安徽省宣城市三校2022-2023学年高二上学期数学期初联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·宣城开学考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，所以，即；
因为，所以；所以.
故答案为：B.
【分析】先化简两个集合，再结合集合的交集运算求解.
2．（2022高二上·宣城开学考）已知，在下列条件中，使得成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A：若，得，则，即，反之不行，所以是成立的充分不必要条件；
对于B：，所以是成立的充要条件；
对于C：取，得不是的充分条件；
对于D：取，得不是的充分条件.
故答案为：A.
【分析】由充分而不必要条件的定义，再结合不等的性质及特殊值依次判断即可.
3．（2022高二上·宣城开学考）已知某射击运动员每次击中目标的概率都相同.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，击中3次的概率：先由计算器输出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，表示击中目标.因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果.经随机模拟产生了以下20组随机数：
572 029 714 985 034 437 863 964 141 469
037 623 261 804 601 366 959 742 671 428
据此估计，该射击运动员射击3次击中3次的概率约为（ ）
A．0.45 B．0.50 C．0.55 D．0.60
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】射击3次击中3次共11组，总数为20组，所求概率为.
故答案为：C.
【分析】根据数据找出3次击中的次数，利用古典概率求解.
4．（2022高二上·宣城开学考）在中，角所对的边分别为，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】由余弦定理得，解得.
由正弦定理可得，
则
.
故答案为：B.
【分析】先利用余弦定理求出边，然后利用正弦定理可求答案.
5．（2022高二上·宣城开学考）关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为不等式为一元二次不等式，所以，
若一元二次不等式恒成立，
则，可得，此时不等式恒成立.
故答案为：C
【分析】利用二次不等式恒成立列出不等式组求解即可.
6．（2022高二上·宣城开学考）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】；
在同一直角坐标系内画出函数和的图象，
又，；
所以函数和恰有3个交点，即函数有3个零点，
故答案为：C.
【分析】把函数拆分为两个函数，分别作出图象，结合交点个数来求解答案.
7．（2022高二上·宣城开学考）如图，在中，M为BC的中点，则=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】，，故.
故答案为：C
【分析】，，求解计算可得结果.
8．（2022高二上·宣城开学考）如图，正四棱台的上 下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，设内切圆的半径为，
如图所示，，
所以，
可得，
故该内切球的表面积为.
故答案为：A
【分析】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，设内切圆的半径为，求出即得解.
二、多选题
9．（2022高一下·湖南期末）对于任意两个向量，下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】A,C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A，显然正确；对于B，当为非零向量，且时，显然，B不符合题意；
对于C，，C符合题意；对于D，向量无法比较大小，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由向量模的几何意义，结合数量积的运算公式由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2022高二上·宣城开学考）甲 乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（ ）
A．小明得6分的概率为 B．小明得分低于6分的概率为
C．小明得分不少于3分的概率为 D．小明恰好得3分的概率为
【答案】B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设“从甲盒中摸出一个红球”为事件，“从乙盒中模出一个红球”为事件，
则，且独立.
在A中，小明得6分的概率为，A不符合题意；
在B中，小明得分低于6分的概率为，B符合题意；
在中，小明得分不少于3分的概率为，C不符合题意；
在D中，小明恰好得3分的概率为，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据独立事件同时发生的概率公式判断A，由对立事件概率公式判断BC，根据互斥事件概率公式计算D.
11．（2022高二上·宣城开学考）关于函数，下列说法中错误的是（ ）
A．其表达式可写成
B．曲线关于点对称
C．在区间上单调递增
D．，使得恒成立
【答案】A,B,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】= 34cos2x+14sin2x=12cos(2x 5π6)，
∵f(x)=12cos(2x 5π6)=12cos(5π6 2x)=12cos(π π6 2x)= 12cos( π6 2x)= 12cos(2x+π6)，所以A不正确；
当x= π12时，有f( π12)=12cos( 2×π12 5π6)= 12，所以B不正确；
当x∈[π6，π3]时，有2x 5π6∈[ π2， π6]，因为[ π2， π6] [ π2，0]，所以C符合题意；
f(x)的最小正周期T=2π2=π，若 a∈(0，π2)，使得f(x+a)=f(x+3a)恒成立，说明2a是f(x)的一个周期，而2a∈(0，π)，与“f(x)最小正周期为π”矛盾，因此D不正确．
故答案为：ABD
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数f(x)，可判断选项A；当x= π12时，求出函数值，可判断选项B；利用区间范围以及整体代换，判断单调性，可得选项C正确；利用最小正周期的定义结合函数解析式判断选项D．
12．（2022高二上·宣城开学考）若点P在棱长为2的正方体ABCD—的表面运动，点M为棱的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．当点P在底面ABCD内运动时，三棱锥M—ADP体积不变
B．当点P在底面ABCD内运动时，点P到平面M的距离不变
C．当直线AP与直线DM所成的角为时，线段AP长度的最大值为3
D．当直线AP与直线BB1所成的角为°时，点P的轨迹长度为π
【答案】B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】A：易知，△ADM面积不变，P到平面距离不定，不定，错误；
B：点P在底面ABCD内运动时，平面平面ABCD，P到平面的距离不变，正确；
C：分别取，中点E，F，连接EA，EF，FB，
首先EF与CD平行且相等，CD与AB平行且相等，
因此EF与AB平行且相等，则EFBA是平行四边形，
在同一平面内，正方形，易得，
所以°，
所以（N为AE，DM的交点），
所以，又AB⊥平面，MD平面，
所以、AE平面ABFE，
所以MD⊥平面ABFE，而，则P∈平面ABFE，
所以P点轨迹是矩形ABEF（除A点），
当P与F重合时AF最大，为，正确；
D：当直线AP与直线所成的角为时，连接，，
在正方形内，以为圆心，2为半径作圆弧，易证P点轨迹就是曲边三角形（除去A点），其周长为，错误.
故答案为：BC
【分析】由正方体的性质判断P到平面、平面的距离是否为定值判断A、B；取，中点E，F，连接EA，EF，FB，求证MD⊥平面ABFE，结合判断P的轨迹，即可确定AP长度的最大值判断C；注意P点轨迹是含圆弧的曲边三角形，进而求周长即可判断D.
三、填空题
13．（2022高二上·宣城开学考）设（其中为虚数单位），则 .
【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】由题意可知，
所以.
故答案为：.
【分析】利用复数除法法则及加法法则，结合复数的摸公式即可求解.
14．（2022高二上·宣城开学考）已知幂函数的图象过点，则 .
【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】设，
由的图象过点，可得，解得
，故.
故答案为：.
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解.
15．（2022高二上·宣城开学考）已知点在的边上，的面积为，则 .
【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】为等边三角形，，
由，得，则，
作交于，如图所示
在等边三角形中，，
则，
在中，，
在中，由正弦定理得.
故答案为：.
【分析】根据等边三角形三个内角相等及三角形的面积公式，再利用勾股定理及正弦定理即可求解.
16．（2022高二上·宣城开学考）设的定义域为，且满足，若，则 .
【答案】2024
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】因为，所以，
由，得，有，
可得，有，
又由，可得，可知函数的周期为4，
可得，
有，
因为，所以
由得，
所以，
即，
所以
所以.
故.
故答案为：2024
【分析】根据所给函数的性质，可推出函数是以4为周期的周期函数，再由函数性质可得，据此即可求解.
四、解答题
17．（2022高二上·宣城开学考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若，求cosB的值．
【答案】（1）解：由正定理得：，而，
∴ ，故，
∵，则
，则
.
（2）解：由余弦定理得，
即，解得，
∴，则.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关系可得，再应用二倍角正弦公式化简，即可求角A的大小；
（2）应用余弦定理先求出a，再求cosB的值.
18．（2022高二上·宣城开学考）某班20位女同学平均分为甲 乙两组，她们的美学鉴赏课考试成绩如下（单位：分）：
甲组：
乙组：
（1）试分别计算两组数据的极差和方差；
（2）试根据（1）中的计算结果，判断哪一组的成绩较稳定？
【答案】（1）解：甲组：最高分为95分，最低分为65分，极差为（分），
平均数为 （分），
方差为
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为（分），
平均数为 （分），
方差为
（2）解：由于甲乙两组极差相同，但乙组的方差小于甲组的方差，因此乙组的成绩较稳定.
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据已知条件及极差公式，再利用平均数的公式及方差公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及极差和方差的定义和作用即可求解.
19．（2022高一下·湖南期末）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积.
【答案】（1）证明：设为的中点，连接，，
则，，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面；
（2）解：由（1）知，是异面直线与所成角，所以，
在中，因为，.
所以，
因此.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)首先作出辅助线由中点的性质即可得出线线平行，由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)由(1)的结论结合异面直线的定义，即可得出角的大小再由三角形中的几何计算关系代入数值计算出边的大小，并代入到体积公式由等体积法，代入数值计算出结果即可。
20．（2022高一下·湖南期末）读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图.
男生一周阅读时间频数分布表
小时 频数
9
25
3
3
（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数；
（2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数；
（3）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.
（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）
【答案】（1）解：由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3，
设女生一周阅读时间的75%分位数为，，
解得；
（2）解：由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数
由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数
所以估计总样本的平均数
（3）解：由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，
女生有（人）
若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，
女生有5人，记为，，，，，
则样本空间，
共有15个样本点.
记事件“恰好一男一女”，则
故所求概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】(1)首先由已知条件结合频率分布图中的数据，代入公式计算出a的取值即可。
(2)由已知条件把数值代入到平均数公式，计算出结果即可。
(3)根据题意由已知的频率分布图中的数据，计算出各个事件的个数，再代入到概率公式计算出结果即可。
21．（2022高二上·宣城开学考）如图，在四边形中，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，
（1）当时，求及；
（2）当四边形的面积取最大值时，求的面积.
【答案】（1）解：在中，，，
由余弦定理得，
所以.
因为，所以，
由正弦定理得，即，解得，
因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以且，
所以，
在中，由余弦定理得；
（2）解：由（1）得，
，此时，，且，
当时，四边形的面积最大，即，此时，，
所以，即.
的面积为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理求得，结合诱导公式求得，最后由余弦定理即可求解；
（2）结合（1）得，由结合面积公式表示出四边形的面积，再借助辅助角公式及正弦函数的性质求解即可.
22．（2022高二上·宣城开学考）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）．
（1）证明：平面平面；
（2）是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：因为，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
（2）解：假设存在点满足题意，如图，过作于，
因为，所以∥，
由（1）知平面，所以平面，
因为平面，所以，
过作于，连接，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
不妨设，则，
在中，设，
因为∽，
所以，
所以，得，
所以，解得，
即此时为的中点，
综上，存在点，使得二面角的正切值为，此时为的中点，
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由已知可得平面 ，则，则有平面 ，所以，而，所以 平面 ，再由面面垂直的判定定理可证得结论，
（2） 假设存在点满足题意，过作于，过作于，连接， 可证 为二面角的平面角，不妨设，则， 则由 ∽，可得，再由可求出，从而可确定出点的位置.
1 / 1安徽省宣城市三校2022-2023学年高二上学期数学期初联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·宣城开学考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022高二上·宣城开学考）已知，在下列条件中，使得成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·宣城开学考）已知某射击运动员每次击中目标的概率都相同.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击3次，击中3次的概率：先由计算器输出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，表示击中目标.因为射击3次，故以每3个随机数为一组，代表射击3次的结果.经随机模拟产生了以下20组随机数：
572 029 714 985 034 437 863 964 141 469
037 623 261 804 601 366 959 742 671 428
据此估计，该射击运动员射击3次击中3次的概率约为（ ）
A．0.45 B．0.50 C．0.55 D．0.60
4．（2022高二上·宣城开学考）在中，角所对的边分别为，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2022高二上·宣城开学考）关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022高二上·宣城开学考）函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2022高二上·宣城开学考）如图，在中，M为BC的中点，则=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（2022高二上·宣城开学考）如图，正四棱台的上 下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高一下·湖南期末）对于任意两个向量，下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．若，则
10．（2022高二上·宣城开学考）甲 乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得3分，摸出其他颜色小球得0分，下列说法中正确的是（ ）
A．小明得6分的概率为 B．小明得分低于6分的概率为
C．小明得分不少于3分的概率为 D．小明恰好得3分的概率为
11．（2022高二上·宣城开学考）关于函数，下列说法中错误的是（ ）
A．其表达式可写成
B．曲线关于点对称
C．在区间上单调递增
D．，使得恒成立
12．（2022高二上·宣城开学考）若点P在棱长为2的正方体ABCD—的表面运动，点M为棱的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A．当点P在底面ABCD内运动时，三棱锥M—ADP体积不变
B．当点P在底面ABCD内运动时，点P到平面M的距离不变
C．当直线AP与直线DM所成的角为时，线段AP长度的最大值为3
D．当直线AP与直线BB1所成的角为°时，点P的轨迹长度为π
三、填空题
13．（2022高二上·宣城开学考）设（其中为虚数单位），则 .
14．（2022高二上·宣城开学考）已知幂函数的图象过点，则 .
15．（2022高二上·宣城开学考）已知点在的边上，的面积为，则 .
16．（2022高二上·宣城开学考）设的定义域为，且满足，若，则 .
四、解答题
17．（2022高二上·宣城开学考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若，求cosB的值．
18．（2022高二上·宣城开学考）某班20位女同学平均分为甲 乙两组，她们的美学鉴赏课考试成绩如下（单位：分）：
甲组：
乙组：
（1）试分别计算两组数据的极差和方差；
（2）试根据（1）中的计算结果，判断哪一组的成绩较稳定？
19．（2022高一下·湖南期末）如图，在长方体中，，分别是线段，的中点.
（1）证明：平面；
（2）若，直线与所成角的余弦值是，求四面体的体积.
20．（2022高一下·湖南期末）读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情.树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名.经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图.
男生一周阅读时间频数分布表
小时 频数
9
25
3
3
（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的众数和75%分位数；
（2）由以上频数分布表和频率分布直方图估计总样本的平均数；
（3）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取6人，再从这6人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率.
（注：以各组的区间中点值代表该组的各个值）
21．（2022高二上·宣城开学考）如图，在四边形中，，，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，
（1）当时，求及；
（2）当四边形的面积取最大值时，求的面积.
22．（2022高二上·宣城开学考）如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）．
（1）证明：平面平面；
（2）是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为，所以，即；
因为，所以；所以.
故答案为：B.
【分析】先化简两个集合，再结合集合的交集运算求解.
2．【答案】A
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】对于A：若，得，则，即，反之不行，所以是成立的充分不必要条件；
对于B：，所以是成立的充要条件；
对于C：取，得不是的充分条件；
对于D：取，得不是的充分条件.
故答案为：A.
【分析】由充分而不必要条件的定义，再结合不等的性质及特殊值依次判断即可.
3．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】射击3次击中3次共11组，总数为20组，所求概率为.
故答案为：C.
【分析】根据数据找出3次击中的次数，利用古典概率求解.
4．【答案】B
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】由余弦定理得，解得.
由正弦定理可得，
则
.
故答案为：B.
【分析】先利用余弦定理求出边，然后利用正弦定理可求答案.
5．【答案】C
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】因为不等式为一元二次不等式，所以，
若一元二次不等式恒成立，
则，可得，此时不等式恒成立.
故答案为：C
【分析】利用二次不等式恒成立列出不等式组求解即可.
6．【答案】C
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】；
在同一直角坐标系内画出函数和的图象，
又，；
所以函数和恰有3个交点，即函数有3个零点，
故答案为：C.
【分析】把函数拆分为两个函数，分别作出图象，结合交点个数来求解答案.
7．【答案】C
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】，，故.
故答案为：C
【分析】，，求解计算可得结果.
8．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】解：该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，设内切圆的半径为，
如图所示，，
所以，
可得，
故该内切球的表面积为.
故答案为：A
【分析】该十面体及内切球的正投影为等腰梯形与内切圆，设内切圆的半径为，求出即得解.
9．【答案】A,C
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】对于A，显然正确；对于B，当为非零向量，且时，显然，B不符合题意；
对于C，，C符合题意；对于D，向量无法比较大小，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由向量模的几何意义，结合数量积的运算公式由此对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】B,D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】设“从甲盒中摸出一个红球”为事件，“从乙盒中模出一个红球”为事件，
则，且独立.
在A中，小明得6分的概率为，A不符合题意；
在B中，小明得分低于6分的概率为，B符合题意；
在中，小明得分不少于3分的概率为，C不符合题意；
在D中，小明恰好得3分的概率为，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据独立事件同时发生的概率公式判断A，由对立事件概率公式判断BC，根据互斥事件概率公式计算D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】三角函数中的恒等变换应用
【解析】【解答】= 34cos2x+14sin2x=12cos(2x 5π6)，
∵f(x)=12cos(2x 5π6)=12cos(5π6 2x)=12cos(π π6 2x)= 12cos( π6 2x)= 12cos(2x+π6)，所以A不正确；
当x= π12时，有f( π12)=12cos( 2×π12 5π6)= 12，所以B不正确；
当x∈[π6，π3]时，有2x 5π6∈[ π2， π6]，因为[ π2， π6] [ π2，0]，所以C符合题意；
f(x)的最小正周期T=2π2=π，若 a∈(0，π2)，使得f(x+a)=f(x+3a)恒成立，说明2a是f(x)的一个周期，而2a∈(0，π)，与“f(x)最小正周期为π”矛盾，因此D不正确．
故答案为：ABD
【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数f(x)，可判断选项A；当x= π12时，求出函数值，可判断选项B；利用区间范围以及整体代换，判断单调性，可得选项C正确；利用最小正周期的定义结合函数解析式判断选项D．
12．【答案】B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】A：易知，△ADM面积不变，P到平面距离不定，不定，错误；
B：点P在底面ABCD内运动时，平面平面ABCD，P到平面的距离不变，正确；
C：分别取，中点E，F，连接EA，EF，FB，
首先EF与CD平行且相等，CD与AB平行且相等，
因此EF与AB平行且相等，则EFBA是平行四边形，
在同一平面内，正方形，易得，
所以°，
所以（N为AE，DM的交点），
所以，又AB⊥平面，MD平面，
所以、AE平面ABFE，
所以MD⊥平面ABFE，而，则P∈平面ABFE，
所以P点轨迹是矩形ABEF（除A点），
当P与F重合时AF最大，为，正确；
D：当直线AP与直线所成的角为时，连接，，
在正方形内，以为圆心，2为半径作圆弧，易证P点轨迹就是曲边三角形（除去A点），其周长为，错误.
故答案为：BC
【分析】由正方体的性质判断P到平面、平面的距离是否为定值判断A、B；取，中点E，F，连接EA，EF，FB，求证MD⊥平面ABFE，结合判断P的轨迹，即可确定AP长度的最大值判断C；注意P点轨迹是含圆弧的曲边三角形，进而求周长即可判断D.
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】由题意可知，
所以.
故答案为：.
【分析】利用复数除法法则及加法法则，结合复数的摸公式即可求解.
14．【答案】
【知识点】函数的值
【解析】【解答】设，
由的图象过点，可得，解得
，故.
故答案为：.
【分析】利用待定系数法求出函数解析式即可求解.
15．【答案】
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】为等边三角形，，
由，得，则，
作交于，如图所示
在等边三角形中，，
则，
在中，，
在中，由正弦定理得.
故答案为：.
【分析】根据等边三角形三个内角相等及三角形的面积公式，再利用勾股定理及正弦定理即可求解.
16．【答案】2024
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【解答】因为，所以，
由，得，有，
可得，有，
又由，可得，可知函数的周期为4，
可得，
有，
因为，所以
由得，
所以，
即，
所以
所以.
故.
故答案为：2024
【分析】根据所给函数的性质，可推出函数是以4为周期的周期函数，再由函数性质可得，据此即可求解.
17．【答案】（1）解：由正定理得：，而，
∴ ，故，
∵，则
，则
.
（2）解：由余弦定理得，
即，解得，
∴，则.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关系可得，再应用二倍角正弦公式化简，即可求角A的大小；
（2）应用余弦定理先求出a，再求cosB的值.
18．【答案】（1）解：甲组：最高分为95分，最低分为65分，极差为（分），
平均数为 （分），
方差为
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为（分），
平均数为 （分），
方差为
（2）解：由于甲乙两组极差相同，但乙组的方差小于甲组的方差，因此乙组的成绩较稳定.
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【分析】（1）根据已知条件及极差公式，再利用平均数的公式及方差公式即可求解；
（2）根据（1）的结论及极差和方差的定义和作用即可求解.
19．【答案】（1）证明：设为的中点，连接，，
则，，
又平面，平面，平面，
所以平面，平面，
又平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面；
（2）解：由（1）知，是异面直线与所成角，所以，
在中，因为，.
所以，
因此.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)首先作出辅助线由中点的性质即可得出线线平行，由线面平行的判定定理即可得证出结论。
(2)由(1)的结论结合异面直线的定义，即可得出角的大小再由三角形中的几何计算关系代入数值计算出边的大小，并代入到体积公式由等体积法，代入数值计算出结果即可。
20．【答案】（1）解：由女生一周阅读时间的频率分布直方图知，阅读时间的众数是3，
设女生一周阅读时间的75%分位数为，，
解得；
（2）解：由频数分布表估计男生一周课外阅读时间平均数
由频率分布直方图估计女生一周课外阅读时间的平均数
所以估计总样本的平均数
（3）解：由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有3人，
女生有（人）
若从中按比例分配抽取6人，则男生有1人，记为，
女生有5人，记为，，，，，
则样本空间，
共有15个样本点.
记事件“恰好一男一女”，则
故所求概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【分析】(1)首先由已知条件结合频率分布图中的数据，代入公式计算出a的取值即可。
(2)由已知条件把数值代入到平均数公式，计算出结果即可。
(3)根据题意由已知的频率分布图中的数据，计算出各个事件的个数，再代入到概率公式计算出结果即可。
21．【答案】（1）解：在中，，，
由余弦定理得，
所以.
因为，所以，
由正弦定理得，即，解得，
因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，所以且，
所以，
在中，由余弦定理得；
（2）解：由（1）得，
，此时，，且，
当时，四边形的面积最大，即，此时，，
所以，即.
的面积为.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）先由余弦定理求得，再由正弦定理求得，结合诱导公式求得，最后由余弦定理即可求解；
（2）结合（1）得，由结合面积公式表示出四边形的面积，再借助辅助角公式及正弦函数的性质求解即可.
22．【答案】（1）证明：因为，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
（2）解：假设存在点满足题意，如图，过作于，
因为，所以∥，
由（1）知平面，所以平面，
因为平面，所以，
过作于，连接，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
不妨设，则，
在中，设，
因为∽，
所以，
所以，得，
所以，解得，
即此时为的中点，
综上，存在点，使得二面角的正切值为，此时为的中点，
【知识点】平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）由已知可得平面 ，则，则有平面 ，所以，而，所以 平面 ，再由面面垂直的判定定理可证得结论，
（2） 假设存在点满足题意，过作于，过作于，连接， 可证 为二面角的平面角，不妨设，则， 则由 ∽，可得，再由可求出，从而可确定出点的位置.
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