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甘肃省定西市临洮县2021-2022学年高二下学期理数开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·临洮开学考）下列有关命题的叙述错误的是（ ）
A．对于命题p： ，则 .
B．命题“若”的逆否命题为“若”．
C．若为假命题，则均为假命题.
D．“”是“”的充分不必要条件.
【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A选项，为特称命题，其否定为全称命题，叙述正确.对于B选项，逆否命题是交换条件和结论，并同时进行否定，叙述正确.对于C选项，为假命题，则中至少有一个假命题，C选项叙述错误.对于D选项.由解得或，故是的充分不必要条件.
故答案为：C.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识判断A选项是否正确，根据逆否命题的知识判断B选项是否正确，根据含有简单逻辑联结词命题真假的知识判断C选项是否正确，根据充分必要条件的知识判断D选项是否正确.
2．（2022高二下·临洮开学考）已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线
【答案】D
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线.
故答案为：D
【分析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得.
3．（2020高二下·太原期中）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】因为 ，A不符合题意；因为 ，B符合题意；因为 ，C不符合题意；因为 ，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】利用导数的个数结合导数运算法则，进而选出求导运算正确的选项。
4．（2022高二下·临洮开学考）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】∵抛物线的顶点在原点，且过点，
∴设抛物线的标准方程为（）或（），
将点的坐标代入抛物线的标准方程（）得：，
∴，∴此时抛物线的标准方程为；
将点的坐标代入抛物线的标准方程（），同理可得，
∴此时抛物线的标准方程为.
综上可知，顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是或．
故答案为：C．
【分析】利用抛物线标准方程但要注意抛物线开口方向进行分类讨论.
5．（2022高二下·临洮开学考）若=λ+μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．平行或在平面内
【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】∵=λ+μ，∴共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
故答案为：D
【分析】直接利用共面向量定理，推出结果即可．
6．（2022高二下·临洮开学考）记数列的前项和为，且，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．-2
【答案】A
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】因为，解得.
又因为，解得.
故答案为：A.
【分析】由，列方程组求值即可.
7．（2022高二下·临洮开学考）在中，，，，则角B的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在中，由正弦定理可知：，所以，由于，所以
故答案为：A
【分析】在中，由正弦定理即可求解.
8．（2022高二下·临洮开学考）在长方体中，下列关于的表达中错误的一个是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：，∴A正确，不符合题意；
，∴B错误，符合题意；
，∴C正确，不符合题意；
，∴D正确，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.
9．（2021高二下·十堰期中）若函数在是增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】由条件知
在
上恒成立，即
在
上恒成立．
∵函数
在
上为减函数，
∴，
∴a≥3．
故答案为：D．
【分析】根据题意知
在
，分类参数问题转化为求
在
上的最值，从而求出a的范围.
10．（2022高二下·临洮开学考）如果椭圆的离心率为，则（ ）
A．4 B．或 C． D．4或
【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆的离心率为，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得．
或.
故答案为：B．
【分析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a，b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．
11．（2022高二下·临洮开学考）若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为，，，
椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，
，，成等比数列，
，
，
两边同除以得：，且0 < e < 1，
解得，
故答案为：A
【分析】设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为，，，通过椭圆的，，是等比数列建立关于的等式，求出椭圆的离心率即可．
12．（2022高二下·临洮开学考）空间四边形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，
所以
所以，
故答案为：D．
【分析】利用，以及的数量积的定义化简的值.
二、填空题
13．（2022高二下·临洮开学考）设实数、满足，则的最小值是 ．
【答案】0
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由，得，由图可知，当直线与直线重合时，
直线在轴上的截距最大，有最小值为0，
故答案为：0．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，结合题意得答案．
14．（2022高二下·临洮开学考）若函数在处取极值，则 .
【答案】2
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为函数，所以，
由于函数在处取极值，
所以，解得
此时，
经检验可知是函数的极小值点，符合题意，
故答案为：2.
【分析】利用处导数为零求得，然后检验符合极值点的条件即可.
15．（2022高二下·临洮开学考）点P是双曲线上一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|=
【答案】4或16
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】根据双曲线的定义可知，即，，解得或16.
【分析】根据双曲线的定义列方程，解方程求得的值.
16．（2022高二下·临洮开学考）若，且，则的最小值是 .
【答案】9
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】.
【分析】，利用基本不等式求出最小值即可.
三、解答题
17．（2022高二下·临洮开学考）已知：，不等式恒成立，：椭圆的焦点在x轴上．若命题为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】解：因为：，不等式恒成立，所以解得；：椭圆的焦点在x轴上，所以解得；由为真知，皆为真，即且，所以.
【知识点】函数恒成立问题；椭圆的简单性质
【解析】【分析】先由一元二次不等式恒成立解出m范围，再结合椭圆的定义求出m的范围，最后求交集即可.
18．（2022高二下·临洮开学考）已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
（1）求{an}的通项an；
（2）求{an}前n项和Sn的最大值．
【答案】（1）解：设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1＝3，d＝－2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．
（2）解：Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 （1）设{an}的公差为d，由已知条件可得关于a1，d的方程组，解得a1＝3，d＝－2，从而得到；
（2） Sn＝na1＋d＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．
19．（2022高二下·临洮开学考）已知为的三内角，且其对边分别为，若.
（1）求；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）解：，
，
又，
，
且，
.
（2）解：由余弦定理，
可得：
即
解得，
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用两角和的余弦函数公式可得，结合范围，可得，根据三角形内角和定理可求．
（2）由余弦定理结合已知可得，利用三角形面积公式即可计算得解．
20．（2022高二下·临洮开学考）已知函数，
（1）求在处的切线方程
（2）若存在时，使恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：由，可得，
所以切线的斜率，．
所以在处的切线方程为，即
（2）解：令，
则，
令，，
在上，，
在上单调递增，
，
．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，确定切线的斜率，即可求 在处的切线方程为 ；
（2）先把不等式成立转化为成立，设 ，， 利用导函数求出 在的最大值，即可求实数的取值范围．
21．（2022高二下·临洮开学考）已知椭圆的两焦点为、，离心率为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点在椭圆上，且，求．
【答案】（1）解：设椭圆方程为，
由题设知，，.
所求椭圆方程为.
（2）解：由及椭圆定义知，
，
又，
，
由余弦定理，
，.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【分析】（1）先设出椭圆方程，由焦点及离心率求出a，b，即可求得椭圆的标准方程；
（2）由椭圆定义结合已知得到，再利用余弦定理求得．
22．（2022高二下·临洮开学考）如图在底面是直角梯形的四棱锥中，，面，，，求面与面所成二面角的正切值．
【答案】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
延长交轴于点，则，
作于点，连接，由，则，
则为面与面所成二面角的平面角.
由于且，得，
，
，，，
故面与面所成二面角的正切值为．
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【分析】建立空间直角坐标系， 延长交轴于点，作于点，连接 ，利用向量的夹角公式，即可求得结论.
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甘肃省定西市临洮县2021-2022学年高二下学期理数开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高二下·临洮开学考）下列有关命题的叙述错误的是（ ）
A．对于命题p： ，则 .
B．命题“若”的逆否命题为“若”．
C．若为假命题，则均为假命题.
D．“”是“”的充分不必要条件.
2．（2022高二下·临洮开学考）已知F1(-5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|-|PF2|=2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为（ ）
A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线
3．（2020高二下·太原期中）下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022高二下·临洮开学考）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．（2022高二下·临洮开学考）若=λ+μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是（ ）
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．平行或在平面内
6．（2022高二下·临洮开学考）记数列的前项和为，且，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．-2
7．（2022高二下·临洮开学考）在中，，，，则角B的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
8．（2022高二下·临洮开学考）在长方体中，下列关于的表达中错误的一个是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021高二下·十堰期中）若函数在是增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高二下·临洮开学考）如果椭圆的离心率为，则（ ）
A．4 B．或 C． D．4或
11．（2022高二下·临洮开学考）若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高二下·临洮开学考）空间四边形中，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．0
二、填空题
13．（2022高二下·临洮开学考）设实数、满足，则的最小值是 ．
14．（2022高二下·临洮开学考）若函数在处取极值，则 .
15．（2022高二下·临洮开学考）点P是双曲线上一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|=
16．（2022高二下·临洮开学考）若，且，则的最小值是 .
三、解答题
17．（2022高二下·临洮开学考）已知：，不等式恒成立，：椭圆的焦点在x轴上．若命题为真命题，求实数m的取值范围．
18．（2022高二下·临洮开学考）已知数列{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5.
（1）求{an}的通项an；
（2）求{an}前n项和Sn的最大值．
19．（2022高二下·临洮开学考）已知为的三内角，且其对边分别为，若.
（1）求；
（2）若，，求的面积．
20．（2022高二下·临洮开学考）已知函数，
（1）求在处的切线方程
（2）若存在时，使恒成立，求的取值范围．
21．（2022高二下·临洮开学考）已知椭圆的两焦点为、，离心率为
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设点在椭圆上，且，求．
22．（2022高二下·临洮开学考）如图在底面是直角梯形的四棱锥中，，面，，，求面与面所成二面角的正切值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A选项，为特称命题，其否定为全称命题，叙述正确.对于B选项，逆否命题是交换条件和结论，并同时进行否定，叙述正确.对于C选项，为假命题，则中至少有一个假命题，C选项叙述错误.对于D选项.由解得或，故是的充分不必要条件.
故答案为：C.
【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识判断A选项是否正确，根据逆否命题的知识判断B选项是否正确，根据含有简单逻辑联结词命题真假的知识判断C选项是否正确，根据充分必要条件的知识判断D选项是否正确.
2．【答案】D
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线.
故答案为：D
【分析】由双曲线定义结合参数a的取值分类讨论而得.
3．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；导数的加法与减法法则；导数的乘法与除法法则
【解析】【解答】因为 ，A不符合题意；因为 ，B符合题意；因为 ，C不符合题意；因为 ，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】利用导数的个数结合导数运算法则，进而选出求导运算正确的选项。
4．【答案】C
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】∵抛物线的顶点在原点，且过点，
∴设抛物线的标准方程为（）或（），
将点的坐标代入抛物线的标准方程（）得：，
∴，∴此时抛物线的标准方程为；
将点的坐标代入抛物线的标准方程（），同理可得，
∴此时抛物线的标准方程为.
综上可知，顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是或．
故答案为：C．
【分析】利用抛物线标准方程但要注意抛物线开口方向进行分类讨论.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的共线定理；直线与平面平行的判定
【解析】【解答】∵=λ+μ，∴共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
故答案为：D
【分析】直接利用共面向量定理，推出结果即可．
6．【答案】A
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】因为，解得.
又因为，解得.
故答案为：A.
【分析】由，列方程组求值即可.
7．【答案】A
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】在中，由正弦定理可知：，所以，由于，所以
故答案为：A
【分析】在中，由正弦定理即可求解.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的线性运算
【解析】【解答】解：，∴A正确，不符合题意；
，∴B错误，符合题意；
，∴C正确，不符合题意；
，∴D正确，不符合题意．
故答案为：B．
【分析】利用空间向量的线性运算法则求解.
9．【答案】D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】由条件知
在
上恒成立，即
在
上恒成立．
∵函数
在
上为减函数，
∴，
∴a≥3．
故答案为：D．
【分析】根据题意知
在
，分类参数问题转化为求
在
上的最值，从而求出a的范围.
10．【答案】B
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：因为椭圆的离心率为，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得．
或.
故答案为：B．
【分析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a，b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．
11．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】解：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为，，，
椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，
，，成等比数列，
，
，
两边同除以得：，且0 < e < 1，
解得，
故答案为：A
【分析】设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为，，，通过椭圆的，，是等比数列建立关于的等式，求出椭圆的离心率即可．
12．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，
所以
所以，
故答案为：D．
【分析】利用，以及的数量积的定义化简的值.
13．【答案】0
【知识点】简单线性规划
【解析】【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由，得，由图可知，当直线与直线重合时，
直线在轴上的截距最大，有最小值为0，
故答案为：0．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，结合题意得答案．
14．【答案】2
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为函数，所以，
由于函数在处取极值，
所以，解得
此时，
经检验可知是函数的极小值点，符合题意，
故答案为：2.
【分析】利用处导数为零求得，然后检验符合极值点的条件即可.
15．【答案】4或16
【知识点】双曲线的定义
【解析】【解答】根据双曲线的定义可知，即，，解得或16.
【分析】根据双曲线的定义列方程，解方程求得的值.
16．【答案】9
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】.
【分析】，利用基本不等式求出最小值即可.
17．【答案】解：因为：，不等式恒成立，所以解得；：椭圆的焦点在x轴上，所以解得；由为真知，皆为真，即且，所以.
【知识点】函数恒成立问题；椭圆的简单性质
【解析】【分析】先由一元二次不等式恒成立解出m范围，再结合椭圆的定义求出m的范围，最后求交集即可.
18．【答案】（1）解：设{an}的公差为d，由已知条件，解出a1＝3，d＝－2．
所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5．
（2）解：Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】 （1）设{an}的公差为d，由已知条件可得关于a1，d的方程组，解得a1＝3，d＝－2，从而得到；
（2） Sn＝na1＋d＝－(n－2)2＋4，所以n＝2时，Sn取到最大值4．
19．【答案】（1）解：，
，
又，
，
且，
.
（2）解：由余弦定理，
可得：
即
解得，
.
【知识点】两角和与差的余弦公式；余弦定理
【解析】【分析】(1)利用两角和的余弦函数公式可得，结合范围，可得，根据三角形内角和定理可求．
（2）由余弦定理结合已知可得，利用三角形面积公式即可计算得解．
20．【答案】（1）解：由，可得，
所以切线的斜率，．
所以在处的切线方程为，即
（2）解：令，
则，
令，，
在上，，
在上单调递增，
，
．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，确定切线的斜率，即可求 在处的切线方程为 ；
（2）先把不等式成立转化为成立，设 ，， 利用导函数求出 在的最大值，即可求实数的取值范围．
21．【答案】（1）解：设椭圆方程为，
由题设知，，.
所求椭圆方程为.
（2）解：由及椭圆定义知，
，
又，
，
由余弦定理，
，.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；余弦定理
【解析】【分析】（1）先设出椭圆方程，由焦点及离心率求出a，b，即可求得椭圆的标准方程；
（2）由椭圆定义结合已知得到，再利用余弦定理求得．
22．【答案】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
延长交轴于点，则，
作于点，连接，由，则，
则为面与面所成二面角的平面角.
由于且，得，
，
，，，
故面与面所成二面角的正切值为．
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【分析】建立空间直角坐标系， 延长交轴于点，作于点，连接 ，利用向量的夹角公式，即可求得结论.
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