河南省开封市2022-2023年高三上学期数学开学联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·开封开学考）已知集合A=，B=，那么集合A∩B等于（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·开封开学考）已知非零向量与共线，下列说法不正确的是（ ）
A．或 B．与平行
C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得
3．（2022高三上·开封开学考）如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A．由两个圆锥组合成的
B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
4．（2022高三上·开封开学考）已知，，，且与垂直，则λ等于（ ）
A． B． C． D．1
5．（2022高三上·开封开学考）已知向量，满足，，且与反向，则（ ）
A．36 B．48 C．57 D．64
6．（2022高三上·开封开学考）△的三个内角，，所对的边分别为，，，且a=1，B=45°，其面积为2，则△的外接圆的直径为（ ）
A． B． C．4 D．5
7．（2022高三上·开封开学考）某圆锥的母线长为2，侧面积为，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·运城期末）函数图象的大致形状为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020高二下·莆田期中）设函数 的导函数为 ，若 是奇函数，则曲线 在点 处切线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
10．（2022高三上·开封开学考）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
11．（2022高三上·开封开学考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高三上·开封开学考）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
二、解答题
13．（2022高三上·开封开学考）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示
（1）求样本中第3组人数；
（2）根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的平均数；
（3）若从年龄在的人中随机抽取两位，求至少有一人的年龄在内的概率.
14．（2022高三上·开封开学考）经过长期观测得到：在某地交通繁忙时段内，公路段汽车的车流量y(单位：千辆/h)与汽车的平均速度v(单位：km/h)之间的函数解析式为：
（1）若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？
（2）该时段内当汽车的平均速度v为多少时车流量最大？最大车流量为多少？
15．（2022高三上·开封开学考）已知函数．
（1）判断函数的单调性，并用定义法证明；
（2）若，求x的取值范围．
16．（2022高三上·开封开学考）甲、乙，丙三个同学做同一道数学题，且他们能否解答正确该题互不影响.已知甲解答正确的概率为，乙解答正确的概率为，丙解答正确的概率为0.7，甲、乙二人中至少有一人解答正确的概率为0.88.
（1）若，求甲，乙二人中至多有一人解答正确的概率；
（2）若，求甲，乙、丙三人中恰有两人解答正确的概率.
17．（2016高三上·泰兴期中）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
三、填空题
18．（2020高二上·海安期末）已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 ， 的夹角为 .
19．（2022高三上·开封开学考）已知甲 乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：；乙组：.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则等于 .
20．（2022高三上·开封开学考）不等式在区间上的解集为 ．
21．（2020高一上·昭阳期末）若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围为 ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为A=，B=，所以
故答案为：C
【分析】根据集合交运算即可求解.
2．【答案】A
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】非零向量与共线，
对于，，，故错误；
对于，向量与共线，向量与平行，故正确；
对于，向量与共线，与方向相同或相反，故正确；
对于，与共线，存在实数，使得，故正确.
故答案为：A.
【分析】根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果．
3．【答案】D
【知识点】简单组合体的结构特征
【解析】【解答】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，
故答案为：D
【分析】根据圆柱和圆锥的特征即可判断.
4．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意知：，，
∴，即.
故答案为：A.
【分析】由向量数量积的运算律可得，根据向量的垂直关系列方程，求λ即可.
5．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为与反向，
所以，
又，，
所以，
.
故答案为：A
【分析】根据与反向 ，得到，然后利用平面向量的数量积运算求解.
6．【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】∵，
∴，又，
∴，可得.
设△的外接圆半径为，则，
∴.
故答案为：B.
【分析】先由三角形面积公式求得，由余弦定理求得，利用正弦定理求外接圆直径.
7．【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设圆锥底面半径为r，高为h，则底面圆周长为，
所以侧面面积，解得，
所以圆锥的高，
所以圆锥的体积.
故答案为：C
【分析】设圆锥底面半径为r，高为h，根据侧面积，可求得r值，进而可求得圆锥高h，代入公式，即可得答案.
8．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由且定义域为R，
所以为偶函数，排除C、D；
，且，，即，排除B.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义判断出函数为偶函数，再结合偶函数的图象的对称性和异号为负的性质以及特殊点排除法，进而找出函数的大致图象。
9．【答案】D
【知识点】奇函数；导数的几何意义
【解析】【解答】依题意 ，
由于 是奇函数，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】利用 为奇函数求得a的值，由此即可求得 的值.
10．【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的渐近线为，易知与直线平行，
所以.
故答案为：D.
【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率.
11．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，
当时，，，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
，，则在上值的集合为，
因函数的值域为，于是得，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：D
【分析】求出函数在时值的集合， 函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.
12．【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】将函数向右平移个单位长度得到，
纵坐标不变，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到，
所以，
故答案为：A.
【分析】将函数向右平移个单位长度，再把所得曲线图像上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，即可得出答案.
13．【答案】（1）解：由频率分布图进行数据分析可得：
，解得：.
所以样本中第3组人数为：.
（2）解：由频率分布图进行数据分析可得，样本数据的平均数为：
（3）解：记事件A：至少有一人的年龄在内
年龄在的有2人，设为a b；年龄在的有3人，设为1 2 3；
从5人中任选2人，有：ab a1 a2 a3 b1 b2 b3 12 13 23共10种情况.
至少有一人的年龄在内包括：ab a1 a2 a3 b1 b2 b3共7种情况.
故所求概率为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中的条形面积和为1计算可得，再根据第3组人数所占的比例与总人数求解即可；
（2）以每组数据的中点作为该组值求解平均数即可；
（3）先求得年龄在的人数，再根据古典概型的方法求解即可.
14．【答案】（1）解：由已知，整理得，解得，
所以若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应大于25且小于64；
（2）解：由题意，
当且仅当，即时，等号成立．
所以当汽车的平均速度是40时，轩流量最大，最大车流量是10千辆．
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【分析】（1）由已知解不等式可得；
（2）由基本不等式可得结论．
15．【答案】（1）解：函数在上为增函数.
证明：函数的定义域为，，
任取，且，
则，
∵，∴，∴，∴，
即，∴
∴函数在上为增函数.
（2）解：∵，由（1）知函数在上为增函数，∴，
即，解得，
∴的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）根据单调性定义，通过取值作差判断符号即可证明；
（2）根据函数的单调性得，解不等式即可．
16．【答案】（1）解：设 为“甲解答正确”，为“乙解答正确”，为“丙解答正确”，且 、、相互独立，
“甲、乙二人都解答正确”为事件“”， “甲、乙二人都解答错误”为事件“” ，
所以，
即，解得，
所以甲、乙二人中至多有一人解答正确的概率.
（2）解：由（1）知且，解得，
即、，又，
设甲、乙、丙三人中恰有两人解答正确为事件，
则.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据相互独立事件与对立事件的概率公式得到方程，即可求出，再求出甲、乙二人中至多有一人解答正确的概率；
（2）由（1）知且，即可求出，再根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得.
17．【答案】（1）解：由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得 ，解得
故函数v（x）的表达式为
（2）解：依题并由（1）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值 ．
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为 ，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（2）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．
18．【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由 得 ，
设 ， 的夹角为 ，因为 ， ，
由平面向量数量积的定义可得
，
则 ，又因为 ，所以 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义，进而求出 ，又因为 ，进而求出两向量的夹角。
19．【答案】8
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】因为，甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数，
乙组数据的中位数为第四个和第五个数的平均数，
根据题意可得，解得．
故答案为：8.
【分析】根据百分位数和中位数的定义即可列出式子计算求解.
20．【答案】
【知识点】单位圆与三角函数线
【解析】【解答】如图所示，由于，
所以在上的解集为．
故答案为：
【分析】利用余弦函数的定义及三角函数线即得.
21．【答案】
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】由 可得 ，解得 ，
函数 是由 和 复合而成，
又 对称轴为 ，开口向下，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 为减函数，
所以 的单调增区间为 ，
因为 在区间 内单调递增，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合复数函数的单调性，即同增异减，从而判断出复合函数的单调性，再结合已知条件复合函数 在区间 内单调递增，从而求出实数 的取值范围。
1 / 1河南省开封市2022-2023年高三上学期数学开学联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·开封开学考）已知集合A=，B=，那么集合A∩B等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为A=，B=，所以
故答案为：C
【分析】根据集合交运算即可求解.
2．（2022高三上·开封开学考）已知非零向量与共线，下列说法不正确的是（ ）
A．或 B．与平行
C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得
【答案】A
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】非零向量与共线，
对于，，，故错误；
对于，向量与共线，向量与平行，故正确；
对于，向量与共线，与方向相同或相反，故正确；
对于，与共线，存在实数，使得，故正确.
故答案为：A.
【分析】根据向量共线的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果．
3．（2022高三上·开封开学考）如图所示的组合体，其结构特征是（ ）
A．由两个圆锥组合成的
B．由两个圆柱组合成的
C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的
D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的
【答案】D
【知识点】简单组合体的结构特征
【解析】【解答】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，
故答案为：D
【分析】根据圆柱和圆锥的特征即可判断.
4．（2022高三上·开封开学考）已知，，，且与垂直，则λ等于（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意知：，，
∴，即.
故答案为：A.
【分析】由向量数量积的运算律可得，根据向量的垂直关系列方程，求λ即可.
5．（2022高三上·开封开学考）已知向量，满足，，且与反向，则（ ）
A．36 B．48 C．57 D．64
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为与反向，
所以，
又，，
所以，
.
故答案为：A
【分析】根据与反向 ，得到，然后利用平面向量的数量积运算求解.
6．（2022高三上·开封开学考）△的三个内角，，所对的边分别为，，，且a=1，B=45°，其面积为2，则△的外接圆的直径为（ ）
A． B． C．4 D．5
【答案】B
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】∵，
∴，又，
∴，可得.
设△的外接圆半径为，则，
∴.
故答案为：B.
【分析】先由三角形面积公式求得，由余弦定理求得，利用正弦定理求外接圆直径.
7．（2022高三上·开封开学考）某圆锥的母线长为2，侧面积为，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】设圆锥底面半径为r，高为h，则底面圆周长为，
所以侧面面积，解得，
所以圆锥的高，
所以圆锥的体积.
故答案为：C
【分析】设圆锥底面半径为r，高为h，根据侧面积，可求得r值，进而可求得圆锥高h，代入公式，即可得答案.
8．（2022高三上·运城期末）函数图象的大致形状为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由且定义域为R，
所以为偶函数，排除C、D；
，且，，即，排除B.
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合偶函数的定义判断出函数为偶函数，再结合偶函数的图象的对称性和异号为负的性质以及特殊点排除法，进而找出函数的大致图象。
9．（2020高二下·莆田期中）设函数 的导函数为 ，若 是奇函数，则曲线 在点 处切线的斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】奇函数；导数的几何意义
【解析】【解答】依题意 ，
由于 是奇函数，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：D
【分析】利用 为奇函数求得a的值，由此即可求得 的值.
10．（2022高三上·开封开学考）已知双曲线的一条渐近线与直线平行，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】双曲线的渐近线为，易知与直线平行，
所以.
故答案为：D.
【分析】写出渐近线，再利用斜率相等，进而得到离心率.
11．（2022高三上·开封开学考）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，
当时，，，
当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，
，，则在上值的集合为，
因函数的值域为，于是得，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：D
【分析】求出函数在时值的集合， 函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.
12．（2022高三上·开封开学考）把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】将函数向右平移个单位长度得到，
纵坐标不变，再把图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到，
所以，
故答案为：A.
【分析】将函数向右平移个单位长度，再把所得曲线图像上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，即可得出答案.
二、解答题
13．（2022高三上·开封开学考）树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示
（1）求样本中第3组人数；
（2）根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的平均数；
（3）若从年龄在的人中随机抽取两位，求至少有一人的年龄在内的概率.
【答案】（1）解：由频率分布图进行数据分析可得：
，解得：.
所以样本中第3组人数为：.
（2）解：由频率分布图进行数据分析可得，样本数据的平均数为：
（3）解：记事件A：至少有一人的年龄在内
年龄在的有2人，设为a b；年龄在的有3人，设为1 2 3；
从5人中任选2人，有：ab a1 a2 a3 b1 b2 b3 12 13 23共10种情况.
至少有一人的年龄在内包括：ab a1 a2 a3 b1 b2 b3共7种情况.
故所求概率为.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中的条形面积和为1计算可得，再根据第3组人数所占的比例与总人数求解即可；
（2）以每组数据的中点作为该组值求解平均数即可；
（3）先求得年龄在的人数，再根据古典概型的方法求解即可.
14．（2022高三上·开封开学考）经过长期观测得到：在某地交通繁忙时段内，公路段汽车的车流量y(单位：千辆/h)与汽车的平均速度v(单位：km/h)之间的函数解析式为：
（1）若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应在什么范围内？
（2）该时段内当汽车的平均速度v为多少时车流量最大？最大车流量为多少？
【答案】（1）解：由已知，整理得，解得，
所以若要求在该时间段内车流量超过9.1千辆/h，则汽车的平均速度应大于25且小于64；
（2）解：由题意，
当且仅当，即时，等号成立．
所以当汽车的平均速度是40时，轩流量最大，最大车流量是10千辆．
【知识点】抽象函数及其应用
【解析】【分析】（1）由已知解不等式可得；
（2）由基本不等式可得结论．
15．（2022高三上·开封开学考）已知函数．
（1）判断函数的单调性，并用定义法证明；
（2）若，求x的取值范围．
【答案】（1）解：函数在上为增函数.
证明：函数的定义域为，，
任取，且，
则，
∵，∴，∴，∴，
即，∴
∴函数在上为增函数.
（2）解：∵，由（1）知函数在上为增函数，∴，
即，解得，
∴的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）根据单调性定义，通过取值作差判断符号即可证明；
（2）根据函数的单调性得，解不等式即可．
16．（2022高三上·开封开学考）甲、乙，丙三个同学做同一道数学题，且他们能否解答正确该题互不影响.已知甲解答正确的概率为，乙解答正确的概率为，丙解答正确的概率为0.7，甲、乙二人中至少有一人解答正确的概率为0.88.
（1）若，求甲，乙二人中至多有一人解答正确的概率；
（2）若，求甲，乙、丙三人中恰有两人解答正确的概率.
【答案】（1）解：设 为“甲解答正确”，为“乙解答正确”，为“丙解答正确”，且 、、相互独立，
“甲、乙二人都解答正确”为事件“”， “甲、乙二人都解答错误”为事件“” ，
所以，
即，解得，
所以甲、乙二人中至多有一人解答正确的概率.
（2）解：由（1）知且，解得，
即、，又，
设甲、乙、丙三人中恰有两人解答正确为事件，
则.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据相互独立事件与对立事件的概率公式得到方程，即可求出，再求出甲、乙二人中至多有一人解答正确的概率；
（2）由（1）知且，即可求出，再根据相互独立事件和对立事件的概率公式计算可得.
17．（2016高三上·泰兴期中）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
【答案】（1）解：由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得 ，解得
故函数v（x）的表达式为
（2）解：依题并由（1）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值 ．
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为 ，
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用
【解析】【分析】（1）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x≤200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（2）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后在区间[20，200]上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200]上的最大值．
三、填空题
18．（2020高二上·海安期末）已知平面向量 ， 满足 ， ， ，则 ， 的夹角为 .
【答案】
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】由 得 ，
设 ， 的夹角为 ，因为 ， ，
由平面向量数量积的定义可得
，
则 ，又因为 ，所以 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合数量积的运算法则和数量积的定义，进而求出 ，又因为 ，进而求出两向量的夹角。
19．（2022高三上·开封开学考）已知甲 乙两组按从小到大顺序排列的数据：甲组：；乙组：.若甲组数据的第30百分位数和乙组数据的中位数相等，则等于 .
【答案】8
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】因为，甲组数据的第30百分位数为第三个数和第四个数的平均数，
乙组数据的中位数为第四个和第五个数的平均数，
根据题意可得，解得．
故答案为：8.
【分析】根据百分位数和中位数的定义即可列出式子计算求解.
20．（2022高三上·开封开学考）不等式在区间上的解集为 ．
【答案】
【知识点】单位圆与三角函数线
【解析】【解答】如图所示，由于，
所以在上的解集为．
故答案为：
【分析】利用余弦函数的定义及三角函数线即得.
21．（2020高一上·昭阳期末）若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】由 可得 ，解得 ，
函数 是由 和 复合而成，
又 对称轴为 ，开口向下，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
因为 为减函数，
所以 的单调增区间为 ，
因为 在区间 内单调递增，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 。
故答案为： 。
【分析】利用已知条件结合复数函数的单调性，即同增异减，从而判断出复合函数的单调性，再结合已知条件复合函数 在区间 内单调递增，从而求出实数 的取值范围。
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