甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高二上学期数学开学检测试卷
一、单选题
1．（2022高二上·张掖开学考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·泰安模拟）已知复数 ，i为虚数单位，则z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022高一下·武汉月考）已知函数（其中）的最小正周期为，则（ ）
A．-1 B． C．1 D．
4．（2021高一下·丰台期末）已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
5．（2022高二上·张掖开学考）某大学数学系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取的三年级学生的人数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
6．（2022高二上·张掖开学考）已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，D为边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·张掖开学考）春运期间，小明和小华两位同学报名参加了去本地客运站疏导乘客的公益活动，若两人分别被随机分配到、、三个客运站中的一个，则两人被分在同一个客运站的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·张掖开学考）已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为（ ）
A． B．6π C．9π D．18π
二、多选题
9．（2022高二上·张掖开学考）已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是（ ）
A．颜色相同 B．颜色不全相同
C．颜色全不相同 D．无红球
10．（2022高二上·张掖开学考）某市气象部门根据2020年各月的每天最高气温与最低气温的平均数据，绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（ ）
A．各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值8月均最高
B．从2020年1月至8月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值一直在上升
C．全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5个
D．全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
11．（2020高一下·沈阳期末）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为 ，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3. B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥侧面积为
12．（2022·秦皇岛二模）已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻对称中心的距离为，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的最小正周期为
C． D．
三、填空题
13．（2022高二上·张掖开学考）已知角是第四象限角，，则 .
14．（2022高一下·运城月考）已知向量，，，若，则实数 ．
15．（2022高二上·张掖开学考）函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为 ．
16．（2022·广州模拟）在梯形ABCD中，，将沿折起，连接BD，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为 ．此时该三棱锥的外接球的表面积为 ．
四、解答题
17．（2021高三上·德州期中）已知向量 与 是夹角为 的单位向量，且向量 .
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的值.
18．（2022高二上·张掖开学考）已知六棱锥P－ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm，求六棱锥P－ABCDEF的表面积和体积．
19．（2022高二上·张掖开学考）已知平面向量，，函数.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的值域.
20．（2018高一上·镇原期末）如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．
（1）求证：PQ∥平面DCC1D1；
（2）求证：AC⊥EF.
21．（2022·济南二模）已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， 的面积 .
（1）求边c；
（2）若 为锐角三角形，求a的取值范围.
22．（2022高二上·张掖开学考）甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）若以表示和为6的事件，写出事件的样本点；
（2）现连玩三次，若以表示甲至少赢一次的事件，表示乙至少赢两次的事件，试问：与是否为互斥事件？为什么？
（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】因为，所以.
故的定义域为.
故答案为：A
【分析】根据正切函数的定义域可得结果.
2．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
所以z的共轭复数为 ，
故答案为：B.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简z，再根据共轭复数的定义，可得答案。
3．【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】由题可知，，
∴.
故答案为：D.
【分析】 利用函数的周期求出函数的解析式，进一步求出函数 的值.
4．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对A，平行于同一个平面的两条直线并不一定平行，A不符合题意；
对B，平行于同一条直线的两平面并不一定平行，B不符合题意；
对C，垂直于同一平面的两直线平行，C符合题意；
对D，两平面垂直于两直线，这两个平面没有确定的关系，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐项进行判断可得答案。
5．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】依题意，三年级学生的总人数为，
从1500人中用分层随机抽样抽取容量为300的样本的抽样比为，
所以应抽取的三年级学生的人数为.
故答案为：C
【分析】根据给定条件利用分层抽样的抽样比直接计算作答.
6．【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】∵D为边的中点，，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用中点坐标公式及向量的坐标表示即得.
7．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】两人被随机分到三个客运站，一共有种分法，其中，两人被分到同一个客运站的分法有3种，所以所求概率为．
故答案为：D．
【分析】利用古典概型计算公式计算即可．
8．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设正方体的棱长为，其外接球的半径为，
因为正方体的表面积为18，
所以，所以，，
所以，得，
所以正方体外接球的体积为，
故答案为：A.
【分析】先由正方体的表面积求出正方体的棱长，再求出正方体的体对角线，从而可得其外接球的直径，进而可求出球的体积.
9．【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】根据题意，有放回的取3次，共有3×3×3=27种情况，即（黄，黄，黄），（黄，白，黄），（黄，黄，白），（黄，红，黄），……，由古典概型计算：A选项，颜色相同的情况有3种，故概率为，不为；B选项，颜色不全相同与颜色相同是对立事件，故其概率为；C选项，颜色全不相同，即黄，红，白各有一次，共有6种情况，故概率为，不为；D选项，无红球，即三次都是黄或白球，共有8种情况，故其概率为，不为.
故答案为：ACD
【分析】把所有情况列举出来，找到符合要求的情况，利用古典概型求概率公式进行求解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】解：对于A，由折线图可知，各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值8月均最高，A符合题意；
对于B，从2020年1月至2月该市每天最低气温平均值在下降，B不符合题意；
对于C，全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5，6，7，8，9月，共5个月，C符合题意；
对于D，由图可知全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据折线图逐一分析各个选项即可得出答案.
11．【答案】A,B,D
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】取 的中心为O，连接 ，
由题意得： 面 ，
又 为等边三角形，
则 ，
所以正三棱锥高为： ，
，
所以正三棱锥的体积为： ，
作 交 于 ，
又 ，
则正三棱锥的斜高为 ，
所以正三棱锥侧面积为： .
故答案为：A B D.
【分析】根据题意画出图像，取 的中心为O，连接 ，先得出 面 ，再求出 ，可得正三棱锥高；利用三角形的面积公式求出 的面积，利用体积公式求出正三棱锥的体积；作 交 于D，求出正三棱锥的斜高 ；再利用面积公式求正三棱锥侧面积即可.
12．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】因为图象相邻的对称中心与对称轴的距离为，所以最小正周期，A符合题意，B不正确；
因为，且，所以，C符合题意，D不正确，
故答案为：AC.
【分析】由已知条件图象相邻的对称中心与对称轴的距离为，即可求得最小正周期，以及，再由对称性即可求得.
13．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，可得，
又因为角是第四象限角，所以，可得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据三角函数的基本关系式求得，结合正弦的倍角公式，即可求解.
14．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由，，，
则，
又因为，
则，
解得。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出实数的值。
15．【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图象可知，，
，
，
三角函数的解析式是
函数的图象过，，
把点的坐标代入三角函数的解析式，
，又，
，
三角函数的解析式是.
故答案为：.
【分析】根据所给的图象，可得到，，进而得到，根据函数的图象过点可求出，得到三角函数的解析式．
16．【答案】；5π
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】过点C作，垂足为E，
为等腰梯形，
，
由余弦定理得，即
易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大，
此时，平面
易知，
记O为外接球球心，半径为R
平面，
O到平面的距离
又的外接圆半径
故答案为：，5π
【分析】注意到三棱锥体积最大时，平面平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.
17．【答案】（1）解：由题意可得 ，
（2）解：根据题意 ，则有 ，
即 ，
所以 ，
【知识点】向量的模；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】(1)由平面向量数量积的定义可得 ， 再根据 展开运算，即可求解出 的值；
(2)易得 ， 由 ， 代入运算，即可求得实数 的值.
18．【答案】解：连接，，
先求底面正六边形的面积．
由，
，
所以．
在中，，
即高，
所以．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】连接 ，，先求底面正六边形的面积，再算出侧面积，即可得到表面积，用勾股定理算出高PO，利用体积公式计算体积即可.
19．【答案】（1）解：；
（2）解：因为，所以，
所以，
所以，
即函数在区间上的值域为.
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合二倍角的正余弦公式和辅助角公式即可得解；
（2）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解.
20．【答案】（1）证明：如图所示，连接CD1.
∵P、Q分别为AD1、AC的中点．∴PQ∥CD1.
而CD1 平面DCC1D1，PQ//平面DCC1D1，
∴PQ∥平面DCC1D1
（2）证明：如图，取CD中点H，连接EH，FH.
∵F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH//D1D.
而D1D⊥面ABCD，
∴FH⊥面ABCD，而AC 面ABCD，
∴AC⊥FH.
又E、H分别为BC、CD的中点，∴EH∥DB.
而AC⊥BD，∴AC⊥EH.
因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC⊥平面EFH，
而EF 平面EFH，所以AC⊥EF
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）根据题意连接CD1，根据已知条件得出 PQ∥CD1，再利用线面平行的判定定理即证。
（2）根据题意取CD中点H，连接EH，FH，根据已知条件得出 FH//D1D ，根据 D1D⊥面ABCD 得出 FH⊥面ABCD ，进而有 AC⊥FH ，再利用AC⊥BD，得出 AC⊥平面EFH， 进而即证。
21．【答案】（1）解：因为 ， ，所以 ；
因为 ，所以 .
（2）解：在 中，由正弦定理 ，
由（1）知 ， ，代入上式得： ，
因为 为锐角三角形，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意可得，再由三角形面积公式即可求解；
（2）由正弦定理结合（1）可得，再结合，即可求解。
22．【答案】（1）解：用表示甲、乙各出的手指头数，则表示这个实验的一个样本点，
所以该实验的样本空间为，共有25个样本点，
事件包含的样本点共5个，即，，，，；
（2）解：与不是互斥事件，
因为事件与可以同时发生，
如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意，
所以事件与不是互斥事件．
（3）解：这种游戏规则不公平．
由题可知和为偶数的样本点有
共13个，
所以甲赢的概率为，
所以乙赢的概率为，
所以这种游戏规则不公平．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1） 用表示甲、乙各出的手指头数，则表示这个实验的一个样本点，用列举法即得；
（2）根据互斥事件的概念即得；
（3）利用古典概型概率公式分别计算甲赢， 乙赢概率即得.
1 / 1甘肃省张掖市某重点校2022-2023学年高二上学期数学开学检测试卷
一、单选题
1．（2022高二上·张掖开学考）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正切函数的图象与性质
【解析】【解答】因为，所以.
故的定义域为.
故答案为：A
【分析】根据正切函数的定义域可得结果.
2．（2022·泰安模拟）已知复数 ，i为虚数单位，则z的共轭复数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】 ，
所以z的共轭复数为 ，
故答案为：B.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简z，再根据共轭复数的定义，可得答案。
3．（2022高一下·武汉月考）已知函数（其中）的最小正周期为，则（ ）
A．-1 B． C．1 D．
【答案】D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】由题可知，，
∴.
故答案为：D.
【分析】 利用函数的周期求出函数的解析式，进一步求出函数 的值.
4．（2021高一下·丰台期末）已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对A，平行于同一个平面的两条直线并不一定平行，A不符合题意；
对B，平行于同一条直线的两平面并不一定平行，B不符合题意；
对C，垂直于同一平面的两直线平行，C符合题意；
对D，两平面垂直于两直线，这两个平面没有确定的关系，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，逐项进行判断可得答案。
5．（2022高二上·张掖开学考）某大学数学系共有本科生1500人，其中一、二、三、四年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为300的样本，则应抽取的三年级学生的人数为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】依题意，三年级学生的总人数为，
从1500人中用分层随机抽样抽取容量为300的样本的抽样比为，
所以应抽取的三年级学生的人数为.
故答案为：C
【分析】根据给定条件利用分层抽样的抽样比直接计算作答.
6．（2022高二上·张掖开学考）已知平面直角坐标系内三个顶点的坐标分别为，D为边的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】∵D为边的中点，，
∴.
故答案为：B.
【分析】利用中点坐标公式及向量的坐标表示即得.
7．（2022高二上·张掖开学考）春运期间，小明和小华两位同学报名参加了去本地客运站疏导乘客的公益活动，若两人分别被随机分配到、、三个客运站中的一个，则两人被分在同一个客运站的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】两人被随机分到三个客运站，一共有种分法，其中，两人被分到同一个客运站的分法有3种，所以所求概率为．
故答案为：D．
【分析】利用古典概型计算公式计算即可．
8．（2022高二上·张掖开学考）已知正方体的所有顶点都在同一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球体的体积为（ ）
A． B．6π C．9π D．18π
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】设正方体的棱长为，其外接球的半径为，
因为正方体的表面积为18，
所以，所以，，
所以，得，
所以正方体外接球的体积为，
故答案为：A.
【分析】先由正方体的表面积求出正方体的棱长，再求出正方体的体对角线，从而可得其外接球的直径，进而可求出球的体积.
二、多选题
9．（2022高二上·张掖开学考）已知袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率不为的是（ ）
A．颜色相同 B．颜色不全相同
C．颜色全不相同 D．无红球
【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】根据题意，有放回的取3次，共有3×3×3=27种情况，即（黄，黄，黄），（黄，白，黄），（黄，黄，白），（黄，红，黄），……，由古典概型计算：A选项，颜色相同的情况有3种，故概率为，不为；B选项，颜色不全相同与颜色相同是对立事件，故其概率为；C选项，颜色全不相同，即黄，红，白各有一次，共有6种情况，故概率为，不为；D选项，无红球，即三次都是黄或白球，共有8种情况，故其概率为，不为.
故答案为：ACD
【分析】把所有情况列举出来，找到符合要求的情况，利用古典概型求概率公式进行求解.
10．（2022高二上·张掖开学考）某市气象部门根据2020年各月的每天最高气温与最低气温的平均数据，绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是（ ）
A．各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值8月均最高
B．从2020年1月至8月该市每天最高气温平均值与最低气温平均值一直在上升
C．全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5个
D．全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大
【答案】A,C,D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】解：对于A，由折线图可知，各月的每天最高气温平均值与最低气温平均值8月均最高，A符合题意；
对于B，从2020年1月至2月该市每天最低气温平均值在下降，B不符合题意；
对于C，全年中各月最高气温平均值不低于25℃的月份有5，6，7，8，9月，共5个月，C符合题意；
对于D，由图可知全年中2月份的最高气温平均值与最低气温平均值的差值最大，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据折线图逐一分析各个选项即可得出答案.
11．（2020高一下·沈阳期末）正三棱锥底面边长为3，侧棱长为 ，则下列叙述正确的是（ ）
A．正三棱锥高为3. B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为 D．正三棱锥侧面积为
【答案】A,B,D
【知识点】棱锥的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】取 的中心为O，连接 ，
由题意得： 面 ，
又 为等边三角形，
则 ，
所以正三棱锥高为： ，
，
所以正三棱锥的体积为： ，
作 交 于 ，
又 ，
则正三棱锥的斜高为 ，
所以正三棱锥侧面积为： .
故答案为：A B D.
【分析】根据题意画出图像，取 的中心为O，连接 ，先得出 面 ，再求出 ，可得正三棱锥高；利用三角形的面积公式求出 的面积，利用体积公式求出正三棱锥的体积；作 交 于D，求出正三棱锥的斜高 ；再利用面积公式求正三棱锥侧面积即可.
12．（2022·秦皇岛二模）已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻对称中心的距离为，则（ ）
A．的最小正周期为 B．的最小正周期为
C． D．
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质
【解析】【解答】因为图象相邻的对称中心与对称轴的距离为，所以最小正周期，A符合题意，B不正确；
因为，且，所以，C符合题意，D不正确，
故答案为：AC.
【分析】由已知条件图象相邻的对称中心与对称轴的距离为，即可求得最小正周期，以及，再由对称性即可求得.
三、填空题
13．（2022高二上·张掖开学考）已知角是第四象限角，，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，可得，
又因为角是第四象限角，所以，可得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据三角函数的基本关系式求得，结合正弦的倍角公式，即可求解.
14．（2022高一下·运城月考）已知向量，，，若，则实数 ．
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】由，，，
则，
又因为，
则，
解得。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量共线的坐标表示，进而得出实数的值。
15．（2022高二上·张掖开学考）函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为 ．
【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图象可知，，
，
，
三角函数的解析式是
函数的图象过，，
把点的坐标代入三角函数的解析式，
，又，
，
三角函数的解析式是.
故答案为：.
【分析】根据所给的图象，可得到，，进而得到，根据函数的图象过点可求出，得到三角函数的解析式．
16．（2022·广州模拟）在梯形ABCD中，，将沿折起，连接BD，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为 ．此时该三棱锥的外接球的表面积为 ．
【答案】；5π
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；球内接多面体
【解析】【解答】过点C作，垂足为E，
为等腰梯形，
，
由余弦定理得，即
易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大，
此时，平面
易知，
记O为外接球球心，半径为R
平面，
O到平面的距离
又的外接圆半径
故答案为：，5π
【分析】注意到三棱锥体积最大时，平面平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.
四、解答题
17．（2021高三上·德州期中）已知向量 与 是夹角为 的单位向量，且向量 .
（1）求 ；
（2）若 ，求实数 的值.
【答案】（1）解：由题意可得 ，
（2）解：根据题意 ，则有 ，
即 ，
所以 ，
【知识点】向量的模；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】(1)由平面向量数量积的定义可得 ， 再根据 展开运算，即可求解出 的值；
(2)易得 ， 由 ， 代入运算，即可求得实数 的值.
18．（2022高二上·张掖开学考）已知六棱锥P－ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心，底面边长为2 cm，侧棱长为3 cm，求六棱锥P－ABCDEF的表面积和体积．
【答案】解：连接，，
先求底面正六边形的面积．
由，
，
所以．
在中，，
即高，
所以．
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【分析】连接 ，，先求底面正六边形的面积，再算出侧面积，即可得到表面积，用勾股定理算出高PO，利用体积公式计算体积即可.
19．（2022高二上·张掖开学考）已知平面向量，，函数.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）解：；
（2）解：因为，所以，
所以，
所以，
即函数在区间上的值域为.
【知识点】平面向量的数量积运算；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合二倍角的正余弦公式和辅助角公式即可得解；
（2）根据正弦函数的性质结合整体思想即可得解.
20．（2018高一上·镇原期末）如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．
（1）求证：PQ∥平面DCC1D1；
（2）求证：AC⊥EF.
【答案】（1）证明：如图所示，连接CD1.
∵P、Q分别为AD1、AC的中点．∴PQ∥CD1.
而CD1 平面DCC1D1，PQ//平面DCC1D1，
∴PQ∥平面DCC1D1
（2）证明：如图，取CD中点H，连接EH，FH.
∵F、H分别是C1D1、CD的中点，在平行四边形CDD1C1中，FH//D1D.
而D1D⊥面ABCD，
∴FH⊥面ABCD，而AC 面ABCD，
∴AC⊥FH.
又E、H分别为BC、CD的中点，∴EH∥DB.
而AC⊥BD，∴AC⊥EH.
因为EH、FH是平面FEH内的两条相交直线，所以AC⊥平面EFH，
而EF 平面EFH，所以AC⊥EF
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质
【解析】【分析】（1）根据题意连接CD1，根据已知条件得出 PQ∥CD1，再利用线面平行的判定定理即证。
（2）根据题意取CD中点H，连接EH，FH，根据已知条件得出 FH//D1D ，根据 D1D⊥面ABCD 得出 FH⊥面ABCD ，进而有 AC⊥FH ，再利用AC⊥BD，得出 AC⊥平面EFH， 进而即证。
21．（2022·济南二模）已知 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， 的面积 .
（1）求边c；
（2）若 为锐角三角形，求a的取值范围.
【答案】（1）解：因为 ， ，所以 ；
因为 ，所以 .
（2）解：在 中，由正弦定理 ，
由（1）知 ， ，代入上式得： ，
因为 为锐角三角形，则 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由题意可得，再由三角形面积公式即可求解；
（2）由正弦定理结合（1）可得，再结合，即可求解。
22．（2022高二上·张掖开学考）甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．
（1）若以表示和为6的事件，写出事件的样本点；
（2）现连玩三次，若以表示甲至少赢一次的事件，表示乙至少赢两次的事件，试问：与是否为互斥事件？为什么？
（3）这种游戏规则公平吗？试说明理由．
【答案】（1）解：用表示甲、乙各出的手指头数，则表示这个实验的一个样本点，
所以该实验的样本空间为，共有25个样本点，
事件包含的样本点共5个，即，，，，；
（2）解：与不是互斥事件，
因为事件与可以同时发生，
如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意，
所以事件与不是互斥事件．
（3）解：这种游戏规则不公平．
由题可知和为偶数的样本点有
共13个，
所以甲赢的概率为，
所以乙赢的概率为，
所以这种游戏规则不公平．
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1） 用表示甲、乙各出的手指头数，则表示这个实验的一个样本点，用列举法即得；
（2）根据互斥事件的概念即得；
（3）利用古典概型概率公式分别计算甲赢， 乙赢概率即得.
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