2022-2023学年人教版七年级数学上册3.1 从算式到方程 基础习题 （含解析）

3.1 从算式到方程（基础习题含答案）-人教版七年级上册
一．选择题
．王涵同学在解关于x的方程7a+x＝18时，误将+x看作﹣x，得方程的解为x＝﹣4，那么原方程的解为（　　）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝﹣2
．下列说法：
①若a+b＝0，且ab≠0，则x＝1是方程ax+b＝0的解；
②若a﹣b＝0，且ab≠0，则x＝﹣1是方程ax+b＝0的解；
③若ax+b＝0，则x＝﹣；
④若（a﹣3）x|a﹣2|+b＝0是一元一次方程，则a＝1．
其中正确的结论是（　　）
A．只有①② B．只有②④ C．只有①③④ D．只有①②④
．若x＝1是方程（1）2﹣的解，则关于y的方程（2）m（y﹣3）﹣2＝m（2y﹣5）的解是（　　）
A．﹣10 B．0 C． D．4
．当x在什么范围内取值时，关于x的一元一次方程的解满足﹣1≤x≤1？（　　）
A．﹣2≤a≤5 B．a≥5 C．a≤﹣2 D．a≥﹣2
．有13个零件，其中一个偏重，其余12个质量相等，用天平称，保证可以找出那个偏重的零件，需要称（　　）
A．1次 B．2次 C．3次 D．4次
．若整数a使关于x的方程ax+3＝﹣9﹣x有负整数解，且a也是四条直线在平面内交点的个数，则满足条件的所有a的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
．下列各式中，变形正确的是（　　）
A．若6a＝2b，则a＝3b B．若2x＝a，则x＝a﹣2
C．若a＝b，则a+c＝b+c D．若a＝b+2，则3a＝3b+2
．已知a是任意有理数，在下面各题中结论正确的个数是（　　）
①方程ax＝0的解是x＝1；②方程ax＝a的解是x＝1；③方程ax＝1的解是x＝；④方程|a|x＝a的解是x＝±1．
A．0 B．1 C．2 D．3
．若a、c、d是整数，b是正整数，且a+b＝c，b+c＝d，c+d＝a，则a+b+c+d的最大值是（　　）
A．5 B．2 C．﹣5 D．﹣2
．已知m+a＝n+b，根据等式的性质变形为m＝n，则a，b必须符合的条件是（　　）
A．a＝﹣b
B．a＝0，b＝0
C．a＝b
D．a，b可以是任意有理数或整式
二．填空题
．如果关于x的一元一次方程x+a＝2x﹣1的解是x＝2，那么a的值为 　 　．
．对于正整数n，阶乘符号n!表示从n到1的整数的乘积（例如：6!＝6×5×4×3×2×1），则满足方程5! 9!＝N！ 12的N的值为 　 　．
．已知关于x的一元一次方程+5＝2020x+m的解为x＝2021，那么关于y的一元一次方程﹣5＝2020（10﹣y）﹣m的解为 　 　．
．已知a，b为定值，关于x的方程＝1﹣，无论k为何值，它的解总是2．则ab＝　 　．
．观察下列方程：
第1个：的解是x＝2；
第2个：的解是x＝3；
第3个：的解是x＝4；
第4个：的解是x＝5．
（1）第5个方程的解是x＝　 　；
（2）解是x＝2022的方程是 　 　．
解答题
．已知方程（m+1）x|m|﹣8＝0是关于x的一元一次方程．
（1）求代数式5x2﹣2（xm+2x2）﹣（xm+6）的值；
（2）求关于y的方程m|y﹣2|＝x的解．
．方程17+15x＝245，，2（x+1.5x）＝24都只含有一个未知数，未知数的指数都是1，它们是一元一次方程，方程x2+3＝4，x2+2x+1＝0，x+y＝5是一元一次方程吗？若不是，它们各是几元几次方程？
．方程的解的定义：使方程两边相等的未知数的值．如果一个方程的解都是整数，那么这个方程叫做“立信方程”．
（1）若“立信方程”2x+1＝1的解也是关于x的方程1﹣2（x﹣m）＝3的解，则m＝　 　；
（2）若关于x的方程x2+3x﹣4＝0的解也是“立信方程”6x+2x2﹣3﹣n＝0的解，则n＝　 　；
（3）若关于x的方程ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4的解也是关于x的方程9x﹣3＝kx+14的解，且这两个方程都是“立信方程”，求符合要求的正整数a和正整数k的值．
．已知关于x的一元一次方程ax+b＝0（其中a≠0，a、b为常数），若这个方程的解恰好为x＝a﹣b，则称这个方程为“恰解方程”，例如：方程2x+4＝0的解为x＝﹣2，恰好为x＝2﹣4，则方程2x+4＝0为“恰解方程”．
（1）已知关于x的一元一次方程3x+k＝0是“恰解方程”，则k的值为 　 　；
（2）已知关于x的一元一次方程﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，且解为x＝n（n≠0）．求m，n的值；
（3）已知关于x的一元一次方程3x＝mn+n是“恰解方程”．求代数式3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n的值．
．定义：若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与关于y的方程cy+d＝0（c≠0）的解满足|x﹣y|＝m（m为正数），则称方程ax+b＝0（a≠0）与方程cy+d＝0（c≠0）是“m差解方程”．
（1）请通过计算判断关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是不是“2差解方程”；
（2）若关于x的方程x﹣＝n﹣1与关于y的方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m是“m差解方程”，求n的值；
（3）若关于x的方程sx+t＝h（s≠0），与关于y的方程s（y﹣k+1）＝h﹣t是“2m差解方程”，试用含m的式子表示k．
参考答案与试题解析
一．选择题
．【解答】解：把x＝﹣4代入方程7a﹣x＝18得：7a+4＝18，
解得：a＝2，
即原方程为14+x＝18，
解得：x＝4．
故选：A．
．【解答】解：①ab≠0，所以一次项系数不是0，则x＝1是方程ax+b＝0的解；
同理，②若a﹣b＝0，且ab≠0，则x＝﹣1是方程ax+b＝0的解；
④若（a﹣3）x|a﹣2|+b＝0是一元一次方程，则a＝1也是正确的．
③若ax+b＝0，则x＝﹣没有说明a≠0的条件．
其中正确的结论是只有①②④．
故选：D．
．【解答】解：先把x＝1代入方程（1）得：
2﹣（m﹣1）＝2×1，
解得：m＝1，
把m＝1代入方程（2）得：1×（y﹣3）﹣2＝1×（2y﹣5），
解得：y＝0．
故选：B．
．【解答】解：，
2（2x+a）＝3（1﹣x），
4x+2a＝3﹣3x，
4x+3x＝3﹣2a，
7x＝3﹣2a，
x＝，
∵关于x的一元一次方程的解满足﹣1≤x≤1，
∴﹣1≤≤1，
解得：﹣2≤a≤5，
故选：A．
．【解答】解：第1次，将13个零件分成4个、4个、5个，将4个、4个分别放入左盘和右盘，这时有两种可能的结果，即①太平平衡，说明偏重的在5个之中，②太平不平衡，则偏重的4个之中，
如果在偏重的在5个之中，第2次，再将其分为2个、2个、1个，将2个、2个分别放入左盘和右盘，这时有两种可能的结果，即①太平平衡，说明偏重的就是1个，②太平不平衡，则偏重的2个之中，
第3次，如果在偏重的在2个之中，再将其分为1个、1个，分别放入左盘和右盘，可得答案，
如果在偏重的在4个之中，将其分为1个、1个、2个，将1个、1个分别放入左盘和右盘，这时有两种可能的结果，即①太平平衡，说明偏重的在2个之中，②太平不平衡，则偏重的就是其中之一，
第3次，如果在偏重的在2个之中，再将其分为1个、1个，分别放入左盘和右盘，可得答案，
综上所述，最多需要3次，
故选：C．
．【解答】解：（1）当四条直线平行时，无交点，
（2）当三条平行，另一条与这三条不平行时，有三个交点，
（3）当两两直线平行时，有4个交点，
（4）当有两条直线平行，而另两条不平行时，有5个交点，
（5）当四条直线同交于一点时，只有一个交点，
（6）当四条直线两两相交，且不过同一点时，有6个交点，
（7）当有两条直线平行，而另两条不平行并且交点在平行线上时，有3个交点，
故四条直线在平面内交点的个数是0或1或3或4或5或6；
解方程ax+3＝﹣9﹣x得x＝﹣，
∵x是负整数，a是整数，
∴a+1＝1或2或3或4或6或12，
解得a＝0或1或2或3或5或11．
综上所述，a＝0或1或3或5，满足条件的所有a的个数为4．
故选：B．
．【解答】解：由a＝b及等式的性质1
得 a+c＝b+c
故选：C．
．【解答】解：①当a≠0时，x＝0，错误；
②当a≠0时，两边同时除以a，得：x＝1，错误；
③ax＝1，当a≠0时，两边同时除以a，得：x＝，错误；
④当a＝0时，x取全体实数，当a＞0时，x＝1，当a＜0时，x＝﹣1，错误．
故选：A．
．【解答】解：∵a+b＝c①，
b+c＝d②，
c+d＝a③，
由①+③，得（a+b）+（c+d）＝a+c，
∴b+d＝0 ④，
b+c＝d⑤，
由④+⑤，得2b+c＝b+d＝0，
∴c＝﹣2b⑥，
由①⑥，得：a＝c﹣b＝﹣3b⑦，
由④⑥⑦，得：a+b+c+d＝（a+c）+（b+d）＝a+c＝﹣5b；
∵b是正整数，
∴b≥1，
∴﹣b≤﹣1，
∴a+b+c+d≤﹣5，
∴a+b+c+d的最大值是﹣5．
故选：C．
．【解答】解：m+a＝n+b两边都减去b得，m+a﹣b＝n，
∵等式可变形为m＝n，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b．
故选：C．
二．填空题
．【解答】解：∵x＝2是方程x+a＝2x﹣1的解
∴2+a＝2×2﹣1
∴a＝1
故答案为：1．
．【解答】解：∵5! 9!＝N！ 12，
∴5×4×3×2×1 9!＝N！ 12，
∴12×10 9!＝N！ 12，
∴10!＝N!，
∴N＝10，
故答案为：10．
．【解答】解：根据题意得：
方程+5＝2020x+m可整理得：﹣2020x＝m﹣5，
则该方程的解为x＝2021，
方程﹣5＝2020（10﹣y）﹣m可整理得：﹣2020（10﹣y）＝﹣m+5，
令n＝10﹣y，
则原方程可整理得：﹣2020n＝5﹣m，
则n＝﹣2021，
即10﹣y＝﹣2021，
解得：y＝2031．
故答案为：y＝2031．
．【解答】解：方程两边都乘6，去分母得2（kx﹣a）＝6﹣3（2x+bk），
2kx﹣2a＝6﹣6x﹣3bk，
整理得（2x+3b）k+6x＝2a+6，
∵无论k为何值，方程的解总是2，
∴2a+6＝6×2，2×2+3b＝0，
解得a＝3，b＝﹣，
ab＝3×（﹣）＝﹣4．
故答案为：﹣4．
．【解答】解：（1）根据前4个方程的规律得：
第5个：+＝1的解是x＝6，
故答案为：6．
（2）根据（1）中规律，x＝2022是第2021个方程的解，
∴第2021个：+＝1，
即+＝1．
故答案为：+＝1．
三．解答题
16．【解答】解：（1）∵方程（m+1）x|m|﹣8＝0是关于x的一元一次方程，
∴|m|＝1＝1且（m+1）≠0，
∴m＝1，
原一元一次方程化为：2x﹣8＝0，解得x＝4，
原式＝5x2﹣2（xm+2x2）﹣（xm+6）
＝5x2﹣2x﹣4x2﹣x﹣6
＝x2﹣3x﹣6，
当x＝4时，原式＝42﹣4×3﹣6＝﹣2；
（2）方程化为|y﹣2|＝4，
∴y﹣2＝4或y﹣2＝﹣4，
∴y＝6或y＝﹣2．
17．【解答】解：方程x2+3＝4，x2+2x+1＝0，x+y＝5不是一元一次方程；
x2+3＝4和x2+2x+1＝0是一元二次方程；
x+y＝5是二元一次方程．
18．【解答】（1）∵2x+1＝1，
解得x＝0；
把x＝0代入1﹣2（x﹣m）＝3，得：
1﹣2（0﹣m）＝3，
∴1+2m＝3，
解得：m＝1；
（2）解方程x2+3x﹣4＝0，
（x﹣1）（x+4）＝0，
解得：x1＝1或x2＝﹣4，
把x1＝1代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：
6×1+2×12﹣3﹣n＝0，
解得：n＝5；
把x2＝﹣4代入6x+2x2﹣3﹣n＝0得：
6×（﹣4）+2×（﹣4）2﹣3﹣n＝0，
解得：n＝5；
故满足条件的n的值为5．
（3）因a为正整数，则a≠0，
又∵ax＝2a3﹣3a2﹣5a+4，
∴，
∵两方程均为立信方程，
∴x的值为整数，
∴为整数，
∴此时a可取1，4，2，﹣1，﹣4，﹣2，
∴x＝﹣2，16，﹣1，﹣4，38，7，
同理9x﹣3＝kx+14，
∴（9﹣k）x＝17，
显然，此时k≠9，则x＝，
∴9﹣k可取8，﹣810，26，
∴此时x＝17，1，﹣17，﹣1，
∴两方程相同的解为x＝﹣1，此时对应的a＝2，k＝26，
故符合要求的正整数a的值为2，k的值为26．
19．【解答】解：（1）解方程3x+k＝0得：
x＝﹣，
∵3x+k＝0是“恰解方程”，
∴x＝3﹣k，
∴﹣＝3﹣k，
解得：k＝，
故答案为：；
（2）解方程﹣2x＝mn+n得：
x＝﹣（mn+n），
∵﹣2x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝﹣2+mn+n，
∴﹣（mn+n）＝﹣2+mn+n，
∴3mn+3n＝4，
∵x＝n，
∴﹣2+mn+n＝n，
∴mn＝2，
∴3×2+3n＝4，
解得：n＝﹣，
把n＝﹣代入mn＝2得：m×（﹣）＝2，
解得：m＝﹣3；
（3）解方程3x＝mn+n得：
x＝，
∵方程3x＝mn+n是“恰解方程”，
∴x＝3+mn+n，
∴＝3+mn+n，
∴mn+n＝，
∴3（mn+2m2﹣n）﹣（6m2+mn）+5n
＝3mn+6m2﹣3n﹣6m2﹣mn+5n
＝2mn+2n
＝2（mn+n）
＝2×（）
＝﹣9．
20．【解答】解：（1）2x＝5x﹣12的解为x＝4，
3（y﹣1）﹣y＝1的解为y＝2，
∵|x﹣y|＝|4﹣2|＝2，
∴关于x的方程2x＝5x﹣12与关于y的方程3（y﹣1）﹣y＝1是“2差解方程”；
（2）方程x﹣＝n﹣1的解为x＝，
方程2（y﹣2mn）﹣3（n﹣1）＝m的解为y＝，
∵两个方程是“m差解方程”，
∴|﹣|＝m，
∴|3+4n|＝2，
∴n＝﹣或n＝﹣；
（3）方程sx+t＝h的解为x＝，
方程s（y﹣k+1）＝h﹣t的解为y＝，
∵两个方程是“2m差解方程”，
∴|﹣|＝2m，
∴|1﹣k|＝2m，
∴k＝1﹣2m或k＝2m+1．