22.1.1二次函数的概念-经典习题
一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
要求：1：等号左边是变量y，右边是变量x的整式 2：等号右边x的最高次是2次
3：含x的二次项的系数≠0
题型一：函数定义+自变量取值范围
1.下列平面直角坐标系中的曲线，不能表示y是x的函数的是（ ）
【答案】B
【解析】依据函数的定义，对于自变量x的每一个取值,y都有唯一确定的值和它对应.B选项中对于一个x值有两个y与之对应，所以不是函数，解法：可以任意作一条x轴的垂线，看是否都与函数图象有且只有一个交点。
【点睛】本题考查函数的定义，通过任意画一条x轴的垂线，判定与图象的交点个数是关键。
2、如图所示，下列各曲线中表示y是x的函数的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】只需任意做一条垂直x轴的垂线，看垂线是否都与函数图象有且只有一个交点即可。只有④不满足，所以① ② ③都是函数
3.下列等式中,y是x的函数有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数.其中3x-2y=0,y=,y=|x|,这三个式子是函数。
【点睛】本题考查函数的定义，关键看对于x的每一个取值是否只有一个y与之对应。
4.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线)，这个容器的形状是下图中的( )
【答案】C
【解析】注水量一定，函数图象的走势是 稍陡、平、陡，那么水面高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关，从下到上依次是稍粗、粗、细，则相应的排列顺序应为C，
【点睛】本题考查函数图象的理解，判断出图象中每段图象变化不同的原因是解题的关键。
5、求出下列函数中自变量的取值范围.
（1） （2） （3）
（4）y= (5) （6）
【答案】见详解
【解析】解:(1)y=x2-x+5，x为任何实数，函数都有意义;(2)y= ,要使函数有意义,需2x-3≠0,即x≠；(3)y=,要使函数有意义,需2x+3≥0，即x≥;(4)y=，要使函数有意义，需2x-1≥0，即x≥;(5)y=，x为任何实数，函数都有意义;(6)y=,要使函数有意义，需即x≥-3且x≠-2.
【点睛】本题考查求函数自变量取值范围，表达式中含有二次根式，则被开方数≥0，含有分母，
则分母≠0，，同时含有则同时满足，求不等式组解集。
题型二 二次函数定义
1. 下列函数解析式为二次函数的是（ ）
A．y=3x-1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2-2t+1 D. y=x2+
【答案】C
【解析】A、是一次函数，故此选项错误; B、当a=0时，是二次函数，故此选项错误;
C、是二次函数，故此选项正确; D、含有分式，不是二次函数，故此选项错误;
【点睛】本题考查二次函数定义，需要同时满足三个条件，1，等号两边是整式，2，只含一个未知数，3，含未知数项最高次是2，且二次项系数≠0
2. 下列表示y是x的二次函数的是（ ）
A．y=(x+1)(x-1)-(x-1)2 B. x+y2-1=0 C. y=2x+ D. x2+3y-2=0
【答案】C
【解析】A.去括号，整理得:y=2x-2是一次函数，不合题意; B y是x的二次函数应该y是因变量,自变量是x,关于x的二次式,这里正好相反，不合题意; C等号左边是变量y右边是关于自变量x的整式,而这里是关于x的分式,不合题意; D.符合二次函数的形式,选项正确。
【点睛】本题考查二次函数定义，如果方程含有括号往往需要化简合并后在判定是否满足二次函数定义。
3. 下列函数一定是二次函数的是__________.①y=ax2+bx+c；②y=-；③y=4x2-3x+1；
④y=(m-1)x2+bx+c；⑤y=(x-3)2-x2
【答案】③
4. 下列结论正确的是（ ）
A.二次函数中两个变量的值是非零实数 B.二次函数中变量x的值是所有实数
C形如y=ax+bx+c的函数叫二次函数 D.二次函数y=ax+bx+c中a，b，c的值均不能为零
【答案】B
【解析】A：因为二次函数等号两边是整式，所以自变量取值是全体实数，因变量的取值往往有范围，
C，判定是不是二次函数一定不要忘记二次项系数≠0 D. 二次函数中b,c的值可以为0.
【点睛】本题考查二次函数定义，二次函数自变量取值范围是全体实数，其中一次项系数b，
常数项c可以是0.
5. y=(2x-1)2-6中的二次项系数a=__________,一次项系数b=__________,常数项c=__________.
【答案】a=4,b=-4,c=-5
6. 把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为
【答案】a=-3,b=-16,c=12
7、若y与x的关系式为y=-x2+4x+5，当x＝2时，y的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
题型三 求参数的值
1.已知: y= (k+2) ，k取什么值时，y是x的二次函数？
【答案】k=2时，y是x的二次函数
【解析】∵y= (k+2)是二次函数，∴|k|=2且k+2≠0，∴k=2
【点睛】本题考查二次函数定义，未知数项最高次是2，且不要忘记二次项系数≠0.
2.加果y=(m-1)x㎡+m-m是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A.1或－2 B.-1或2 C.-2 D.0
【答案】C
【解析】∵y=(m-1)x㎡+m-m是二次函数，∴；解得：m=-2
【点睛】本题考查二次函数定义，未知数项最高次是2，且不要忘记二次项系数≠0.
3. 一个二次函数y=(k-1)+2x-1, （1）求k的值.（2）当x=0.5时，y的值是多少？
【答案】k=2,y=
【解析】(1)由题意得：;解得：k=2,（2）把k=2代入得：y=x2+2x-1,当x=0.5时，y=
4. 若函数y=是二次函数，求出m的值，并求出以m的值为边长的等腰三角形周长。
【答案】7或8
【解析】y=是二次函数，∴m2-5m+8=2,解得：m=2或m=3,
当2为腰，3为底时;能构成三角形，此时周长=2+2+3=7;
当2为底，3为腰时;能构成三角形，此时周长=3+3+2=8.
综上所述，该等腰三角形的周长为7或8.
【点睛】本题主要考查分类讨论思想和三边关系，按腰长和底边来分类讨论，并验证每一种情况是否满足三边关系是关键。
5.函数y=(m-2) x㎡-m+mx+1,(1)当m取何值时，y是x的二次函数？
（2）当m取何值时，y是x的一次函数？
【答案】(1) m=-1;(2) m=2或m=
【解析】(1)由题意得：解得：m=-1,(2)由题意得①：;解得：m=2
或者②，此时解得：m= ；综上所述，m=2或m=
【点睛】本题主要考查分类讨论思想和一次二次方程的解法。
6、函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2，（1）当常数m满足什么条件时，y是x的二次函数；(2)当常数m满足什么条件时，这个函数是一次函数．
【答案】m≠4且m≠-2; m=4
【解析】(1)由题意得：m2-2m-8≠0，（m-4）(m+2)≠0，即m≠4且m≠-2
（2）由题意得：；解得：m=4
题型四：实际问题中二次函数模型（基础题）
一个正方形的边长是3，若边长增加3，则面积增加y,那么y与x之间的函数关系式为 。
【答案】y=x2+6x(x≥0)
【解析】由题意得：y=(x+3)2-32=x2+6x+9-9=x2+6x(x≥0)
【点睛】主要在实际问题中，自变量往往有限制范围，主要带上自变量取值范围。
某种储蓄的年利率是1.98%，存人10 000元本金，若不计利息税，求本金与利息的和y(元)与所存年数x之间的函数关系;
【答案】y=10000(1+1.98%)x
菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系式.
【答案】S=-x2+13x
【解析】解：设一条对角线为x，则另一条对角线为26-x，所以，S=x(26-x)=-x2+13x.
【点睛】本题主要考查菱形的性质，菱形面积公式=对角线乘积的一半
4.同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m与参加聚会的人数n之间的函数关系式_______________．
【答案】m=n(n-1)
【点睛】本题主要考查握手问题的模型，握手总数=n（n-1）(n代表总人数)
实际问题中二次函数模型（培优题）
5. 已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每周可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件.假设涨价x元，求每周的利润y（元）与涨价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
【答案】y=-10x+100x+6000（0＜x＜30）
【解析】解：每件的利润为：60+x-40=(20+x)元，每周的销售量为：（300-10x）件，
所以y=(20+x)（300-10x）=-10x+100x+6000
∵300-10x＞0， ∴x＜30 ∴ y=(20+x)（300-10x）=-10x+100x+6000（0＜x＜30）.
【点睛】本题主要考查销售类应用题等量关系 总利润=每件利润×销售量
6. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住(如图)。若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
【答案】y=-x2+20x (0＜x＜25)
【解析】解：(1)四边形ABCD为矩形，BC = x;∴AB=,
根据题意得:y= AB· BC = x·=-x2+20x; ∵墙长为25m，∴0＜x＜25.
∴y=-x2+20x (0＜x＜25)
【点睛】本题主要考查几何面积问题如何列方程，正确表示矩形的长和宽是关键，另外主要求自变量的取值范围，根据矩形宽≥0，靠墙的长≤墙长，求不等式组解集确定自变量取值范围。
7. 如图所示，正方形ABCD的边长为4 cm，E、F分别是BC、DC边上一动点，E、F同时从点C均以1 cm/s的速度分别向点B、点D运动，当点E与点B重合时，运动停止．设运动时间为x(s)，运动过程中△AEF的面积为y，请写出用x表示y的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】y=-x2+20x (0＜x＜25)
【解析】解：由题意可知BC=AB=AD=CD=4cm， EC=FC=xcm，BE=DF=(4-x)cm.
y=S△AEF=S正方形ABCD-S△ECF-S△ABE-S△ADF=16-x2-x4x(4-x)-x4x(4-x) =x2+4x，
于是可得y关于x的函数表达式是y=x2+4x；因为4-x≥0，x≥0，所以自变量x的取值范围是0≤x≤4
【点睛】本题主要考查如何用和差法求面积，当一个图形面积不好表示时，往往利用转化思想转化为几个规则图形面积的和或者差的方法来表示。
8. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；
若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
【答案】（1）y＝－10x2＋180x＋400 （2）第6档
【解析】解：（1）∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每件利润加2元，但一天产量减少5件，∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元．∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]，即y＝－10x2＋180x＋400
（2）由题意可得：－10x2＋180x＋400＝1120，整理得 x2－18x＋72＝0，即（x-6）(x-12)=0; 解得：x1＝6，x2＝12(舍去)．所以，该产品的质量档次为第6档。
【点睛】本题还是考查销售类应用题等量关系，总利润=每件利润×销售量，正确表示出每个档次对应的每件利润，以及每个档次对应的每天的销售量是关键所在。
9.某地绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在当地收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）
【答案】（1）y＝=-3x2+940x+20000 （1≤x≤110，且x为整数）（2）50天
【解析】解:（1）由题意y与x的函数关系式为y=（10+0.5x）(2000-6x) =-3x2+940x+20000
（1≤x≤110，且x为整数）；
（2）由题意得：-3x2+940x+20000-10×2000-340x=22500,整理得：x2-200x+7500=0
即（x-50）(x-150)=0; 解方程得：x1=50，x2=150,∵150＞110，所以x=50(天)
答：李经理想获得利润22500元需将这批香菇存放50天后出售
【点睛】本题还是考查销售类应用题等量关系，主要表示总利润要减去存放期每天的损耗及每天的各种费用。二次函数的概念-练习题
一般地，形如y=ax2+bx+c（a, b, c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数.
要求：1：等号左边是变量y，右边是变量x的整式 2：等号右边x的最高次是2次
3：含x的二次项的系数≠0
题型一：函数定义+自变量取值范围
1.下列平面直角坐标系中的曲线，不能表示y是x的函数的是（ ）
2、如图所示，下列各曲线中表示y是x的函数的有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3.下列等式中,y是x的函数有（ ）个.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线)，这个容器的形状是下图中的( )
5、求出下列函数中自变量的取值范围.
（1） （2） （3）
（4） （5） （6）
题型二 二次函数定义
1. 下列函数解析式为二次函数的是（ ）
A．y=3x-1 B. y=ax2+bx+c C. s=2t2-2t+1 D. y=x2+
2. 下列表示y是x的二次函数的是（ ）
A．y=(x+1)(x-1)-(x-1)2 B. x+y2-1=0 C. y=2x+ D. x2+3y-2=0
3. 下列函数一定是二次函数的是__________.①y=ax2+bx+c；②y=-；③y=4x2-3x+1；
④y=(m-1)x2+bx+c；⑤y=(x-3)2-x2
4. 下列结论正确的是（ ）
A.二次函数中两个变量的值是非零实数 B.二次函数中变量x的值是所有实数
C形如y=ax+bx+c的函数叫二次函数 D.二次函数y=ax+bx+c中a，b，c的值均不能为零
5. y=(2x-1)2-6中的二次项系数a=__________,一次项系数b=__________,常数项c=__________.
6. 把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____,一次项系数为______，常数项为
7、若y与x的关系式为y=-x2+4x+5，当x＝2时，y的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
题型三 求参数的值
1.已知: y= (k+2) ，k取什么值时，y是x的二次函数？
2.加果y=(m-1)x㎡+m-m是关于x的二次函数，则m的值为（ ）
A.1或－2 B.-1或2 C.-2 D.0
3. 一个二次函数y=(k-1)+2x-1, （1）求k的值.（2）当x=0.5时，y的值是多少？
4. 若函数y=是二次函数，求出m的值，并求出以m的值为边长的等腰三角形周长。
5.函数y=(m-2) x㎡-m+mx+1,(1)当m取何值时，y是x的二次函数？
（2）当m取何值时，y是x的一次函数？
6、函数y=（m2﹣2m﹣8）x2+（m+2）x+2，（1）当常数m满足什么条件时，y是x的二次函数；(2)当常数m满足什么条件时，这个函数是一次函数．
题型四：实际问题中二次函数模型（基础题）
一个正方形的边长是3，若边长增加3，则面积增加y,那么y与x之间的函数关系式为 。
某种储蓄的年利率是1.98%，存人10 000元本金，若不计利息税，求本金与利息的和y(元)与所存年数x之间的函数关系;
菱形的两条对角线长的和为26cm，求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间的函数关系式.
4.同学聚会，每两个人之间握手一次，试写出握手的总数m与参加聚会的人数n之间的函数关系式_______________．
实际问题中二次函数模型（培优题）
5. 已知某商品的进价为每件40元，售价是每件60元，每周可卖出300件.市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每周要少卖出10件.假设涨价x元，求每周的利润y（元）与涨价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
6. 为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一条矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住(如图)。若设绿化带BC边长为xm，绿化带的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
7. 如图所示，正方形ABCD的边长为4 cm，E、F分别是BC、DC边上一动点，E、F同时从点C均以1 cm/s的速度分别向点B、点D运动，当点E与点B重合时，运动停止．设运动时间为x(s)，运动过程中△AEF的面积为y，请写出用x表示y的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
8. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．
若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y关于x的函数关系式；
若生产第x档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．
9.某地绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格10元/千克在当地收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．
（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式．
（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）
