2022-2023学年 人教版八年级数学上册12.2 用HL证明三角形全等同步卷(含解析)

12.2 用HL证明三角形全等同步卷
一、单选题
1．如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，则两个木桩离旗杆底部的距离与的距离间的关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．如图，在中，，是高，能直接判断的依据是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是的平分线上一点，于，于，下列结论中不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AC=AD，则判定Rt△ABC≌Rt△ABD的依据是（ ）
A．AAS B．SAS C．HL D．SSS
6．如图，，，垂足分别为，，，则的依据是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是（ ）
A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC
8．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则这两个滑梯与地面夹角∠ABC与∠DFE的度数和是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
9．下列条件不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等
C．斜边和一直角边对应相等 D．两个直角三角形的面积相等
10．如图，中，，，，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，，，线段，，两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当__________时，和全等．
12．如图，四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，AC平分∠DAB，CM⊥AB于点M，若AM＝4cm，BC＝2.5cm，则四边形ABCD的周长为_____cm．
13．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15cm，BC＝8cm，AX⊥AC于A，P、Q两点分别在边AC和射线AX上移动．当PQ＝AB，AP＝_____时，△ABC和△APQ全等．
14．已知：如图，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，AE=DF，AB=DC，则△__________≌△__________（HL）．
三、解答题
15．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AC上一点，E在BC的延长线上，且AE＝BD，BD的延长线与AE交于点F．若CD＝3，则求CE的长．
16．如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O，
（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数．
17．在中，于点D，点E为AD上一点，连接CE，CE＝AB，ED＝BD．
（1）求证：；
（2）若，则的度数为 ．
18．如图，已知中，，，是上一点，在的延长线上，且，的延长线与交于点．
（1）若，则求的长；
（2）求证：．
19．如图，AB＝AC，直线l过点A，BM⊥直线l，CN⊥直线l，垂足分别为M、N，且BM＝AN．
(1)求证△AMB≌△CNA；
(2)求证∠BAC＝90°．
1．C
【详解】解：，
，
由，，
，
．
故选：C．
2．C
【详解】证明：∵AD⊥BC
∴和是直角三角形，
∵，AD=AD（公共边），
所以≌（HL）
故选C
3．A
【详解】解：在和中
∴
故选A
4．D
【详解】∵P是∠ABC的平分线AD上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴PE=PF
故A正确；
在Rt△APE与Rt△APF中，
∵AP=AP，PE=PF，
∴Rt△APE≌Rt△APF（HL）
∴AE=AF
故B、C正确；
无法证明，故D错误.
故选D.
5．C
【详解】解：∵AC⊥BC，AD⊥BD，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°，
∵在Rt△ABC和Rt△ABD中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故选：C．
6．D
【详解】解：由题意知
在和中
∵
∴
故选D．
7．D
【详解】解：添加的条件是AB＝CD；理由如下：
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△ABE和Rt△DCF中，
，
∴ (HL)．
故选：D．
8．B
【详解】解：∵滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
∵BC=EF，AC=DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠2=∠3，∠1=∠4，
∵∠3+∠4=90°，
∴∠ABC+∠DFE=90°．
故选：B．
9．D
【详解】A、两条直角边对应相等，且这两条直角边的夹角为直角，由边角边判定定理可知，这两个三角形全等；
B、斜边和一锐角对应相等，还有两个直角对应相等，则由角角边判定定理知，这两个直角三角形全等；
C、根据HL判定定理可知，这两个直角三角形全等；
D、两个三角形的面积相等不能判定两个直角三角形全等．
故选：D
10．B
【详解】，
．
在和中，，
，
．
，
．
故选：B．
11．5或10
【详解】解：∵∠C＝90°，AO⊥AC，
∴∠C＝∠QAP＝90°，
①当AP＝5＝BC时，
在Rt△ACB和Rt△QAP中
∵，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL），
②当AP＝10＝AC时，
在Rt△ACB和Rt△PAQ中
，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ（HL），
故答案为：5或10．
12．13
【详解】解：如图，过C作CE⊥AD的延长线于点E，
∵AC平分∠BAD，
∴∠EAC＝∠MAC，
∵CE⊥AD，CM⊥AB，
∴∠AEC＝∠AMC＝90°，CE＝CM，
在Rt△AEC和Rt△AMC中，
AC=AC，CE=CM，
∴Rt△AEC≌Rt△AMC（HL），
∴AE＝AM＝4cm，
∵∠ADC＋∠B＝180°，∠ADC＋∠EDC＝180°，
∴∠EDC＝∠MBC，
在△EDC和△MBC中，
，
∴△EDC≌△MBC（AAS），
∴ED＝BM，BC＝CD＝2.5cm，
∴四边形ABCD的周长为AB＋AD＋BC＋CD＝AM＋BM＋AE﹣DE＋2BC＝2AM＋2BC＝8＋5＝13（cm），
故答案为：13．
13．8cm或15cm
【详解】解：①当P运动到AP＝BC时，如图1所示：
在Rt△ABC和Rt△QPA中，，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL），
即AP＝B＝8cm；
②当P运动到与C点重合时，如图2所示：
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL），
即AP＝AC＝15cm．
综上所述，AP的长度是8cm或15cm．
故答案为：8cm或15cm．
14． ABE DCF
【详解】试题分析：根据直角三角形全等的判定的判定条件HL，即可直接得出答案．
证明：∵在△ABE和△DCF中，
AE⊥BC，DF⊥BC，AE=DF，AB=DC，
符合直角三角形全等条件HL，
所以△ABE≌△DCF，
故填：ABE；DCF．
15．3
【详解】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD＝90°．
在Rt△BDC与Rt△AEC中，
，
∴Rt△BDC≌Rt△AEC（HL）；
∴CE=CD＝3．
16．（1）见解析；（2）78°
【详解】（1）证明：∵AE＝DB，
∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE．
又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°．
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°．
∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°．
17．（1）理由见解析；（2），理由见解析．
【详解】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠CDE＝90°，
在与中，
，
∴；
（2）∵，
∴AD＝CD，
∴是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝45°，
∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝45°﹣22°＝23°，
∴∠CED＝90°﹣23°＝67°，
∴∠B＝∠CED＝67°．
18．（1）3；（2）见解析
【详解】解：（1）由题意可得：
在和中
∴
∴
故答案为3；
（2）由（1）得，
∴
又∵
∴
∴
∴
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意知∠AMB＝∠CNA＝90°，证明即可；
（2）由，可知∠BAM＝∠ACN，根据∠CAN+∠ACN＝90°，可得∠CAN+∠BAM＝90°，进而结论得证．
（1）
证明：∵BM⊥直线l，CN⊥直线l，
∴∠AMB＝∠CNA＝90°，
在和中，
∵，
∴．
（2）
证明：∵，
∴∠BAM＝∠ACN，
∵∠CAN+∠ACN＝90°，
∴∠CAN+∠BAM＝90°，
∴．