2022-2023学年人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质 同步提升训练题（含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版八年级数学上册12.3角的平分线的性质 同步提升训练题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 917.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-22 17:21:43 | ||
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文档简介
2022-2023学年人教版八年级数学上册《12.3角的平分线的性质》同步提升训练题（附答案）
一．选择题
1．如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（ ）
A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1
2．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：
①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
4．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DEA＝∠AGH；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③∠AGH＝∠BAE+∠ACB；④S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（ ）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20 B．30 C．50 D．100
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
12．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤作图语句：连接AD，并且平分∠BAC．其中正确的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点D，过点C作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F．下列结论：
①∠B＝∠ACG；②CE＝DF；
③∠CED＝∠CDE；
④S△AEC：S△AEG＝AC：AG．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．如图，已知AB+AC＝18，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝3，则四边形ABOC的面积是（ ）
A．36 B．27 C．20 D．18
二．填空题
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，AB＝17cm，∠CAB与∠CBA的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，则线段OD的长为 cm．
16．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BOC：S△CAO＝ ．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝8，DE＝3，则BD的长为 ．
18．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ ．
19．如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且OD＝2，△ABC的面积是 ．
20．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有 处．
21．如图，OP平分∠AOB，∠BCP＝40°，CP∥OA，PD⊥OA于点D，则∠OPD＝ °．
22．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于 ．
23．△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，△ABC的面积18，AB＝6，AC＝8，OD＝2，则BC的长是 ．
24．如图，AD是△ABC是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则AD与EF的位置关系是 ．
25．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，S△ABC＝23，AB＝6，AC＝8，OD＝2，则BC的长是 ．
26．如图，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若△ABC的面积为20，则OD的长为 ．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 ．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为 ．
29．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，∠CBF＝∠BCE，连接BE，S△BCE＝4，则CE＝ ．
30．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC＝ °．
31．如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于 ．
32．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，若BC＝20cm，BE＝7.6cm，则△DBE的周长为 cm．
33．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）若BC＝10cm，BD＝6cm，则点D到AB的距离是 cm；
（2）若BD：DC＝3：2，点D到AB的距离是6cm，则BC的长是 cm．
34．在三角形内部到三边距离相等的点有 个，而在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点共有 个．
三．解答题
35．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN．
36．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，求△ABC的面积？
37．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
38．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．
39．如图，在Rt△ABC中，AC＝8，CB＝15，AB＝17，△ABC的两条角平分线交于点O．
（1）连接OC，求∠ACO的度数；
（2）求△OAB中AB边上的高的长度．
40．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
41．如图，P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB垂足分别为E，F．PE＝PF．Q是OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别为点M和N，QM与QN相等吗？请证明．
42．如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：
（1）线段BC的长；
（2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．
43．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
44．如图所示，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是多少？
45．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
46．把两个同样大小的含30度的三角尺像如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点．证明：
（1）MC的长度等于点M到AB的距离；
（2）求∠AMB的度数．
47．如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
48．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
49．在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D是线段BC上一点，以AD为腰在AD右边作等腰△ADE，AD＝AE．
（1）如图1，若AD平分∠BAC，且CD＝1，求AB的长度；
（2）如图2，当∠EDC＝∠BAD，连接BE交AC于点F，求证：BD＝2CF．
50．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．
51．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．
52．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
53．如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．
求证：点P在∠C的平分线上．
54．如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
55．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB＝AC．
求证：AD平分∠BAC．
56．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的数量关系，并说明理由．
57．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．
求证：AM、BN、CP交于一点．
证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（ ），
∴OE＝OF（ ）．
同理，OD＝OF．
∴OD＝OE（ ）．
∵CP是∠ACB的平分线（ ），
∴O在CP上（ ）．
因此，AM，BN，CP交于一点．
58．如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，BC＝4cm，AD是∠CAB的平分线，与BC交于D，DE⊥AB于E，则
（1）图中与线段AC相等的线段是 ；
（2）与线段CD相等的线段是 ；
（3）△DEB的周长为 cm．
59．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF），求BE的长．
60．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离．
参考答案
一．选择题
1．解：连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，
∵△ABC的两条内角平分线相交于点D，
∴AD也是△ABC的角平分线，
则D点为△ABC的内心，
∴DE＝DF＝DG，
设MN平分△ABC的面积，则S△BDM+S△BDN＝S△ADM+S△ADC+S△DCN，
∵S△BDM＝BM DE，S△ADM＝AM DE，S△ADC＝AC DF，S△DCN＝NC DG，S△BDN＝BN DG，
∴BM DE+BN DG＝AM DE+AC DF+NC DG，
∴BM+BN＝AM+AC+NC，
∵MN＝MN，
∴BM+BN+MN＝AM+AC+NC+MN，
∴，
即这条直线分成的两个图形的周长比是：1：1．
故选：B．
2．解：如图，AE交GF于M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∵∠AED＝∠MEF，
∴∠DAE＝∠F；故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC＝∠BAC，
∠DAE＝90°﹣∠AED
＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），
＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），
＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），
＝（∠ABD﹣∠ACE），
即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE，
故②正确；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，
④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；
故选：D．
3．解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝×92°＝46°，
故选：D．
4．解：如图，AE交GF于M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∴∠DEA+∠DAE＝∠AGH+∠GAM＝90°，
∴∠DEA＝∠AGH，故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED，
＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），
＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），
＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），
＝（∠ABD﹣∠ACE），
故②正确；
③∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故③正确；
④∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：AC，故④正确；
故选：D．
5．解：过P作PQ⊥AC于Q，
∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PQ，PQ＝PN，
∴PM＝PN，
∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，
∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，
在Rt△PMA和Rt△PQA中，
，
∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），
∴∠MPA＝∠QPA，
同理Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴∠QPC＝∠NPC，
∵∠PMA＝∠PNC＝90°，
∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确；
∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，
又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，
∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），
∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确；
∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
6．解：当DF⊥OB时，DF的值最小，
∵DE⊥OA，OD平分∠AOB，
∴DE＝DF，
∵DE＝4，
∴DF的最小值是4，
故选：C．
7．解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
8．解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
9．解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
∴×4×7+×4×AC＝24，
∴AC＝5，
故选：D．
10．解：∵BC＝7，BD＝4，
∴CD＝7﹣4＝3，
由角平分线的性质，得点D到AB的距离＝CD＝3，
故选：B．
11．解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确．
故选：A．
12．解：①相等的角不一定是对顶角，故说法错误；
②同位角不一定相等，故说法错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法正确；
⑤连接AD，并且平分∠BAC．这里两个条件，只能满足一个条件，说法错误；
故选：B．
13．解：∵CG⊥AB，
∴∠CGA＝90°，
∴∠CAB+∠ACG＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠ACG，故①正确；
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠C＝90°，∠CGA＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣∠CAD，∠AEG＝90°﹣∠BAD，
∴∠AEG＝∠CDE，
∴∠CED＝∠CDE，故③正确；
∴CE＝CD，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴CD＝DF，
∴CE＝DF，故②正确；
如图，过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝EG，
∴S△AEC＝＝，
∵S△AEG＝，
∴S△AEC：S△AEG＝AC：AG，故④正确；
∴正确的个数是4个，
故选：A．
14．解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于D，OD＝3，
∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，
∵AB+AC＝18，
∴四边形ABOC的面积S＝S△ABO+S△ACO＝
＝
＝×（AB+AC）
＝×18
＝27，
故选：B．
二．填空题
15．解：如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，
∵∠CAB与∠CBA的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，
∴OD＝OE＝OF．
∴S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB＝（AC+BC+AB） OD＝AC BC，
即×（8+15+17） OD＝×8×15．
则OD＝3cm．
故答案是：3．
16．解：过点O作OD⊥BC于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F．
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，OD⊥BC，OE⊥AC于，OF⊥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∵△ABC的三边AB、BC、AC长分别为100，110，120，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO
＝（×AB×OF）：（BC×OD）：（×AC×OE）
＝BA：CB：CA
＝100：110：120
＝10：11：12．
故答案为：10：11：12．
17．解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE＝3，
∴DC＝DE＝3，
∵BC＝8，
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
18．解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，
∵三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：CA＝3：4：5，
故答案为：3：4：5．
19．解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×2×（AB+AC+BC）
＝×2×16＝16，
故答案为：16．
20．解：如图所示，加油站站的地址有四处，
故答案为：4．
21．解：∵CP∥OA，
∴∠AOB＝∠BCP＝40°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠AOB＝20°，
∵PD⊥OA，
∴∠OPD＝90°﹣20°＝70°，
故答案为：70．
22．解：作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC＝∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA＝∠POD＝15°，
∴∠ACP＝∠OPC+∠POA＝30°，
∴PE＝PC＝2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD＝PE＝2，
故答案为：2．
23．解：过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，
∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BOC+S△AOC
＝
＝
∵△ABC的面积18，
∴＝18，
解得：BC＝4，
故答案为：4．
24．解：∵AD是△ABC是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F
∴DE＝DF
在Rt△AED和Rt△AFD中
∴△AED≌△AFD（HL）
∴AE＝AF
又AD是△ABC是角平分线
∴AD垂直平分EF（三线合一）
故答案为：AD垂直平分EF．
25．解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接AO，
∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BOC+S△AOC
＝AB OE+AC OF+BC OD
＝×6×2+×8×2+×BC×2．
∵S△ABC＝23，
∴×6×2+×8×2+×BC×2＝23，
解得BC＝9，
故答案为：9．
26．解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OF＝OD，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝×
＝
＝（AB+AC+BC）×OD，
∵△ABC的周长是10，△ABC的面积为20，
∴10×OD＝20，
解得：OD＝4，
故答案为：4．
27．解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ．
∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，
∵S△ABC＝ BC AC＝（AC+BC+AB） PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4．
28．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，
∵DA平分∠BAC，
∴DE＝DH，
同理可得DF＝DH，
∴DE＝DF，
∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴四边形BEDF为正方形，
∴BE＝BF＝DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADH中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴AE＝AH，
同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），
∴CF＝CH，
设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，
∵AH+CH＝AC，
∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，
即BE＝2，
在FC上截取FP＝EM，如图，
∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，
∴△DEM≌△DFP（SAS），
∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，
∴∠MDP＝∠EDF＝90°，
∵∠MDN＝45°，
∴∠PDN＝45°，
在△DMN和△DPN中，
，
∴△DMN≌△DPN（SAS），
∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，
∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．
故答案为4．
29．解：∵∠CBF＝∠BCE，
∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，
∵AD∥BF，
∴∠A+∠ABF＝180°，
∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，
∴2y+13x＝180°①，
∵∠DEC＝115°，
∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65° ②，
由①②解得，
∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，
∴∠CFB＝90°，
∴BF⊥EC，
∵CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，
∵S△BCE＝ EC BF＝4，
∴×2m×m＝4，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴CE＝2m＝4，
解法二：延长BA交CB的延长线于点M．
∵DE、CE平分∠ADC和∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝2（∠EDC+∠ECD）＝2（180﹣∠DEC）＝130°，
∴∠M＝50°，
∵BF∥AD，
∴∠M＝∠FBC＝50°，
∵∠CBF＝∠BCE，
∴∠BCE＝40°，
∴∠BFC＝90°，
∵CE＝2BF，三角形BCE的面积4，
∴CE＝4．
故答案为4．
30．解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF＝DM，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAM＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝60°，
∴∠DAM＝∠BAE，
∴DM＝DN，
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEF＝45°，
∵∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠DCF＝15°，
∴∠EDC＝30°，
故答案为：30．
31．解：延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD＝ED，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积＝20，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积＝△BCD的面积﹣△CDE的面积＝45﹣20＝25．
故答案为：25．
32．解：∵∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB
∴DC＝DE
∴△DBE的周长为DB+BE+DE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝27.6cm．
故填27.6．
33．解：（1）∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离等于CD＝BC﹣BD＝10﹣6＝4cm．
（2）根据角平分线的性质，点D到AB的距离等于CD＝6cm，
又有BD：DC＝3：2，
所以，BD＝9cm
则BC＝6+9＝15cm．
故填（1）4cm；（2）15cm．
34．解：在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；
在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．
故填1，3．
三．解答题
35．证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
36．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝1，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝1，
∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×1
＝×20×1＝10，
37．解：BM＝CN．
理由：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BMD与Rt△CND中
∵
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴BM＝CN．
38．证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°．
在△BDF与△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
∴DF＝DE，
∴AD是∠BAC的平分线．
39．解：（1）如图，过O点作OE⊥AB于E点，作OD⊥AC于点D，作OF⊥BC于点F，则∠CDO＝∠CFO＝90°，
∴OD＝OE＝OF，
∵在Rt△ABC中，AC＝8，CB＝15，AB＝17，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形CDOF是正方形，
∴∠ACO＝45°；
（2）∵AC＝8，CB＝15，AB＝17，
∴S△ABC＝BC AC＝60，
∵S△ABO＝AB OE，S△AOC＝AC OD，S△BOC＝BC OF，S△ABC＝S△ABO+S△AOC+S△BOC，
∴AB OE+AC OD+BC OF＝60，
即（AB+BC+AC） OE＝120，
∴40 OE＝120，
解得OE＝3．
即△OAB中AB边上的高的长度为3．
40．（1）证明：
过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，
∴AE平分∠HAD，
∴EH＝EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，
∴EH＝EF，
∴EF＝EG，
∴点E到DA、DC的距离相等；
（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠DEB+∠DBE，
∴＝∠DEB+∠ABC，
∴∠DEB＝（∠CDA﹣∠ABC）＝∠BAD＝30°．
41．解：QM＝QN，
理由如下：
∵PE⊥OA，PF⊥OB垂足分别为E，F，PE＝PF，
∴OP是∠AOB的角平分线，
∵QM⊥OA，QN⊥OB，
∴QM＝QN．
42．解：（1）∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中
∵，
∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴DE＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DE＝2+3＝5（cm）；
（2）如图，∵∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，
∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝×6a+×9a+×5a＝3a+a+a＝10a（cm）2．
43．解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝28，AB＝BC＝8，
∴×8×DE+×8×DF＝28，
∴8DE＝28．
∴DE＝3.5．
44．解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE＝OF＝OD＝3，
∴△ABC的面积＝×AB×OE+AC×OF+×BC×OD＝×（AB+AC+BC）×3＝．
45．证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
46．（1）证明：过点M做MN⊥AB，
由题意可得：∠CAD＝∠DAB＝30°，
∵∠C＝90°，MN⊥AB，
∴MC＝MN（角平分线上的点到角的两边距离相等），
则MC的长度就等于点M到AB的距离．
（2）解：由题意知：∠MAB＝∠MBA＝30°，
∴∠AMB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
47．证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．
48．解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPC+∠CPF＝90°，
又∵∠CPD＝90°，
∴∠CPF+∠FPD＝90°，
∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∵，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC＝PD．
49．（1）解：如图1中，过点D作DH⊥AB于H．
∴CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝1，
∴BD＝DH＝，
∴AC＝BC＝+1，
∴AB＝AC＝2+．
（2）证明：如图2中，延长BC到T，使得CT＝CB，连接AT，ET．
∵CB＝CT，AC⊥BT，
∴AB＝AT，
∴∠ABT＝∠ATB＝45°，
∵∠BAD＝∠EDC，∠ADT＝∠ABD+∠BAD，
∴∠ADE＝∠ABD＝45°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAT＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠TAE，
∵AB＝AT，AD＝AE，
∴△BAD≌△TAE（ASA），
∴∠ABD＝∠ATE＝45°，BD＝ET，
∴∠BTE＝∠ATB+∠ATE＝90°，
∴∠BCF＝∠BTE＝90°，
∴CF∥ET，
∵BC＝CT，
∴BF＝FE，
∴ET＝2CF，
∴BD＝2CF．
50．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB×DE+AC×DF
∴S△ABC＝（AB+AC）×DE，
即×（16+12）×DE＝28，
∴DE＝2（cm）．
51．证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠2，DE⊥AC，∠ABC＝90°
∴DE＝BD，
∵∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∵BF∥DE，
∴∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
∴BD＝BF，
∴DE＝BF．
52．解：（1）
过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；
（3）∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
53．证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，
∵P在∠BAC的平分线AD上，
∴PM＝PQ，P在∠ABC的平分线BE上，
∴PM＝PN，
∴PQ＝PN，
∴点P在∠C的平分线．
54．证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵PD＝PE，PD⊥AD，PE⊥AC，
∴BP为∠MBN的平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
55．解：方法一：连接BC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠CFB＝∠BEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BCF和△CBE中
∵
∴△BCF≌△CBE（AAS），
∴BF＝CE，
在△BFD和△CED中
∵，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DF＝DE，
∴AD平分∠BAC．
方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE＝AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD＝∠EAD，所以AD平分∠BAC．
56．解：AE与FG之间的数量关系是相等．
理由：∵CF平分∠ACB，FA⊥AC，FG⊥BC
∴FG＝FA
∵∠AFC+∠ACF＝90°，∠DEC+∠ECD＝90°，且∠ACF＝∠ECD
∴∠AFC＝∠DEC
∵∠AEF＝∠DEC
∴∠AFC＝∠AEF
∴AE＝FA
∴AE＝FG．
57．证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），
∴OE＝OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．
同理，OD＝OF．
∴OD＝OE（等量代换）．
∵CP是∠ACB的平分线（已知），
∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
因此，AM，BN，CP交于一点；
故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
58．解：（1）在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED，
∴AE＝AC，
故答案为：AE；
（2）∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
故答案为：DE；
（3）∵AB＝5cm，AC＝3cm，AE＝AC，
∴BE＝AB﹣AE＝2cm，
∴△DEB的周长＝DE+DB+BE＝CD+DB+BE＝CB+BE＝6cm，
故答案为：6．
59．解：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，
∴CE＝EF，
在Rt△ACE与Rt△AFE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），
∴AC＝AF，
∵点F是AB的一个三等分点，
设BF＝m，则AC＝2m，AF＝2m，AB＝3m，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴（3m）2＝52+（2m）2，
∴m＝，
∴BF＝，AB＝3，
∵∠BFE＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得，BE＝3．
60．解：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
PF⊥AC于F，
∵点P是△ABC三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF
∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝PD AB+PE BC+PF AC
＝PD （AB+BC+AC）＝PD （7+25+24）
＝28PD
又∵∠ABC＝90°，
∴S△ABC＝AB BC＝×7×24＝7×12
∴7×12＝28PD，
∴PD＝3
答：点P到AB的距离为3．
一．选择题
1．如图，△ABC的两条内角平分线相交于点D，过点D作一条平分△ABC面积的直线，那么这条直线分成的两个图形的周长比是（ ）
A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1
2．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：
①∠DAE＝∠F； ②2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE； ③S△AEB：S△AEC＝AB：AC； ④∠AGH＝∠BAE+∠ACB．其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC，∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，则∠ADB的度数为（ ）
A．54° B．50° C．48° D．46°
4．如图，△ABC中，AD⊥BC交BC于D，AE平分∠BAC交BC于E，F为BC的延长线上一点，FG⊥AE交AD的延长线于G，AC的延长线交FG于H，连接BG，下列结论：①∠DEA＝∠AGH；②∠DAE＝（∠ABD﹣∠ACE）；③∠AGH＝∠BAE+∠ACB；④S△AEB：S△AEC＝AB：AC，其中正确的结论有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，△ABC中，∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF．则下列结论中正确的个数（ ）
①BP平分∠ABC；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠CAB＝2∠CPB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，OD平分∠AOB，DE⊥AO于点E，DE＝4，点F是射线OB上的任意一点，则DF的最小值是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（ ）
A．20 B．30 C．50 D．100
8．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠FAG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，BC＝7，BD＝4，则点D到AB的距离是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°；②∠ADE＝∠CDE；③DE＝BE；④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
12．下列说法：①相等的角是对顶角；②同位角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤作图语句：连接AD，并且平分∠BAC．其中正确的有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．3
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的平分线交BC于点D，过点C作CG⊥AB于点G，交AD于点E，过点D作DF⊥AB于点F．下列结论：
①∠B＝∠ACG；②CE＝DF；
③∠CED＝∠CDE；
④S△AEC：S△AEG＝AC：AG．
上述结论中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
14．如图，已知AB+AC＝18，点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，且OD⊥BC于D．若OD＝3，则四边形ABOC的面积是（ ）
A．36 B．27 C．20 D．18
二．填空题
15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝15cm，AB＝17cm，∠CAB与∠CBA的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，则线段OD的长为 cm．
16．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别是100，110，120，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BOC：S△CAO＝ ．
17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝8，DE＝3，则BD的长为 ．
18．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为30，40，50．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO＝ ．
19．如图，已知△ABC的周长是16，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D且OD＝2，△ABC的面积是 ．
20．随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有 处．
21．如图，OP平分∠AOB，∠BCP＝40°，CP∥OA，PD⊥OA于点D，则∠OPD＝ °．
22．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝4，则PD等于 ．
23．△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，△ABC的面积18，AB＝6，AC＝8，OD＝2，则BC的长是 ．
24．如图，AD是△ABC是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G，则AD与EF的位置关系是 ．
25．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，S△ABC＝23，AB＝6，AC＝8，OD＝2，则BC的长是 ．
26．如图，已知△ABC的周长是10，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若△ABC的面积为20，则OD的长为 ．
27．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的角平分线交于点P，点E、F分别在边BC、AC上，且都不与点C重合，若∠EPF＝45°，连接EF，当AC＝6，BC＝8，AB＝10时，则△CEF的周长为 ．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°．AB＝5，AC＝13，BC＝12，∠BAC与∠ACB的角平分线相交于点D，点M、N分别在边AB、BC上，且∠MDN＝45°，连接MN，则△BMN的周长为 ．
29．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，∠CBF＝∠BCE，连接BE，S△BCE＝4，则CE＝ ．
30．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于D，AE平分∠BAC交BC于E，连接DE，DF⊥BC于F，则∠EDC＝ °．
31．如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于 ．
32．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，若BC＝20cm，BE＝7.6cm，则△DBE的周长为 cm．
33．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）若BC＝10cm，BD＝6cm，则点D到AB的距离是 cm；
（2）若BD：DC＝3：2，点D到AB的距离是6cm，则BC的长是 cm．
34．在三角形内部到三边距离相等的点有 个，而在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点共有 个．
三．解答题
35．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN．
36．如图所示，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝1，求△ABC的面积？
37．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D，DM⊥AB与M，DN⊥AC交AC的延长线于N，你认为BM与CN之间有什么关系？试证明你的发现．
38．如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．
39．如图，在Rt△ABC中，AC＝8，CB＝15，AB＝17，△ABC的两条角平分线交于点O．
（1）连接OC，求∠ACO的度数；
（2）求△OAB中AB边上的高的长度．
40．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连接DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）求∠DEB的度数．
41．如图，P是∠AOB内部的一点，PE⊥OA，PF⊥OB垂足分别为E，F．PE＝PF．Q是OP上的任意一点，QM⊥OA，QN⊥OB，垂足分别为点M和N，QM与QN相等吗？请证明．
42．如图，在△ABC中，AC＝6cm，AB＝9cm，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE＝AC，连接DE，已知DE＝2cm，BD＝3cm．求：
（1）线段BC的长；
（2）若∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，请用含a的代数式表示△ABC的面积．
43．如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
44．如图所示，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝3，则△ABC的面积是多少？
45．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：CF＝EB；
（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．
46．把两个同样大小的含30度的三角尺像如图所示那样放置，其中M是AD与BC的交点．证明：
（1）MC的长度等于点M到AB的距离；
（2）求∠AMB的度数．
47．如图：已知BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB，求证：点D在∠BAC的平分线上．
48．如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
49．在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D是线段BC上一点，以AD为腰在AD右边作等腰△ADE，AD＝AE．
（1）如图1，若AD平分∠BAC，且CD＝1，求AB的长度；
（2）如图2，当∠EDC＝∠BAD，连接BE交AC于点F，求证：BD＝2CF．
50．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，求DE的长．
51．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE＝BF．
52．在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B、C重合），连接AD．
（1）如图1，当点D是BC边上的中点时，S△ABD：S△ACD＝ ；
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代数式表示）；
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD＝DE，连接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝ ．
53．如图，△ABC中，P是角平分线AD，BE的交点．
求证：点P在∠C的平分线上．
54．如图，AP，CP分别是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为∠MBN的平分线．
55．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB＝AC．
求证：AD平分∠BAC．
56．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ACB的平分线交AD于E，交AB于F，FG⊥BC于G，请猜测AE与FG之间有怎样的数量关系，并说明理由．
57．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据．
已知：如图，AM，BN，CP是△ABC的三条角平分线．
求证：AM、BN、CP交于一点．
证明：如图，设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（ ），
∴OE＝OF（ ）．
同理，OD＝OF．
∴OD＝OE（ ）．
∵CP是∠ACB的平分线（ ），
∴O在CP上（ ）．
因此，AM，BN，CP交于一点．
58．如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，BC＝4cm，AD是∠CAB的平分线，与BC交于D，DE⊥AB于E，则
（1）图中与线段AC相等的线段是 ；
（2）与线段CD相等的线段是 ；
（3）△DEB的周长为 cm．
59．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，∠A的平分线交BC于点E，EF⊥AB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AF＞BF），求BE的长．
60．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝7，AC＝25，BC＝24，三条角平分线相交于点P，求点P到AB的距离．
参考答案
一．选择题
1．解：连接AD，过D点作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于点F，作DG⊥BC于点G，
∵△ABC的两条内角平分线相交于点D，
∴AD也是△ABC的角平分线，
则D点为△ABC的内心，
∴DE＝DF＝DG，
设MN平分△ABC的面积，则S△BDM+S△BDN＝S△ADM+S△ADC+S△DCN，
∵S△BDM＝BM DE，S△ADM＝AM DE，S△ADC＝AC DF，S△DCN＝NC DG，S△BDN＝BN DG，
∴BM DE+BN DG＝AM DE+AC DF+NC DG，
∴BM+BN＝AM+AC+NC，
∵MN＝MN，
∴BM+BN+MN＝AM+AC+NC+MN，
∴，
即这条直线分成的两个图形的周长比是：1：1．
故选：B．
2．解：如图，AE交GF于M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∵∠AED＝∠MEF，
∴∠DAE＝∠F；故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC＝∠BAC，
∠DAE＝90°﹣∠AED
＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），
＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），
＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），
＝（∠ABD﹣∠ACE），
即2∠DAE＝∠ABD﹣∠ACE，
故②正确；
③∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：CA；故③正确，
④∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB；故④正确；
故选：D．
3．解：如图所示，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF＝DE，
又∵∠ACD＝136°，∠BCD＝44°，
∴∠ACB＝92°，∠DCF＝44°，
∴CD平分∠BCF，
又∵DF⊥AC于F，DG⊥BC于G，
∴DF＝DG，
∴DE＝DG，
∴BD平分∠CBE，
∴∠DBE＝∠CBE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC，
∴∠ADB＝∠DBE﹣∠BAD＝（∠CBE﹣∠BAC）＝∠ACB＝×92°＝46°，
故选：D．
4．解：如图，AE交GF于M，
①∵AD⊥BC，FG⊥AE，
∴∠ADE＝∠AMF＝90°，
∴∠DEA+∠DAE＝∠AGH+∠GAM＝90°，
∴∠DEA＝∠AGH，故①正确；
②∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴∠EAC＝∠BAC，
∴∠DAE＝90°﹣∠AED，
＝90°﹣（∠ACE+∠EAC），
＝90°﹣（∠ACE+∠BAC），
＝（180°﹣2∠ACE﹣∠BAC），
＝（∠ABD﹣∠ACE），
故②正确；
③∵∠DAE＝∠F，∠FDG＝∠FME＝90°，
∴∠AGH＝∠MEF，
∵∠MEF＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠CAE+∠ACB，
∴∠AGH＝∠BAE+∠ACB，故③正确；
④∵AE平分∠BAC交BC于E，
∴点E到AB和AC的距离相等，
∴S△AEB：S△AEC＝AB：AC，故④正确；
故选：D．
5．解：过P作PQ⊥AC于Q，
∵∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，PM⊥BE，PN⊥BF，
∴PM＝PQ，PQ＝PN，
∴PM＝PN，
∴P在∠ABC的角平分线上，即BP平分∠ABC，故①正确；
∵PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，
∴∠PMA＝∠PQA＝90°，∠PQC＝∠PNC＝90°，
在Rt△PMA和Rt△PQA中，
，
∴Rt△PMA≌Rt△PQA（HL），
∴∠MPA＝∠QPA，
同理Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴∠QPC＝∠NPC，
∵∠PMA＝∠PNC＝90°，
∴∠ABC+∠MPN＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠ABC+2∠APC＝180°，故②正确；
∵PC平分∠FCA，BP平分∠ABC，
∴∠FCA＝∠ABC+∠CAB＝2∠PCN，
又∵∠PCN＝∠ABC+∠CPB，
∴∠ABC+∠CAB＝2（∠ABC+∠CPB），
∴∠CAB＝2∠CPB，故③正确；
∵Rt△PMA≌Rt△PQA，Rt△PQC≌Rt△PNC，
∴S△PAC＝S△MAP+S△NCP，故④正确；
即正确的个数是4，
故选：D．
6．解：当DF⊥OB时，DF的值最小，
∵DE⊥OA，OD平分∠AOB，
∴DE＝DF，
∵DE＝4，
∴DF的最小值是4，
故选：C．
7．解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积＝，
故选：C．
8．解：∵BE是AC边的中线，
∴AE＝CE，
∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；
∵AD是BC边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠FAG+∠DAC＝90°，
∴∠FAG＝∠ACB，
∵CF是∠ACB的角平分线，
∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，
∴∠FAG＝2∠FCB，故②错误；
∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，
∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，
∴∠AFG＝∠AGF，
∴AF＝AG，故③正确；
根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；
即正确的为①③，
故选：D．
9．解：作DF⊥AC于F，如图，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝4，
∵S△ADB+S△ADC＝S△ABC，
∴×4×7+×4×AC＝24，
∴AC＝5，
故选：D．
10．解：∵BC＝7，BD＝4，
∴CD＝7﹣4＝3，
由角平分线的性质，得点D到AB的距离＝CD＝3，
故选：B．
11．解：过E作EF⊥AD于F，如图，
∵AB⊥BC，AE平分∠BAD，
∴Rt△AEF≌Rt△AEB
∴BE＝EF，AB＝AF，∠AEF＝∠AEB；
而点E是BC的中点，
∴EC＝EF＝BE，所以③错误；
∴Rt△EFD≌Rt△ECD，
∴DC＝DF，∠FDE＝∠CDE，所以②正确；
∴AD＝AF+FD＝AB+DC，所以④正确；
∴∠AED＝∠AEF+∠FED＝∠BEC＝90°，所以①正确．
故选：A．
12．解：①相等的角不一定是对顶角，故说法错误；
②同位角不一定相等，故说法错误；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误；
④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故说法正确；
⑤连接AD，并且平分∠BAC．这里两个条件，只能满足一个条件，说法错误；
故选：B．
13．解：∵CG⊥AB，
∴∠CGA＝90°，
∴∠CAB+∠ACG＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝∠ACG，故①正确；
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵∠C＝90°，∠CGA＝90°，
∴∠CDE＝90°﹣∠CAD，∠AEG＝90°﹣∠BAD，
∴∠AEG＝∠CDE，
∴∠CED＝∠CDE，故③正确；
∴CE＝CD，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DF⊥AB，
∴CD＝DF，
∴CE＝DF，故②正确；
如图，过点E作EH⊥AC于点H，则EH＝EG，
∴S△AEC＝＝，
∵S△AEG＝，
∴S△AEC：S△AEG＝AC：AG，故④正确；
∴正确的个数是4个，
故选：A．
14．解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵点O为∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC于D，OD＝3，
∴OE＝OD＝3，OF＝OD＝3，
∵AB+AC＝18，
∴四边形ABOC的面积S＝S△ABO+S△ACO＝
＝
＝×（AB+AC）
＝×18
＝27，
故选：B．
二．填空题
15．解：如图，过点O作OE⊥AC于E，OF⊥BC于F，连接OC，
∵∠CAB与∠CBA的角平分线相交于点O，过点O作OD⊥AB，
∴OD＝OE＝OF．
∴S△ABC＝S△AOC+S△BOC+S△AOB＝（AC+BC+AB） OD＝AC BC，
即×（8+15+17） OD＝×8×15．
则OD＝3cm．
故答案是：3．
16．解：过点O作OD⊥BC于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥AB于点F．
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，OD⊥BC，OE⊥AC于，OF⊥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∵△ABC的三边AB、BC、AC长分别为100，110，120，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO
＝（×AB×OF）：（BC×OD）：（×AC×OE）
＝BA：CB：CA
＝100：110：120
＝10：11：12．
故答案为：10：11：12．
17．解：∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DE＝3，
∴DC＝DE＝3，
∵BC＝8，
∴BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
18．解：作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，
∵三条角平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，
∴OD＝OE＝OF，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO＝AB：BC：CA＝3：4：5，
故答案为：3：4：5．
19．解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝2，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×2×（AB+AC+BC）
＝×2×16＝16，
故答案为：16．
20．解：如图所示，加油站站的地址有四处，
故答案为：4．
21．解：∵CP∥OA，
∴∠AOB＝∠BCP＝40°，
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝∠AOB＝20°，
∵PD⊥OA，
∴∠OPD＝90°﹣20°＝70°，
故答案为：70．
22．解：作PE⊥OA于E，
∵CP∥OB，
∴∠OPC＝∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA＝∠POD＝15°，
∴∠ACP＝∠OPC+∠POA＝30°，
∴PE＝PC＝2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD＝PE＝2，
故答案为：2．
23．解：过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，
∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BOC+S△AOC
＝
＝
∵△ABC的面积18，
∴＝18，
解得：BC＝4，
故答案为：4．
24．解：∵AD是△ABC是角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F
∴DE＝DF
在Rt△AED和Rt△AFD中
∴△AED≌△AFD（HL）
∴AE＝AF
又AD是△ABC是角平分线
∴AD垂直平分EF（三线合一）
故答案为：AD垂直平分EF．
25．解：过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接AO，
∵OB，OD为∠ABC和∠ACB的平分线，OD⊥BC，
∴OE＝OF＝OD＝2，
∵S△ABC＝S△ABO+S△BOC+S△AOC
＝AB OE+AC OF+BC OD
＝×6×2+×8×2+×BC×2．
∵S△ABC＝23，
∴×6×2+×8×2+×BC×2＝23，
解得BC＝9，
故答案为：9．
26．解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接AO，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OF＝OD，
∴OE＝OF＝OD，
∴S△ABC＝S△AOB+S△AOC+S△BOC
＝×
＝
＝（AB+AC+BC）×OD，
∵△ABC的周长是10，△ABC的面积为20，
∴10×OD＝20，
解得：OD＝4，
故答案为：4．
27．解：如图，过点P作PM⊥BC于M，PN⊥AC于N，PK⊥AB于K，在EB上取一点J，使得MJ＝FN，连接PJ．
∵BP平分∠BC，PA平分∠CAB，PM⊥BC，PN⊥AC，PK⊥AB，
∴PM＝PK，PK＝PN，
∴PM＝PN，
∵∠C＝∠PMC＝∠PNC＝90°，
∴四边形PMCN是矩形，
∴四边形PMCN是正方形，
∴CM＝PM，
∴∠MPN＝90°，
在△PMJ和△PNF中，
，
∴△PMJ≌△PNF（SAS），
∴∠MPJ＝∠FPN，PJ＝PF，
∴∠JPF＝∠MPN＝90°，
∵∠EPF＝45°，
∴∠EPF＝∠EPJ＝45°，
在△PEF和△PEJ中，
，
∴△PEF≌△PEJ（SAS），
∴EF＝EJ，
∴EF＝EM+FN，
∴△CEF的周长＝CE+EF+CF＝CE+EM+CF+FN＝2CM＝2PM，
∵S△ABC＝ BC AC＝（AC+BC+AB） PM，
∴PM＝2，
∴△ECF的周长为4，
故答案为：4．
28．解：过D点作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，DH⊥AC于H，如图，
∵DA平分∠BAC，
∴DE＝DH，
同理可得DF＝DH，
∴DE＝DF，
∵∠DEB＝∠B＝∠DFB＝90°，
∴四边形BEDF为正方形，
∴BE＝BF＝DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADH中
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADH（HL），
∴AE＝AH，
同理可得Rt△CDF≌Rt△CDH（HL），
∴CF＝CH，
设正方形BEDF的边长为x，则AE＝AH＝5﹣x，CF＝CH＝12﹣x，
∵AH+CH＝AC，
∴5﹣x+12﹣x＝13，解得x＝2，
即BE＝2，
在FC上截取FP＝EM，如图，
∵DE＝DF，∠DEM＝∠DFP，EM＝FP，
∴△DEM≌△DFP（SAS），
∴DM＝DP，∠EDM＝∠FDP，
∴∠MDP＝∠EDF＝90°，
∵∠MDN＝45°，
∴∠PDN＝45°，
在△DMN和△DPN中，
，
∴△DMN≌△DPN（SAS），
∴MN＝NP＝NF+FP＝NF+EM，
∴△BMN的周长＝MN+BM+BN＝EM+BM+BN+NF＝BE+BF＝2+2＝4．
故答案为4．
29．解：∵∠CBF＝∠BCE，
∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，
∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，
∵AD∥BF，
∴∠A+∠ABF＝180°，
∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，
∴2y+13x＝180°①，
∵∠DEC＝115°，
∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65° ②，
由①②解得，
∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，
∴∠CFB＝90°，
∴BF⊥EC，
∵CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，
∵S△BCE＝ EC BF＝4，
∴×2m×m＝4，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴CE＝2m＝4，
解法二：延长BA交CB的延长线于点M．
∵DE、CE平分∠ADC和∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝2（∠EDC+∠ECD）＝2（180﹣∠DEC）＝130°，
∴∠M＝50°，
∵BF∥AD，
∴∠M＝∠FBC＝50°，
∵∠CBF＝∠BCE，
∴∠BCE＝40°，
∴∠BFC＝90°，
∵CE＝2BF，三角形BCE的面积4，
∴CE＝4．
故答案为4．
30．解：过D作DM⊥AC交CA的延长线于M，DN⊥AE，
∵CD平分∠ACB，
∴DF＝DM，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAM＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝60°，
∴∠DAM＝∠BAE，
∴DM＝DN，
∵DF⊥BC，
∴DE平分∠AEB，
∵AB＝AC，AE平分∠BAC交BC于E，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠DEF＝45°，
∵∠B＝∠ACB＝30°，
∴∠DCF＝15°，
∴∠EDC＝30°，
故答案为：30．
31．解：延长AD交BC于E，如图所示：
∵BD平分∠ABC，AD垂直于BD，
∴∠ABD＝∠EBD，∠ADB＝∠EDB＝90°，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（ASA），
∴AD＝ED，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积，△CDE的面积＝△ACD的面积＝20，
∴△ABD的面积＝△EBD的面积＝△BCD的面积﹣△CDE的面积＝45﹣20＝25．
故答案为：25．
32．解：∵∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB
∴DC＝DE
∴△DBE的周长为DB+BE+DE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝27.6cm．
故填27.6．
33．解：（1）∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离等于CD＝BC﹣BD＝10﹣6＝4cm．
（2）根据角平分线的性质，点D到AB的距离等于CD＝6cm，
又有BD：DC＝3：2，
所以，BD＝9cm
则BC＝6+9＝15cm．
故填（1）4cm；（2）15cm．
34．解：在三角形内部到三边距离相等的点是三条内角平分线的交点，交点重合，只有一点；
在三角形的外部到三条边所在直线距离相等的点是外角平分线的交点，交点不重合，有三个．
故填1，3．
三．解答题
35．证明：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
在△ABD和△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB＝∠CDB，
∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN．
36．解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴OE＝OF＝OD＝1，
∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，且OD＝1，
∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×1
＝×20×1＝10，
37．解：BM＝CN．
理由：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM＝DN，
∵DE垂直平分BC，
∴BD＝CD，
在Rt△BMD与Rt△CND中
∵
∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），
∴BM＝CN．
38．证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠BFD＝∠CED＝90°．
在△BDF与△CDE中，
，
∴△BDF≌△CDE（AAS）．
∴DF＝DE，
∴AD是∠BAC的平分线．
39．解：（1）如图，过O点作OE⊥AB于E点，作OD⊥AC于点D，作OF⊥BC于点F，则∠CDO＝∠CFO＝90°，
∴OD＝OE＝OF，
∵在Rt△ABC中，AC＝8，CB＝15，AB＝17，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形CDOF是正方形，
∴∠ACO＝45°；
（2）∵AC＝8，CB＝15，AB＝17，
∴S△ABC＝BC AC＝60，
∵S△ABO＝AB OE，S△AOC＝AC OD，S△BOC＝BC OF，S△ABC＝S△ABO+S△AOC+S△BOC，
∴AB OE+AC OD+BC OF＝60，
即（AB+BC+AC） OE＝120，
∴40 OE＝120，
解得OE＝3．
即△OAB中AB边上的高的长度为3．
40．（1）证明：
过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，
∴AE平分∠HAD，
∴EH＝EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，
∴EH＝EF，
∴EF＝EG，
∴点E到DA、DC的距离相等；
（2）解：∵由（1）知：DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠DEB+∠DBE，
∴＝∠DEB+∠ABC，
∴∠DEB＝（∠CDA﹣∠ABC）＝∠BAD＝30°．
41．解：QM＝QN，
理由如下：
∵PE⊥OA，PF⊥OB垂足分别为E，F，PE＝PF，
∴OP是∠AOB的角平分线，
∵QM⊥OA，QN⊥OB，
∴QM＝QN．
42．解：（1）∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中
∵，
∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴DE＝DC，
∴BC＝BD+DC＝BD+DE＝2+3＝5（cm）；
（2）如图，∵∠ACB的平分线CF交AD于点O，且O到AC的距离是acm，
∴S△ABC＝S△AOC+S△AOB+S△BOC＝×6a+×9a+×5a＝3a+a+a＝10a（cm）2．
43．解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵S△ABC＝28，AB＝BC＝8，
∴×8×DE+×8×DF＝28，
∴8DE＝28．
∴DE＝3.5．
44．解：作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE＝OF＝OD＝3，
∴△ABC的面积＝×AB×OE+AC×OF+×BC×OD＝×（AB+AC+BC）×3＝．
45．证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DC＝DE，
在Rt△DCF和Rt△DEB中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝EB；
（2）AF+BE＝AE．
∵Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴DC＝DE，
∴Rt△DCA≌Rt△DEA（HL），
∴AC＝AE，
∴AF+FC＝AE，
即AF+BE＝AE．
46．（1）证明：过点M做MN⊥AB，
由题意可得：∠CAD＝∠DAB＝30°，
∵∠C＝90°，MN⊥AB，
∴MC＝MN（角平分线上的点到角的两边距离相等），
则MC的长度就等于点M到AB的距离．
（2）解：由题意知：∠MAB＝∠MBA＝30°，
∴∠AMB＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
47．证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴DE＝DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴点D在∠BAC的平分线上．
48．解：PC与PD相等．理由如下：
过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F．
∵OM平分∠AOB，点P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，
∴四边形OEPF为矩形，
∴∠EPF＝90°，
∴∠EPC+∠CPF＝90°，
又∵∠CPD＝90°，
∴∠CPF+∠FPD＝90°，
∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．
在△PCE与△PDF中，
∵，
∴△PCE≌△PDF（ASA），
∴PC＝PD．
49．（1）解：如图1中，过点D作DH⊥AB于H．
∴CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠B＝45°，
∴AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝1，
∴BD＝DH＝，
∴AC＝BC＝+1，
∴AB＝AC＝2+．
（2）证明：如图2中，延长BC到T，使得CT＝CB，连接AT，ET．
∵CB＝CT，AC⊥BT，
∴AB＝AT，
∴∠ABT＝∠ATB＝45°，
∵∠BAD＝∠EDC，∠ADT＝∠ABD+∠BAD，
∴∠ADE＝∠ABD＝45°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAT＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠TAE，
∵AB＝AT，AD＝AE，
∴△BAD≌△TAE（ASA），
∴∠ABD＝∠ATE＝45°，BD＝ET，
∴∠BTE＝∠ATB+∠ATE＝90°，
∴∠BCF＝∠BTE＝90°，
∴CF∥ET，
∵BC＝CT，
∴BF＝FE，
∴ET＝2CF，
∴BD＝2CF．
50．解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF
∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AB×DE+AC×DF
∴S△ABC＝（AB+AC）×DE，
即×（16+12）×DE＝28，
∴DE＝2（cm）．
51．证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝∠2，DE⊥AC，∠ABC＝90°
∴DE＝BD，
∵∠3＝90°﹣∠1，∠4＝90°﹣∠2，
∴∠3＝∠4，
∵BF∥DE，
∴∠4＝∠5，
∴∠3＝∠5，
∴BD＝BF，
∴DE＝BF．
52．解：（1）
过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD＝DC，
∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，
故答案为：1：1；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝m，AC＝n，
∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；
（3）∵AD＝DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，
∵S△BDE＝6，
∴S△ABD＝6，
∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，
∴S△ACD＝3，
∴S△ABC＝3+6＝9，
故答案为：9．
53．证明：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PQ⊥AC，垂足分别为M、N、Q，
∵P在∠BAC的平分线AD上，
∴PM＝PQ，P在∠ABC的平分线BE上，
∴PM＝PN，
∴PQ＝PN，
∴点P在∠C的平分线．
54．证明：过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，
∵AP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥AC，
∴PD＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
∵CP是△ABC的外角平分线，PE⊥AC，PF⊥BC，
∴PE＝PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），
又∵PD＝PE，PD⊥AD，PE⊥AC，
∴BP为∠MBN的平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．
55．解：方法一：连接BC，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠CFB＝∠BEC＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BCF和△CBE中
∵
∴△BCF≌△CBE（AAS），
∴BF＝CE，
在△BFD和△CED中
∵，
∴△BFD≌△CED（AAS），
∴DF＝DE，
∴AD平分∠BAC．
方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE＝AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD＝∠EAD，所以AD平分∠BAC．
56．解：AE与FG之间的数量关系是相等．
理由：∵CF平分∠ACB，FA⊥AC，FG⊥BC
∴FG＝FA
∵∠AFC+∠ACF＝90°，∠DEC+∠ECD＝90°，且∠ACF＝∠ECD
∴∠AFC＝∠DEC
∵∠AEF＝∠DEC
∴∠AFC＝∠AEF
∴AE＝FA
∴AE＝FG．
57．证明：设AM，BN交于点O，过点O分别作OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足分别为点D，E，F．
∵O是∠BAC角平分线AM上的一点（已知），
∴OE＝OF（角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等）．
同理，OD＝OF．
∴OD＝OE（等量代换）．
∵CP是∠ACB的平分线（已知），
∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．
因此，AM，BN，CP交于一点；
故答案为：已知；角平分线上的一点到这个角的两边的距离相等；等量代换；已知；角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．
58．解：（1）在△ACD和△AED中，
，
∴△ACD≌△AED，
∴AE＝AC，
故答案为：AE；
（2）∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴DE＝CD，
故答案为：DE；
（3）∵AB＝5cm，AC＝3cm，AE＝AC，
∴BE＝AB﹣AE＝2cm，
∴△DEB的周长＝DE+DB+BE＝CD+DB+BE＝CB+BE＝6cm，
故答案为：6．
59．解：∵AE是∠BAC的平分线，EC⊥AC，EF⊥AF，
∴CE＝EF，
在Rt△ACE与Rt△AFE中，
，
∴Rt△ACE≌Rt△AFE（HL），
∴AC＝AF，
∵点F是AB的一个三等分点，
设BF＝m，则AC＝2m，AF＝2m，AB＝3m，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴（3m）2＝52+（2m）2，
∴m＝，
∴BF＝，AB＝3，
∵∠BFE＝∠C＝90°，∠B＝∠B，
∴△BEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得，BE＝3．
60．解：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，
PF⊥AC于F，
∵点P是△ABC三条角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF
∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC
＝PD AB+PE BC+PF AC
＝PD （AB+BC+AC）＝PD （7+25+24）
＝28PD
又∵∠ABC＝90°，
∴S△ABC＝AB BC＝×7×24＝7×12
∴7×12＝28PD，
∴PD＝3
答：点P到AB的距离为3．