100很多，所以这101个数据中，平均数变大，但中位数可能不变，也可能变大，由于数据的集中程度受到x101比较大的影响，变得更加离散，所以方差变大．
14．解析：(1)甲路口车辆违章次数的平均数为＝9，
将各数按从小到大排序为：6，8，9，9，9，10，12，因此中位数为9，众数是9.
乙路口车辆违章次数的平均数为
≈9.3，
将各数按从小到大排序为：7，8，9，9，10，11，11，因此中位数是9，众数是9和11.
(2)将甲组数从小到大排列为：6，8，9，9，9，10，12，共7个数，因为7×25%＝1.75，所以甲组数的25%分位数为8.
将乙组数从小到大排列为：7，8，9，9，10，11，11，因为7×75%＝5.25，所以乙的75%分位数11.
15．1 统计 5．1.1 数据的收集
必备知识基础练 进阶训练第一层
1．(多选)下面的四个问题中，不宜用抽样调查方法的是( )
A．检验10件产品的质量
B．银行对公司10万元存款现钞的真假检验
C．跳伞运动员检查20个伞包及伞的质量
D．检验一批汽车的防碰撞性能
2．对于简单随机抽样，下列说法中正确的命题为( )
①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的可能性进行分析；
②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽样实践中进行操作；
③它是一种等可能抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的可能性相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的可能性也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性．
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
3．某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是( )
A．简单随机抽样 B．抽签法
C．随机数表法 D．分层抽样
4．用抽签法进行抽样有以下几个步骤：
①把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条制作)；
②将总体中的个体编号；
③从这个容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本；
④将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀．
这些步骤的先后顺序应为( )
A．②①④③ B．②③④①
C．①③④② D．①④②③
5．高三某班有34位同学，座位号记为01，02，…，34，用下面的随机数表选取5组数作为参加青年志愿者活动的五位同学的座号．选取方法是从随机数表第一行的第6列和第7列数字开始，由左到右依次选取两个数字，则选出来的第4个志愿者的座号为( )
49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20
96 43 84 26 34 91 64 57 24 55 06 88 77
04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06
A．23 B．09
C．02 D．16
6．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是( )
A．12，24，15，9 B．9，12，12，7
C．8，15，12，5 D．8，16，10，6
关键能力综合练 进阶训练第二层
7．(多选)下列抽样方法不是简单随机抽样的是( )
A．从平面直角坐标系中抽取5个点作为样本
B．某可乐公司从仓库中的1 000箱可乐中一次性抽取20箱进行质量检查
C．某连队从120名战士中，挑选出50名最优秀的战士去参加抢险救灾活动
D．从10个手机中逐个不放回地随机抽取2个进行质量检验(假设10个手机已编号)
8．(多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一，乙就读于高二．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有( )
A．应该采用分层随机抽样法
B．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
C．乙被抽到的可能性比甲大
D．该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力
9．某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生人数为( )
A．8 B．11
C．16 D．10
10．为了了解参加运动会的2 000名运动员的年龄情况，从中抽取20名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有________．
①2 000名运动员是总体；
②每个运动员是个体；
③所抽取的20名运动员是一个样本；
④样本容量为20；
⑤每个运动员被抽到的机会相等．
11．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类型 A B C
产品数量(件) 1 300
样本容量 130
由于不小心，表格中A、C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．
12．一个布袋中有10个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取3个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是________，第三次抽取时，剩余每个小球被抽到的可能性是________．
核心素养升级练 进阶训练第三层
13．某大学为了支援我国西部教育事业，从报名的60名大三学生中选10人组成志愿小组，请用抽签法和随机数表法设计抽样方案．
14．某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作．
5．1.1 数据的收集
1．答案：ABC
解析：根据抽样调查与普查的概念知A、B、C一般采用普查的方法，只有D采用抽样调查的方法．
2．答案：A
解析：这三点全是简单随机抽样的特点．
3．答案：D
解析：样本由差异明显的几部分组成，抽取的比例由每层个体占总体的比例确定，即为分层抽样．
4．答案：A
解析：由抽签法的定义可知，抽签法的步骤为将总体中的个体编号；把号码写在形状、大小相同的号签上(号签可以用小球、卡片、纸条制作)；将这些号签放在一个容器内并搅拌均匀；从这个容器中逐个不放回地抽取号签，将取出号签所对应的个体作为样本．顺序为②①④③.
5．答案：D
解析：从随机数表第一行的第6列和第7列数字35开始，由左到右依次选取两个数字，不超过34的依次为21，32，09，16，17，第四个志愿者的座号为16.
6．答案：D
解析：由题意，各种职称的人数比为160∶320∶200∶120＝4∶8∶5∶3，所以抽取的具有高、中、初级职称的人数和其他人员的人数分别为40×＝8，40×＝16，40×＝10，40×＝6.
7．答案：ABC
解析：对于A，平面直角坐标系中有无数个点，这与要求总体中的个体数有限不相符，故A中的抽样方法不是简单随机抽样；对于B，一次性抽取与逐个不放回地抽取是不等价的，故B中的抽样方法不是简单随机抽样；对于C，挑选的50名战士是最优秀的，不符合简单随机抽样的等可能性，故C中的抽样方法不是简单随机抽样；对于D，易知D中的抽样方法是简单随机抽样．
8．答案：ABD
解析：由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法．由于比例为＝，因此高一年级1 000人中应抽取100人，高二年级1 350人中应抽取135人．甲、乙被抽到的可能性都是.因此只有C不正确，故应选ABD.
9．答案：A
解析：若设高一学生数为x，则高三学生数为2x，高二学生数为x＋300，所以有x＋2x＋x＋300＝3 500，解得x＝800.故高一学生人数为800，因此应抽取高一学生人数为800×＝8.
10．答案：④⑤
解析：①2 000名运动员不是总体，2 000名运动员的年龄才是总体；②每个运动员的年龄是个体；③20名运动员的年龄是一个样本．
11．答案：800
解析：抽样比为130∶1 300＝1∶10，即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是[(3 000－1 300)－100]×＝800(件).
12．答案：
解析：因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为，所以第一个空填.因本题中的抽样是不放回抽样，所以第一次抽取时，每个小球被抽到的可能性为，第二次抽取时，剩余9个小球，每个小球被抽到的可能性为，第三次抽取时，剩余8个小球，每个小球被抽到的可能性为.
13．解析：抽签法：
第一步：将60名大学生编号，编号为01，02，03，…，60；
第二步：将60个号码分别写在60张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；
第三步：将60个号签放入一个不透明的盒子中，充分搅匀；
第四步：从盒子中逐个抽取10个号签，并记录上面的编号；
第五步：所得号码对应的学生，就是志愿小组的成员．
随机数表法：
第一步：将60名学生编号，编号为01，02，03，…，60；
第二步：在随机数表中任选一数开始，按某一确定方向读数；
第三步：凡不在01～60中的数或已读过的数，都跳过去不作记录，依次记录下10个得数；
第四步：找出号码与记录的数相同的学生组成志愿小组．
14．解析：∵机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层抽样方法较妥．
∵＝5，∴＝2，＝14，＝4.
∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人．
因副处级以上干部与工人人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00，01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人．这样便得到了一个容量为20的样本．
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