第十三章 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时
一、教学目标
【知识与技能】
1.理解线段垂直平分线的性质和判定．
2.能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理及进行应用;
3.能够利用尺规过直线外一点作该直线的垂线.
【过程与方法】
经历探索、猜测、证明的过程,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
【情感、态度与价值观】
在数学活动中体会获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立学习的自信心.
二、课型
新授课
三、课时
第1课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
线段的垂直平分线性质定理和判定定理证明及其应用.
【教学难点】
线段的垂直平分线判定定理的证明.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺等。
学生：三角尺、直尺、剪刀。
六、教学过程
（一）导入新课
甲乙两位同学在玩一个游戏,甲在点A处,乙在点B处,把宝物放在什么地方对两人是公平的,除线段AB的中点外还有别的地方吗 （出示课件2-3）
（二）探索新知
1.创设情境，探究线段垂直平分线的性质定理
教师问1：在某路段的同侧，有两个工厂A，B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂到医院的距离相等，问医院的院址应选在何处？
本问题学生独立思考，但不要求学生能解答问题.
观察下边的图形
教师问2：如图，直线l垂直平分线段AB，P1，P2，P3……是l上的点，分别量一量点P1，P2，P3……到A与点B的距离，你有什么发现？
先让学生量一下并猜想P1A与P1B的数量关系，再量一下并猜想P2A与P2B及P3A与P3B的数量关系后回答：P1A=P1A，P2A=P2B，P3A=P3B.
教师问3：猜想线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离有何数量关系？
学生回答：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
教师问4：我们如何证明猜想是否正确呢？
师生共同讨论如下：（出示课件6）
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC＝CB，点P在l上.
求证：PA＝PB.
师生共同解答如下：（出示课件7）
证明：∵ l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
又 AC =CB，PC =PC，
∴ △PCA ≌△PCB（SAS）．
∴ PA =PB．
证明完成后，老师用多媒体展示线段垂直平分线的性质应用时的符号语言(即解题时的书写步骤)，并强调学生注意.
教师总结如下：（出示课件8）
语言表示：
线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
几何语言：∵ CA =CB，l⊥AB，∴ PA =PB．
探究线段垂直平分线的判定定理
教师问5：把线段垂直平分线的性质1反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上呢？
学生讨论后回答：点P在线段AB的垂直平分线上.
教师问6：如何证明我们的猜想是否正确呢？
师生共同讨论后总结如下：（出示课件11）
已知线段AB，点P是平面内一点，且PA＝PB.
求证：P点在线段AB的垂直平分线上.
师生共同解答如下：（出示课件12）
证明：过点P 作线段AB 的垂线PC，
垂足为C．则∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
∵ PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
总结点拨：（出示课件13）
用数学符号表示为：
∵ PA =PB，
∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．
文字语言：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．
教师问7：你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？
学生讨论后回答：到线段AB 两端点的距离相等的点有无数个.
教师问8：这些点能组成什么几何图形？
学生回答：这些点组成一条直线.
总结点拨：（出示课件14）
在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；
反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A，B 的距离相等的所有点的集合．
例1：如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC内一点，且OB＝OC，求证：AO⊥BC.（出示课件15）
师生共同解答如下：
证明：∵OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上.
又AB＝AC，
∴点A在BC的垂直平分线上，
即A，O均在BC的垂直平分线上，
∴AO⊥BC.
3.探究线段垂直平分线的作法
教师问9：已知直线上一点P,如何过点P作直线的垂线呢？
师生共同探究后解答如下：
如图,以点P为圆心,合适长为半径,画弧与直线交于两点,分别以这两点为圆心,同样长度为半径,画弧,交于点C,过点C,P做直线即可.
教师问10：如果这一点不在直线上，在直线外如何作图呢？
师生共同探究后解答如下：（出示课件18）
作法：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁.
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E.
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧相交于点F.
（4）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
（三）课堂练习（出示课件22-27）
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为( )
A．5 cm B．10 cm
C．15 cm D．17.5 cm
2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
3．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长为 ________cm.
4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段 __________ 的垂直平分线上．
5.如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？
6.如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OE垂直平分CD.
7.如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．
参考答案：
1.C
2.C
3.7.8
4.AC 解析：∵BC=BD+AD，
又∵BC=BD+DC，
∴AD=DC.
∴点D在线段AC的垂直平分线上.
5.答：△ABC 三边垂直平分线的交点上.
6.证明：∵E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于D，EC⊥OA于C，
∴ED＝EC
在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE，
∴Rt△EDO≌Rt△ECO.（HL）
∴OD＝OC.
∴O，E都在CD的垂直平分线上.
∴OE垂直平分CD.
7.解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC.
∵AC＋AD＋DC＝14 cm，
∴AC＋AD＋BD＝14 cm.
即AC＋AB＝14 cm.
设AB＝x cm，AC＝y cm.
根据题意，得 解得
∴AB长为8 cm，AC长为6 cm.
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
1.性质1：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
用符号语言表示为：
∵PC垂直平分AB(CA＝CB，PC⊥AB)，∴PA＝PB.
2.性质2：
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
用符号语言表示为：
∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
3.利用尺规过直线外一点作已知直线的垂直平分线
（五）课前预习
预习下节课（13.1.2）教材62页到63页的相关内容。
知道如何作出轴对称图形的对称轴和轴对称的对称轴.
七、课后作业
1、教材62页随堂练习1,2
2、如图,兔子的三个洞口A,B,C构成△ABC,猎狗想捕捉兔子,必须到三个洞口的距离都相等,则猎狗应蹲守在( )
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三个角的角平分线的交点
C.三角形三条高的交点
D.三角形三条中线的交点
八、板书设计：
九、教学反思：
这节课在设计过程中有几个特色：
1.每个探究活动都能至少针对一个教学目标，各探究衔接自然，前后呼应.
2.活动中多媒体展示学生的解答过程，既有利于提高学生解题的严密性，又能充分利用多媒体资源.
3.本节是线段的垂直平分线的性质的教学,在教学中要善于引导学生从问题出发,根据观察、实验的结果,先得出猜想性质以及判定,然后再进行证明,要求学生掌握证明的基本要求和方法,注意数学思想方法的强化和渗透,从集合的观点理解线段的垂直平分线.第十三章 轴对称
13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第2课时
一、教学目标
【知识与技能】
能够作出轴对称图形以及轴对称的对称轴,明确对称轴是直线.
【过程与方法】
1.经历探索、猜测、动手操作的过程,进一步发展学生的动手操作能力;
2.体验解决问题策略的多样性,发展实践能力和创新精神.
【情感、态度与价值观】
通过积极参与数学学习活动,在数学活动中获得成功的体验,建立学习的自信心.
二、课型
新授课
三、课时
第2课时，共2课时。
四、教学重难点
【教学重点】
线段的垂直平分线的作法.
【教学难点】
探索轴对称图形对称轴的作法.
五、课前准备
教师：课件、三角尺、直尺、圆规等。
学生：三角尺、直尺、圆规。
六、教学过程
（一）导入新课
如图，A，B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？（出示课件2）
（二）探索新知
1.师生互动，探究作线段的垂直平分线
教师问1：什么是线段的垂直平分线？
学生回答：经过线段的中点并且垂直于线段的直线是这条线段的垂直平分线.
教师问2：线段的垂直平分线有哪些性质？
学生回答：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
教师问3：轴对称图形的性质是什么？
学生回答：对应点的连线被对称轴垂直平分.
教师问4：两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什么方法画出它的对称轴？
学生讨论后回答：作出对应点连线的垂直平分线
教师问5：如图，点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
师生共同分析得到：（出示课件5）
我们只要连接点A和点B，作出线段AB的垂直平分线，就可得到点A和点B的对称轴.为此作出到点A，B的距离相等的两点，即线段AB的垂直平分线上的两点，从而作出线段AB的垂直平分线.
师生共同解答如下：
已知：线段AB(如图1).
求作：线段AB的垂直平分线.
作法：(1)如图2，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；
图1 图2
(2)作直线CD.
直线CD就是线段AB的垂直平分线.（出示课件6）
教师问6：在上述作法中，为什么要以“大于AB的长”为半径作弧？
学生以小于或等于AB的长”为半径作弧，然后回答：如果以小于或等于AB的长”为半径作弧，小于AB的长”为半径作弧没有交点，等于AB的长”为半径作弧只有一个交点，这样无法作出唯一的直线.
教师问7：根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，并与同伴进行交流.
学生讨论并回答：构造三角形，证明三角形全等，从而得出线段相等.
老师进行小结:
.
连接AC、BC、AD、BD，证明：△AOC≌△BOC, △AOD≌△BOD，由此得到AC=BC，AD=BD.
所以得到：CD是AB的垂直平分线.
例1：如图，已知点A、点B以及直线l. （出示课件8）
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.
(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
师生共同解答如下：（出示课件9）
解：(1)如图所示：
(2)在△AMP和△BNP中，∵AM=PN，AP＝PB，PM＝BN，
∴△AMP≌△PNB(SSS)，∴∠MAP＝∠NPB.
例2：如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点M，N表示大学，OA，OB表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)（出示课件11）
师生共同解答如下：（出示课件12）
解：如图所示：
总结点拨：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.两线的交点即为所求.
2.作轴对称图形的对称轴
教师问8：同学们不要忘了，我们作线段的垂直平分线是为了什么？
学生回答：是为了作出轴对称图形的对称轴.
教师问9：那怎样作出一个轴对称图形的对称轴呢？
学生回答：我们只要找到任意一对对应点，作出这对对应点连线的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴.
教师问10：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？
师生共同解答如下：（出示课件14）
作法：
（1）找出五角星的一对对称点A和B，连接AB．
（2）作出线段AB的垂直平分线l．则l就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．
总结点拨：（出示课件15）
对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.
教师问11：刚才我们学习了作线段的垂直平分线，那么如何过已知点作一条直线的垂线呢？
点和直线有几种位置关系？
学生回答：2种.一种是点在直线上，一种是点在直线外.
老师出示问题让学生自行解决.（作为课下作业）
例3：如图，△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，请用无刻度的直尺作出它们的对称轴.
（出示课件16）
师生共同解答如下：
解：延长BC、B'C'交于点P，延长AC，A'C'交于点Q，连接PQ，则直线PQ即为所要求作的直线l.
总结点拨：
①过成轴对称图形的两组对应点的连线（或延长线）交点的直线是这个轴对称图形的对称轴.
②如果成轴对称的两个图形对称点连线（或延长线）相交，那么交点必定在对称轴上.
（三）课堂练习（出示课件20-25）
1.尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ
B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ
D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：
甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出对称轴．
4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
5. 如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
6. 如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．
参考答案：
1.D
2.D
3.解答如图所示：
4.解：如下图所示：
角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴.
5.解：如下图所示：
6. 解：如下图所示：
（四）课堂小结
今天我们学了哪些内容:
线段的垂直平分线的性质(2)
1.线段垂直平分线的作图
2.过一点作已知直线的垂线
（五）课前预习
预习下节课（13.2）的相关内容。
知道画轴对称图形的方法
七、课后作业
1、教材64页练习1,2
2、如图,校园内有两条路OA、OB,在交叉口附近有两块宣传牌C、D,学校准备在这里安装一盏路灯,要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你帮忙画出灯柱的位置P,并说明理由.
八、板书设计：
九、教学反思：
1.本节课从复习线段的垂直平分线的定义和轴对称的性质切入，学习了线段的垂直平分线的作图，并利用线段的垂直平分线的作图解决生活中的位置的确定问题，同时，把上节课的“过一点作已知直线的垂线”的尺规作图移到本节课完成，通过这两种尺规作图的集中讲解和学生的亲自动手作图，使学生对尺规作图的要求有了进一步的认识.
2本节的内容是画轴对称图形的对称轴,在设计上可以通过给出轴对称图形让学生画对称轴的方式,让学生通过小组合作交流,探究、讨论,归纳出画对称轴的方法,体现学生自主学习和合作交流的学习方式,空间想象能力得到加强,创新意识得到培养,并且体验到成功的快乐.
