2022-2023学年苏科版八年级数学上册2.4 线段、角的轴对称性 分类练习（含答案）

2022-2023学年苏科版八年级数学上册《2.4线段、角的轴对称性》题型分类练习（附答案）
类型一．垂直平分线与角度
1．如图△ABC中∠A＝56°，PD垂直平分AB，PE垂直平分BC，则∠BPC的度数为（　　）
A．124° B．112° C．108° D．118°
2．如图，锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP是（　　）
A．24° B．30° C．32° D．36°
3．如图，△ABC中，∠BAC＝100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于（　　）
A．50° B．45° C．30° D．20°
类型二．垂直平分线与长度
4．在△ABC中，AB的垂直平分线l1交BC于点D，AC的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6．
（1）AD与BD的数量关系为　 　．
（2）求BC的长．
（3）分别连接OA，OB，OC，若△OBC的周长为16，求OA的长．
5．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为18cm，则△ABC的周长为（　　）
A．23cm B．28cm C．13cm D．18cm
6．如图，D是四边形AEBC内一点，连接AD、BD，已知CA＝CB，DA＝DB，EA＝EB．
（1）C、D、E三点在一条直线上吗？为什么？
（2）如果AB＝24，AD＝13，CA＝20，那么CD的长是多少？
类型三．垂直平分线的判定
7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC延长线上一点，E是AB上的一点，且在BD的垂直平分线EG上，DE交AC于点F，求证：点E在AF的垂直平分线上．
8．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于F．试确定AD与EF的位置关系，并说明理由．
9．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（　　）
A．AB与CD互相垂直平分 B．CD垂直平分AB
C．AB垂直平分CD D．CD平分∠ACB
类型四．角平分线与角度
10．探究：
（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求证：∠P＝90°+∠A．
（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．
（3）如图3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何数量关系，请直接写出结论．
11．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是（　　）
A．35° B．40° C．50° D．55°
12．△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A＝40°，则∠BOC＝（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
类型五．角平分线与长度
13．如图，△ABC的三边AB、AC、BC的长分别为4、6、8，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△OAB：S△OAC：S△OBC＝（　　）
A．2：3：4 B．1：1：1 C．1：2：3 D．4：3：2
14．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE＝3，则△ABE的面积等于（　　）
A．15 B．12 C．10 D．14
15．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
类型六．尺规作图
16．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝40°．
（1）尺规作图：①作边AB的垂直平分线交BC于点D；
②连接AD，作∠CAD的平分线交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
17．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
18．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（　　）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处在
培优训练
19．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M；AC的垂直平分线交AC于F，交BC于N．连接AM、AN．
（1）求∠MAN的大小；
（2）求证：BM＝CN．
21．已知：在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
（1）如图1，求∠BDC的度数；
（2）如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面积．
参考答案
类型一．垂直平分线与角度
1．解：如图，连接PA，
∵PD垂直平分AB，PE垂直平分BC，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠PBA＝∠PAB，∠PCA＝∠PAC，
∵∠A＝56°，
∴∠PBA+∠PCA＝∠PAB+∠PAC＝∠A＝56°，
在△ABC中，∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠A﹣（∠PBA+∠PCA）＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
在△PBC中，∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣68°＝112°．
故选：B．
2．解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+24°+60°＝180°，
解得：∠ABP＝32°．
故选：C．
3．解：根据线段的垂直平分线性质，可得AD＝BD，AE＝CE．
故∠EAC＝∠ECA，∠ABD＝∠BAD．
因为∠BAC＝100°，∠ABD+∠ACE＝180°﹣100°＝80°，
所以∠DAE＝100°﹣∠BAD﹣∠EAC＝20°．
故选：D．
类型二．垂直平分线与长度
4．解：（1）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
故答案为：AD＝BD；
（2）∵l2是线段AC的垂直平分线，
∴EA＝EC，
∵△ADE的周长为6，
∴AD+DE+AE＝6，
∴BD+DE+EC＝6，即BC＝6；
（3）∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∵l2是线段AC的垂直平分线，
OA＝OC，
∴OB＝OC，
∵△OBC的周长为16，BC＝6，
∴OB+OC＝10，
∴OA＝OB＝OC＝5．
5．解：∵DE是AC的中垂线，
∴AD＝CD，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC，
又∵AE＝5cm，
∴AC＝2AE＝2×5＝10cm，
∴△ABC的周长＝18+10＝28cm，
故选：B．
6．解：（1）C、D、E三点在一条直线上．
理由：连接CD．ED，
在△ADC和△BDC中
，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠ADC＝∠BDC．∠ACD＝∠BCD．
在△ADE和△BDE中
，
∴△ADE≌△BDE（SSS），
∴∠ADE＝∠BDE．
∵∠ADC+∠BDC+∠ADE+∠BDE＝360°，
∴2∠ADC+2∠ADE＝360°，
∴∠ADC+∠ADE＝180°，
∴C、D、E三点在一条直线上；
（2）连接AB，
∵AC＝BC，∠ACD＝∠BCD，
∴AF＝BF＝AB，CF⊥AB．
∵AB＝24，
∴AF＝12．
∵AD＝13，CA＝20，
∴在Rt△ADF和△AFC中，由勾股定理，得
FD＝5，FC＝16，
∴CD＝16﹣5＝11．
答：CD的长是11．
类型三．垂直平分线的判定
7．解：∵EG垂直平分BD，
∴BE＝DE，
∴∠BEG＝∠DEG，
∵∠ACB＝90°，
∴EG∥AC，
∴∠BEG＝∠BAC，∠DEG＝∠AFE，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴AE＝EF，
∴点E在AF的垂直平分线上．
8．解：AD⊥EF．
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，∠1＝∠ADF，
∵∠1＝∠2，
∴∠2＝∠ADF．
∴AF＝DF．
∴四边形AEDF是菱形．
∴AD⊥EF．
9．解：∵AC＝AD，BC＝BD，
∴AB是线段CD的垂直平分线，
故选：C．
类型四．角平分线与角度
10．证明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，
∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠A），
根据三角形内角和定理可知∠BPC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；
（2）∠A＝∠P，理由如下：
∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE．
∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，
∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，
∴∠ACP＝∠ABC+∠A，
∴∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P，
∴∠A＝∠P．
（3）∠P＝90°﹣∠A，理由如下：
∵P点是外角∠CBF和∠BCE的平分线的交点，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠FBC+∠ECB）
＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°﹣（∠A+180°）
＝90°﹣∠A．
11．解：∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠BCA＝180°﹣80°＝100°，
∴∠BAC的外角＝100°，
∵∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，
∴AE是∠BAC的外角平分线，
∴∠CAE＝50°，
故选：C．
12．解：∵O到三角形三边距离相等，
∴O是内心，
即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．
故选：A．
类型五．角平分线与长度
13．解：过点O作OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，
∵O是三角形三条角平分线的交点，
∴OD＝OE＝OF，
∵AB＝4，AC＝6，BC＝8，
∴S△OAB：S△OAC：S△OBC＝2：3：4．
故选：A．
14．解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：
∵BD是AC边上的高，
∴ED⊥AC，
又∵AE平分∠CAB，DE＝3，
∴EF＝3，
∵AB＝8，
∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．
故选：B．
15．解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，
∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，
∴DE＝AD＝2，
故选：C．
类型六．尺规作图
16．解：（1）如图，点D，射线AE即为所求．
（2）∵DF垂直平分线段AB，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝30°，
∵∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣40°＝110°，
∴∠CAD＝110°﹣30°＝80°，
∵AE平分∠DAC，
∴∠DAE＝∠DAC＝40°．
17．解：由尺规作图可知，MN是线段AB的垂直平分线，
∴点D是AB的中点，
∴S△ADC＝S△BDC，
∵S△BDC﹣S△CDE＝5，
∴S△ADC﹣S△CDE＝5，即△ADE的面积为5，
故选：A．
18．解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
培优训练
19．解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝16，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝CM+MD+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故选：C．
20．（1）解：∵AB＝AC，∠A＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵直线ME垂直平分AB，
∴BM＝AM，
∴∠B＝∠MAB＝30°，
∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，
同理可得：∠ANM＝60°．
∴∠MAN＝180°﹣60°﹣60°＝60°；
（2）证明：∵在△AMN中，∠AMN＝∠ANM＝∠MAN＝60°，
∴△AMN为等边三角形．
即 AM＝AN＝MN，
又∵BM＝AM，CN＝AN，
∴BM＝CN．
21．解：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB
＝180°﹣30°﹣20°
＝130°；
（2）作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH＝DE＝2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF＝DH＝2，
∴△ADC的面积＝DF AC＝×2×4＝4．