13.3.2 等边三角形
一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
如图,直线a//b,等边三角形ABC的顶点B在直线b上.若∠1=34°,则∠2等于( )
A. 84° B. 86° C. 94° D. 96°
如图,E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是( )
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 不等边三角形
D. 不能确定
如图,l//m,等边△ABC的顶点A在直线m上,则∠α=( )
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
如图,△ABC是等边三角形,D是边BC上一点,且∠ADC的度数为(5x 20)°,则x的值可能是( )
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40
如图所示,△ABC是等边三角形,BC=BD,∠BAD=20 ,则∠BCD的度数为( )
A. 50 B. 55 C. 60 D. 65
如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,则下列结论: ①点P在∠BAC的平分线上; ②AS=AR; ③QP//AR; ④△BRP≌△QSP,正确的有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
如图,在等边三角形ABC中,点D是边AC上的一点,过点D作DE⊥BC交于点E,过点E作EF⊥AB于点F,过点F作FG⊥AC交于点G,若CE=7,点D恰为AG的中点,则△ABC的边长为( )
A. 17
B. 14
C. 534
D. 594
如图,D,E,F分别是等边三角形ABC各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF的形状是( )
A. 等边三角形
B. 腰和底边不相等的等腰三角形
C. 直角三角形
D. 不等边三角形
如图所示,在四边形ABCD中,AB=3,BC=2,若AC=AD且∠ACD=60°,则对角线BD的长最大值为.( )
A. 23
B. 32
C. 4
D. 5
已知直线l1//l2,将等边三角形如图放置,若∠α=40 ,则∠β等于( )
A. 20°
B. 30
C. 40
D. 50
二、填空题(本大题共5小题,共15.0分)
如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是______.
等边三角形的性质:(1)等边三角形的三个内角都 ,并且每一个内角都等于 ;(2)等边三角形是 图形,它有 条对称轴.
如图,△ABC的边BC上有D、E两点,且BD=DE=EC=AD=AE,则∠BAC=______.
如图所示,已知△ABC和△DCE均是等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC,FG,则下列结论中: ①AE=BD; ②AG=BF; ③FG//BE; ④∠BOC=∠EOC,其中正确结论为 .(填写序号)
如图,在等边△ABC中,D为BC边上的点,DE⊥BC交AB于点E,DF⊥AC于点F,则∠EDF的度数为 .
三、解答题(本大题共4小题,共32.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
(本小题8.0分)
如图,在等边△ABC中,DE//BC交AB于点D,交AC于点E,延长DE至点F,CG⊥DF于点G,且DG=FG.
(1)求证:BD=CE;
(2)求证:EF=BC.
(本小题8.0分)
(1)已知:如图,△ABC中,∠A=30°,2BC=AB,求证:∠C=90°;
(2)已知:如图,Rt△ABC中,∠C=90°,2BC=AB,求证:∠A=30°.
(本小题8.0分)
如图,等边三角形ABC中,AD是BC上的高,∠BDE=∠CDF=60°,
图中有哪些与BD相等的线段?
(本小题8.0分)
如图所示,等边△ABC中,点P在△ABC内,点Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,问△APQ是什么形状的三角形 试说明你的结论.
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】A
11.【答案】6
12.【答案】(1)相等 60 (2)轴对称 3
13.【答案】120°
14.【答案】①②③④
15.【答案】60°
16.【答案】证明:
(1)∵△ABC是等边三角形,DE//BC
∴∠ADE=∠B=60°,∠AED=∠ACB=60°
∴△ADE是等边三角形,AD=AE
∵AB=AC
∴BD=CE
(2)连接CD
∵CG⊥DF,DG=FG
∴CF=CD
∴∠F=∠CDF=∠BCD
又∵∠CEF=∠AED=∠B=60 .
∴△BDC≌△ECF(AAS)
∴EF=BC.
17.【答案】证明:(1)作BC ⊥AC于C ,
∵∠A=30°,
∴2BC =AB;
∵2BC=AB,
∴BC=BC ,
∴∠BCC =∠BC C=90°,即BC⊥AC,
∵过B点垂直于AC的直线只有一条,
∴C、C 重合,
故∠C=90°.
(2)如图,延长BC至B ,使B C=BC,连接B A,
∵AC⊥BC,且BC=B C,
∴AB=AB ,BB =2BC=AB,
∴△ABB 为等边三角形;
∴∠BAB =60°,
根据三线合一,AC为∠BAB 的平分线,
∴∠BAC=30°.
18.【答案】解:与BD相等的线段有CD,CF,BE,DE,FD,AF,AE.
19.【答案】解:△APQ为等边三角形.
证明:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC.
在△ABP与△ACQ中,AB=AC,∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,
∴△ABP≌△ACQ(SAS),
∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.
∵∠BAC=∠BAP+∠PAC=60 ,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠PAC=60 ,
∴△APQ是等边三角形.