2022-2023学年人教版八年级数学上册13.3等腰三角形 同步训练题（含答案）

2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步提升训练题（附答案）
选择题
1．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线，若AB＝AC，∠CAD＝25°，则∠ACE的度数是（　　）
A．25° B．50° C．32.5° D．65°
2．已知等腰三角形的一个角是100°，则它的底角是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．40°或100°
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法不正确的是（　　）
A．△ABE的面积＝△BCE的面积 B．∠AFG＝∠AGF
C．BH＝CH D．∠FAG＝2∠ACF
4．已知：等边三角形的边长为6cm，则一边上的高为（　　）
A． B．2 C．3 D．
5．如图，将等边△ABC沿直线BC平移到△DEF，使点E与点C重合，连接BD，若AB＝2，则BD的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．2
6．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
7．下列条件不能得到等边三角形的是（　　）
A．有两个内角是60°的三角形
B．三个外角都相等的三角形
C．有两个角相等的等腰三角形
D．有一个角是60°的等腰三角形
8．如图，在△ABC中，已知∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（　　）
A．AB＝AC B．AD⊥BC
C．△ABC为等边三角形 D．∠BAD＝∠CAD
9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A、B都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，则满足条件的格点C有（　　）
A．0个 B．2个 C．4个 D．8个
10．如图，将边长为3cm的等边△ABC沿着边BC向右平移2cm，得到△DEF，则四边形ABFD的周长为（　　）
A．15cm B．14cm C．13cm D．12cm
11．下列说法正确的是（　　）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．有一个角是45°的等腰三角形是等腰直角三角形
C．等腰三角形的对称轴是顶角平分线
D．直角三角形一边上的中线等于这条边的一半
12．如图，O是直线AB上一点，∠AOC＝35°，CO⊥DO，OC＝OB，OD交CB于点E，则∠CED＝　 　．
13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∠ABC的平分线交AC于D，过C作BD垂线交BD的延长线于E，交BA的延长线于F，求证：BD＝2CE．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数；
（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？
（4）请你猜想：当∠A为多少度时，∠EDF+∠EFD＝120°，并请说明理由．
15．如图，“中国海监50”于上午11时30分在南海海域A处巡逻，观测到岛礁B在北偏东60°，该船以每小时10海里的速度向正东航行到C处，观测岛礁B在北偏东30°，继续向正东航行到D处时，再观测到岛礁B在北偏西30°，当海监船到达C处时恰与岛礁B相距20海里，请你分别确定“中国海监50”从A处到达C处和D处所用的时间．
16．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，
求证：△CMN是等边三角形．
17．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H．
（1）求证：△BCE≌△ACD；
（2）求证：FH∥BD．
18．如图△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，过D作DE⊥AB，垂足为E点．
（1）求证：AB＝AC+CD；
（2）已知AC＝4cm，求CD的长．
19．如图：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O为BC的中点．
（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C距离之间的关系；
（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论．
20．已知，如图，△ABC是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD＝BE＝CF．请你说明△DEF是正三角形．
21．如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE＝BD，求证：△ADE为等边三角形．
22．如图，△ABD和△BCD均是边长为2的等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2．
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由．
23．如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作∠ADE＝60°，DE与△ABC的外角平分线CE交于点E，连接AE．求证：△ADE是等边三角形．
参考答案
1．解：∵AD是△ABC的中线，AB＝AC，∠CAD＝25°，
∴∠CAB＝2∠CAD＝50°，∠B＝∠ACB＝（180°﹣∠CAB）＝65°．
∵CE是△ABC的角平分线，
∴∠ACE＝∠ACB＝32.5°．
故选：C．
2．解：∵等腰三角形的一个角为100°，
∴100°的角是顶角，底角为（180°﹣100°）＝40°；
故选：A．
3．解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故A正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故B正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故D正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故C错误；
故选：C．
4．解：根据等边三角形：三线合一，所以它的高为：＝3，
故选：C．
5．解：由平移得：△ABC≌△DEF，
∵△ABC是等边三角形，且AB＝2，
∴BC＝EF＝DF＝2，∠DEF＝60°，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，
∵∠CDF＝60°，
∴∠BDF＝90°，
Rt△BDF中，∠DBF＝30°，
∴BD＝2，
故选：A．
6．解：①有两个角等于60°的三角形是等边三角形；
②有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；
③三个角都相等的三角形是等边三角形；
④三边都相等的三角形是等边三角形；
故选：D．
7．解：A、两个内角为60°，因为三角形的内角和为180°，可知另一个内角也为60°，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；
B、三个外角相等说明该三角形中三个内角相等，故该三角形为等边三角形；故本选项不符合题意；
C、等腰三角形的两个底角是相等的，故不能确定该三角形是等边三角形．故本选项符合题意；
D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．解：∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD．
故A、B、D正确，C错误．
故选：C．
9．解：如图所示：因为△ABC为等腰三角形，且△ABC的面积为1，
所以满足条件的格点C有4个，
故选：C．
10．解：∵△ABC沿边BC向右平移2cm得到△DEF，
∴DF＝AC，AD＝CF＝2cm，
∴四边形ABFD的周长＝AB+BC+CF+DF+AD，
＝AB+BC+CF+AC+AD，
＝△ABC的周长+AD+CF，
＝9+2+2，
＝13cm．
故选：C．
11．解：A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，故本选项正确；
B、底角是45°的等腰三角形是等腰直角三角形，顶角为45°的等腰三角形不是等腰直角三角形，故本选项错误；
C、等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，故本选项错误；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故本选项错误．
故选：A．
二．填空题
12．解：∵OC＝OB，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠AOC＝∠C+∠OBC＝35°，
∴∠C＝×35°＝17.5°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠CED＝∠C+∠COD＝17.5°+90°＝107.5°，
故答案为107.5°．
三．解答题
13．证明：∵∠ABC的平分线交AC于D，
∴∠FBE＝∠CBE，
∵BE⊥CF，
∴∠BEF＝∠BEC，
在△BFE和△BCE中
，
∴△BFE≌△BCE（ASA），
∴CE＝EF，
∴CF＝2CE，
∵∠BAC＝90°，且AB＝AC，
∴∠FAC＝∠BAC＝90°，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠FBE＝∠CBE＝22.5°，
∴∠F＝∠ADB＝67.5°，
又AB＝AC，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（AAS），
∴BD＝CF，
∴BD＝2CE．
14．（1）证明：∵AB＝AC
∴∠B＝∠C．
在△DBE和△ECF中
∵，
∴△DBE≌△ECF（SAS）．
∴DE＝EF．
∴DEF是等腰三角形．
（2）解：∠A＝40°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝70°．
∴∠BDE+∠DEB＝110°．
△DBE≌△ECF．
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB＝110°，
∴∠DEF＝70°．
（3）解：假设△DEF是等腰直角三角形即∠DEF＝90°，
∴∠BDE+∠DEB＝90°．
∴∠B＝∠C＝90°．
∴这与三角形的内角和定理相矛盾，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．
（4）猜想∠A＝60°时，∠EDF+∠EFD＝120°．
∵∠A＝60°，∠B＝∠C，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴∠BDE+∠DEB＝120°．
∵△DBE≌△ECF．
∴∠FEC＝∠BDE，
∴∠FEC+∠DEB＝120°，
∴∠DEF＝60°．
∴∠EDF+∠EFD＝120°．
15．解：∵在A处观测海岛B在北偏东60°方向，
∴∠BAC＝30°，
∵C点观测海岛B在北偏东30°方向，
∴∠BCD＝60°，
∴∠BAC＝∠CBA＝30°，
∴AC＝BC
∵D点观测海岛B在北偏西30°方向，
∴∠BDC＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∴∠CBD＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴BC＝BD，
∵BC＝20海里，
∴BC＝AC＝CD＝20（海里），
∵船以每小时10海里的速度从A点航行到C处，又以同样的速度继续航行到D处，
∴船从A点到达C点所用的时间为：20÷10＝2（小时），
船从C点到达D点所用的时间为：20÷10＝2（小时），
船从A点到达D点所用的时间为：4（小时）．
16．证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，
∴∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE，AM＝BN；
∴AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，AM＝BN，
∴△AMC≌△BNC（SAS），
∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN；
又∵∠NCM＝∠BCN﹣∠BCM，
∠ACB＝∠ACM﹣∠BCM，
∴∠NCM＝∠ACB＝60°，
∴△CMN是等边三角形．
17．证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，CE＝CD，∠BCA＝∠ECD＝60°，
∴∠BCA+∠ACE＝∠ECD+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，
∴在△BCE和△ACD中，
∵，
∴△BCE≌△ACD （SAS）．
（2）由（1）知△BCE≌△ACD，
则∠CBF＝∠CAH，BC＝AC
又∵△ABC和△CDE都是等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，
∴∠ACH＝180°﹣∠ACB﹣∠HCD＝60°＝∠BCF，
在△BCF和△ACH中，
∵，
∴△BCF≌△ACH （ASA），
∴CF＝CH，
又∵∠FCH＝60°，
∴△CHF为等边三角形
∴∠FHC＝∠HCD＝60°，
∴FH∥BD．
18．（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD＝∠EAD．
又∠AED＝∠C＝90°，AD＝AD，
∴△ACD≌△AED．
∴AE＝AC，DE＝CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝45°．
∴∠BDE＝∠B＝45°．
∴DE＝BE，
∴AB＝AE+BE＝AC+CD．
（2）解：设CD＝xcm，根据等腰直角三角形的性质，得BD＝xcm．
又AC＝BC，
∴x+x＝4，
x＝4﹣4．
19．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，O为BC的中点，
∴OA＝BC＝OB＝OC，
即OA＝OB＝OC；
（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：
连接AO
∵AC＝AB，OC＝OB
∴OA＝OB，∠NAO＝∠B＝45°，
在△AON与△BOM中
∴△AON≌△BOM（SAS）
∴ON＝OM，∠NOA＝∠MOB
∴∠NOA+∠AOM＝∠MOB+∠AOM
∴∠NOM＝∠AOB＝90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
20．解：∵△ABC为等边三角形，且AD＝BE＝CF，
∴AE＝BF＝CD，
又∵∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∴△ADE≌△BEF≌△CFD（SAS），
∴DE＝EF＝FD，
∴△DEF是等边三角形．
21．证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
即∠ACD＝120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠1＝∠2＝60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，
又∠BAC＝60°，
∴∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形．
22．证明：（1）∵△ABD和△BCD都为正三角形，
∴AB＝AD＝BC＝CD＝BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴∠BDE＝∠BCF＝60°，BD＝BC，
∵AE+DE＝AD＝2，而AE+CF＝2，
∴DE＝CF，
∴△BDE≌△BCF（SAS）；
（2）∵△BDE≌△BCF，
∴∠DBE＝∠CBF，BE＝BF，
∵∠DBC＝∠DBF+∠CBF＝60°，
∴∠DBF+∠DBE＝60°即∠EBF＝60°，
∴△BEF为正三角形；
23．解：过D作DG∥AC交AB于G，
则∠1＝∠3，△GDB为等边三角形，
∠AGD＝∠DCE＝120°，AG＝DC．
又∵∠ADE＝∠ACE＝60°，∠ACE＝∠ECF，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠2．
在△AGD和△DCE中，
，
∴△AGD≌△DCE（AAS），
∴AD＝DE，
∵∠ADE＝60°，
∴△ADE是等边三角形．