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河南省名校联盟2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·河南开学考）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样 D．其他抽样方法
【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样
故答案为：C
【分析】根据三个学段学生的视力情况有较大差异得到使用分层抽样，得到答案.
2．（2022高二上·河南开学考）设集合，若，则（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，
，
，则，解得.
故答案为：C
【分析】解一元二次及一元一次不等式求集合A、B，根据交集的结果有，即可得结果.
3．（2021高二下·台州期中）已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意 ，对应点为 ，在第一象限．
故答案为：A
【分析】 根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解出答案.
4．（2022高二上·河南开学考）在中，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则边等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理得：，故.
故答案为：A
【分析】由余弦定理求出答案.
5．（2022高二上·河南开学考）已知向量，，且，那么等于（ ）
A．(4，0) B．(0，4) C．(3，－6) D．(－3，6)
【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】∵，∴
则得
∴，
∴＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).
故答案为：C
【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可.
6．（2022高二上·河南开学考）设，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若且，则，充分性成立；取，则成立，但“且”不成立，必要性不成立.因此“且”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可.
7．（2022高二上·河南开学考）设有两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】若，则可以平行 相交或异面，A不符合题意；
若与相交，则，B不符合题意；
若，则或，C不符合题意；
若，则，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据线面平行的性质与判定逐个选项分析即可.
8．（2022高二上·河南开学考）甲、乙两人有三个不同的学习小组可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】根据题意，甲乙两人所有可能的参加情况有如下9种：
，
两人参加同一个学习小组的情况有如下3种：
，
故两人参加同一个学习小组的概率.
故答案为：A.
【分析】根据题意，求得所有参加学习小组的情况，找出满足题意的情况，再根据古典概型的概率计算公式即可求得结果.
9．（2022高二上·河南开学考）如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】B
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得.
故答案为：B.
【分析】由二面角的定义证明即为二面角的平面角，求出此角即得．
10．（2022高二上·河南开学考）将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：将图象上各点横坐标变为原来的，得，再向左平移个单位长度后得，
故答案为：D.
【分析】先根据周期变换求解出第一步变换后的函数解析式，然后根据平移变换得到的解析式.
11．（2022高二上·河南开学考）已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】因为甲，乙，丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，所以他们三人都没有被录取的概率为，故他们三人中至少有一人被录取的概率为.
故答案为：D
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式可先求三人都没有被录取的概率，再由对立事件的概率求至少一个被录取的概率.
12．（2022高二上·河南开学考）已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，
所以函数在上单调递减，，
当时；当时
不等式，即等价于或，解得或.
所以不等式对应x的范围为.
故答案为：C
【分析】根据偶函数的区间单调性判断的区间符号，再把不等式转化为，进而等价转化为不等式组求解集即可.
二、填空题
13．（2022高二上·河南开学考）已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为 .
【答案】2
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：因为，所以扇形的面积为，
所以，即，
故答案为：2
【分析】通过扇形的面积公式即可得到答案.
14．（2022高二上·河南开学考）不等式的解集为 .
【答案】（-2，1）
【知识点】一元二次不等式
【解析】【解答】由等价于，可得.
故答案为：（-2，1）
【分析】解一元二次方程求解集即可.
15．（2022·硚口模拟）如果，，，的方差是，则，，，的方差为 .
【答案】3
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为，，，的方差是，则，，，的方差为．
故答案为：3．
【分析】根据线性变化后数据间方差的关系计算方差．
16．（2022高二上·河南开学考）在三棱锥中，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】8π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】如图，取的中点的中点，连接，
由，知是等边三角形，则.
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以.
过作平面，则.
因为，即BC为球的截面圆的直径，
所以三棱锥的外接球的球心在上，
设球心为，连接，设外接球半径为，
由已知.
在直角梯形中，，
所以三棱锥外接球的表面积，
故答案为：8π
【分析】由题意可确定球心的位置在过BC的中点垂直于平面ABC的直线上，继而求得外接球的半径，即可求得答案.
三、解答题
17．（2022高二上·河南开学考）已知幂函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，幂函数，
可得，即，解得或，
当时，函数为奇函数，
当时，为非奇非偶函数，
因为为奇函数，所以.
（2）解：由（1）知，可得在上为增函数，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】幂函数的性质
【解析】【分析】（1）根据题意得出，求得 或 ，代入解析式，结合为奇函数，即可求解；
（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解.
18．（2022高二上·河南开学考）已知为锐角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：因为，且所以，
又为锐角，所以，
因此
（2）解：因为为锐角，所以，
又因为，
所以，
因此，
因为，
所以，
因此
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）先利用和的范围求，接着利用二倍角公式即可得到答案；
（2）先利用算出和，再通过第（1）问算出，最后利用即可得到答案.
19．（2022高一下·洛阳月考）已知向量满足.
（1）求；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）解：.
.
（2）解：∵
∴
化简得：
即：
解得：
【知识点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由 可得 ，再由 ，利用平面向量数量积的运算可求得 ；
(2)由 可得 ，展开计算即可求出实数的值.
20．（2022高一下·鄂州期末）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：
（1）平面PDC；
（2）PB⊥平面DEF.
【答案】（1）证明：取PC的中点M，连接DM，MF.
∵M，F分别是PC，PB的中点，
∴，.
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴，，
∴，，
∴四边形DEFM为平行四边形.
∴，
∵平面PDC，平面PDC.
∴平面PDC.
（2）证明：∵ 四边形ABCD为正方形，∴.
又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，
∴ AD⊥平面PAB.
∵平面PAB，∴.
连接AF，∵，F为PB中点，∴.
又，AD，平面DEF，
∴ PB⊥平面DEF.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形可证明，利用线面平行判定定理求解即可；
（2）根据面面垂直的性质可得平面，可得，再由即可得证.
21．（2022高二上·河南开学考）某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.
（1）求图中的值；
（2）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
（3）采用分层抽样的方法从这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率.
【答案】（1）解：由题意，高一学生周末“阅读时间”在的频率分别为，.
由，得.
（2）解：设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时.
因为前5组频率和为，前4组频率和为，所以
由，得.
故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06小时.
（3）解：由题意得，周末阅读时间在中的人分别有15人 20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人 4人，分别记作及.
从7人中随机抽取2人，这个试验的样本空间，，共包含21个样本点，且这21个样本点出现的可能性相等，
抽取的2人在同一组包含的样本点有，共9个，
故所求概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积之和等于1即可求出结果；
（2）根据中位数的概念设出中位数，然后列出方程即可求出结果；
（3）根据古典概型的计算公式即可求出结果.
22．（2022高二上·河南开学考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长的取值范围．
【答案】（1）解：∵，∴，
由正弦定理，得．
又，∴，
由于，∴．
（2）解：∵，，
由正弦定理，得，．
．
∵，∴，则．
∴．
∴，则．
故周长的取值范围为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理结合向量平行的坐标表示即可得出答案.
（2）由正弦定理可得，根据求出，即可求出周长的取值范围.
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河南省名校联盟2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·河南开学考）为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中，高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样 B．按性别分层随机抽样
C．按学段分层随机抽样 D．其他抽样方法
2．（2022高二上·河南开学考）设集合，若，则（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
3．（2021高二下·台州期中）已知，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2022高二上·河南开学考）在中，已知角，，所对的边分别为，，，，，，则边等于（ ）
A．1 B． C． D．2
5．（2022高二上·河南开学考）已知向量，，且，那么等于（ ）
A．(4，0) B．(0，4) C．(3，－6) D．(－3，6)
6．（2022高二上·河南开学考）设，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2022高二上·河南开学考）设有两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
8．（2022高二上·河南开学考）甲、乙两人有三个不同的学习小组可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组（两人参加各小组的可能性相同），则两人参加同一个学习小组的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（2022高二上·河南开学考）如图，在长方体中，为的中点，则二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
10．（2022高二上·河南开学考）将函数的图象上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022高二上·河南开学考）已知甲，乙，丙三人去参加某公司面试，他们被该公司录取的概率分别是，且三人的录取结果相互之间没有影响，则他们三人中至少有一人被录取的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022高二上·河南开学考）已知是定义在上的偶函数，在上是增函数，且，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2022高二上·河南开学考）已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为 .
14．（2022高二上·河南开学考）不等式的解集为 .
15．（2022·硚口模拟）如果，，，的方差是，则，，，的方差为 .
16．（2022高二上·河南开学考）在三棱锥中，平面平面，则三棱锥的外接球的表面积为 .
三、解答题
17．（2022高二上·河南开学考）已知幂函数为奇函数.
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围.
18．（2022高二上·河南开学考）已知为锐角，.
（1）求的值；
（2）求的值.
19．（2022高一下·洛阳月考）已知向量满足.
（1）求；
（2）若，求实数的值.
20．（2022高一下·鄂州期末）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，平面ABCD⊥平面PAB，E，F分别是线段AD，PB的中点，.证明：
（1）平面PDC；
（2）PB⊥平面DEF.
21．（2022高二上·河南开学考）某校为了解高一学生周末的“阅读时间”，从高一年级中随机调查了100名学生进行调查，获得了每人的周末“阅读时间”（单位：小时），按照分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示.
（1）求图中的值；
（2）估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数；
（3）采用分层抽样的方法从这两组中抽取7人，再从7人中随机抽取2人，求抽取的2人恰好在同一组的概率.
22．（2022高二上·河南开学考）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．
（1）求角A的大小；
（2）若，求周长的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样
故答案为：C
【分析】根据三个学段学生的视力情况有较大差异得到使用分层抽样，得到答案.
2．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，
，
，则，解得.
故答案为：C
【分析】解一元二次及一元一次不等式求集合A、B，根据交集的结果有，即可得结果.
3．【答案】A
【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】由题意 ，对应点为 ，在第一象限．
故答案为：A
【分析】 根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解出答案.
4．【答案】A
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】由余弦定理得：，故.
故答案为：A
【分析】由余弦定理求出答案.
5．【答案】C
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】∵，∴
则得
∴，
∴＝(1，－2)－(－2，4)＝(3，－6).
故答案为：C
【分析】根据共线向量的性质，结合平面向量减法的坐标表示公式进行求解即可.
6．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】若且，则，充分性成立；取，则成立，但“且”不成立，必要性不成立.因此“且”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行推理即可.
7．【答案】D
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质
【解析】【解答】若，则可以平行 相交或异面，A不符合题意；
若与相交，则，B不符合题意；
若，则或，C不符合题意；
若，则，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据线面平行的性质与判定逐个选项分析即可.
8．【答案】A
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】根据题意，甲乙两人所有可能的参加情况有如下9种：
，
两人参加同一个学习小组的情况有如下3种：
，
故两人参加同一个学习小组的概率.
故答案为：A.
【分析】根据题意，求得所有参加学习小组的情况，找出满足题意的情况，再根据古典概型的概率计算公式即可求得结果.
9．【答案】B
【知识点】二面角的平面角及求法
【解析】【解答】如图，在长方体中，平面，平面，平面，所以，且，所以即为二面角的平面角，又，易得.
故答案为：B.
【分析】由二面角的定义证明即为二面角的平面角，求出此角即得．
10．【答案】D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：将图象上各点横坐标变为原来的，得，再向左平移个单位长度后得，
故答案为：D.
【分析】先根据周期变换求解出第一步变换后的函数解析式，然后根据平移变换得到的解析式.
11．【答案】D
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】因为甲，乙，丙三人被该公司录取的概率分别是，且三人录取结果相互之间没有影响，所以他们三人都没有被录取的概率为，故他们三人中至少有一人被录取的概率为.
故答案为：D
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式可先求三人都没有被录取的概率，再由对立事件的概率求至少一个被录取的概率.
12．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，，
所以函数在上单调递减，，
当时；当时
不等式，即等价于或，解得或.
所以不等式对应x的范围为.
故答案为：C
【分析】根据偶函数的区间单调性判断的区间符号，再把不等式转化为，进而等价转化为不等式组求解集即可.
13．【答案】2
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：因为，所以扇形的面积为，
所以，即，
故答案为：2
【分析】通过扇形的面积公式即可得到答案.
14．【答案】（-2，1）
【知识点】一元二次不等式
【解析】【解答】由等价于，可得.
故答案为：（-2，1）
【分析】解一元二次方程求解集即可.
15．【答案】3
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】因为，，，的方差是，则，，，的方差为．
故答案为：3．
【分析】根据线性变化后数据间方差的关系计算方差．
16．【答案】8π
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】如图，取的中点的中点，连接，
由，知是等边三角形，则.
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又平面，所以.
过作平面，则.
因为，即BC为球的截面圆的直径，
所以三棱锥的外接球的球心在上，
设球心为，连接，设外接球半径为，
由已知.
在直角梯形中，，
所以三棱锥外接球的表面积，
故答案为：8π
【分析】由题意可确定球心的位置在过BC的中点垂直于平面ABC的直线上，继而求得外接球的半径，即可求得答案.
17．【答案】（1）解：由题意，幂函数，
可得，即，解得或，
当时，函数为奇函数，
当时，为非奇非偶函数，
因为为奇函数，所以.
（2）解：由（1）知，可得在上为增函数，
因为，所以，解得，
所以的取值范围为.
【知识点】幂函数的性质
【解析】【分析】（1）根据题意得出，求得 或 ，代入解析式，结合为奇函数，即可求解；
（2）由（1）得到在上为增函数，不等式转化为，即可求解.
18．【答案】（1）解：因为，且所以，
又为锐角，所以，
因此
（2）解：因为为锐角，所以，
又因为，
所以，
因此，
因为，
所以，
因此
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）先利用和的范围求，接着利用二倍角公式即可得到答案；
（2）先利用算出和，再通过第（1）问算出，最后利用即可得到答案.
19．【答案】（1）解：.
.
（2）解：∵
∴
化简得：
即：
解得：
【知识点】平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）由 可得 ，再由 ，利用平面向量数量积的运算可求得 ；
(2)由 可得 ，展开计算即可求出实数的值.
20．【答案】（1）证明：取PC的中点M，连接DM，MF.
∵M，F分别是PC，PB的中点，
∴，.
∵E为DA的中点，四边形ABCD为正方形，
∴，，
∴，，
∴四边形DEFM为平行四边形.
∴，
∵平面PDC，平面PDC.
∴平面PDC.
（2）证明：∵ 四边形ABCD为正方形，∴.
又平面ABCD⊥平面PAB，平面平面，平面ABCD，
∴ AD⊥平面PAB.
∵平面PAB，∴.
连接AF，∵，F为PB中点，∴.
又，AD，平面DEF，
∴ PB⊥平面DEF.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【分析】（1）根据平行四边形可证明，利用线面平行判定定理求解即可；
（2）根据面面垂直的性质可得平面，可得，再由即可得证.
21．【答案】（1）解：由题意，高一学生周末“阅读时间”在的频率分别为，.
由，得.
（2）解：设该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为小时.
因为前5组频率和为，前4组频率和为，所以
由，得.
故可估计该校高一学生周末“阅读时间”的中位数为2.06小时.
（3）解：由题意得，周末阅读时间在中的人分别有15人 20人，按分层抽样的方法应分别抽取3人 4人，分别记作及.
从7人中随机抽取2人，这个试验的样本空间，，共包含21个样本点，且这21个样本点出现的可能性相等，
抽取的2人在同一组包含的样本点有，共9个，
故所求概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中小长方形的面积之和等于1即可求出结果；
（2）根据中位数的概念设出中位数，然后列出方程即可求出结果；
（3）根据古典概型的计算公式即可求出结果.
22．【答案】（1）解：∵，∴，
由正弦定理，得．
又，∴，
由于，∴．
（2）解：∵，，
由正弦定理，得，．
．
∵，∴，则．
∴．
∴，则．
故周长的取值范围为．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；正弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理结合向量平行的坐标表示即可得出答案.
（2）由正弦定理可得，根据求出，即可求出周长的取值范围.
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