数学北师大版（2019）必修第一册7.3频率与概率 教案

7.3　频率与概率
【教学目标】
重点、难点
重点：通过实验活动丰富对频率与概率关系的认识，知道当试验次数较大时，频率稳定于理论概率.
难点：收集数据、分析折线图、辩证的理解频率与概率的关系.
学科素养
在正确理解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性的基础上，能辨析生活中的随机现象，澄清生活中对概率的一些错误认识，并通过做大量重复试验，用频率对某些随机事件的概率进行估计.
【知识清单】
　　　　
1．概率
在相同条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个 附近摆动，即随机事件A发生的频率具有 性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记为P(A)．我们有
2．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的 ，但频率是随机的，而概率是一个确定的值，因此，人们用概率来反映随机事件发生的 的大小．在实际问题中，某些随机事件的概率往往难以确切得到，常常通过做大量的重复试验，用随机事件发生的 作为它的概率的估计值．
[点睛]　(1)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．
(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
【经典例题】
[例1]　解释下列概率的含义．
(1)某厂生产产品的合格率为0.9；
(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.
[例2]　某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：
分组 [500,900) [900,1 100) [1 100,1 300)
频数 48 121 208
频率
[1 300,1 500) [1 500,1 700) [1 700,1 900) [1 900，＋∞)
223 193 165 42
(1)求各组的频率；
(2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．
[例3]　某种病治愈的概率是0.3，那么，前7个人没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率是0.3
【课堂达标】
1．古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．222石 B．224石 C．230石 D．232石
2．在一堆从实际生活得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（，，，）的概率为，这被称为本福特定律．以此判断，一个数的首位数字是1的概率约为（ ）．
A．10% B．11% C．20% D．30%
3．某种机器使用三年后即被淘汰，该机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个元；在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个元.某人在购买该机器前，搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图.若以频率为概率，估计此人购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率( )
A． B． C． D．
4．将一个容量为1000的样本分成若干组，已知某组的频率为0.4，则该组的频数是（ ）
A．4 B．40 C．250 D．400
5．造纸术、印刷术、指南针、火药被称为中国古代四大发明，此说法最早由英国汉学家艾约瑟提出并为后来许多中国的历史学家所继承，普遍认为这四种发明对中国古代的政治、经济、文化的发展产生了巨大的推动作用.某小学三年级共有学生400名，随机抽查100名学生并提问中国古代四大发明，能说出两种及其以上发明的有73人，据此估计该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有（ ）.
A．69人 B．84人 C．108人 D．115人
6．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石
7．下列叙述正确的是（ ）
A．频率是稳定的，概率是随机的
B．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
C．5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
D．若事件A发生的概率为P(A)，则
8．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次，若用A表示正面朝上这一事件，则A的( )
A．概率为 B．频率为 C．频率为6 D．概率接近0.6
9．下列叙述正确的是（ ）
A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．若事件发生的概率为，则
C．频率是稳定的，概率是随机的
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
10．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1500石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得250粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（ ）
A．180石 B．12500石 C．160石 D．120石
11．某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如下表:
射击次数 10 20 50 100 200 500
击中10环次数 8 19 44 93 178 453
击中10环频率
（1）将表格填写完整；
（2）这名运动员射击一次，击中10环的概率约为多少
【能力提升】
12．对以下命题：
①随机事件的概率与频率一样，与试验重复的次数有关；
②抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是；
③若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张就会中奖；
④“姚明投篮一次，求投中的概率”属于古典概型概率问题．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．从长度分别为的四条线段中，任取三条的不同取法共有种，在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为，则等于____________.
14．一个样本的容量为70，分成五组，已知第一组、第三组的频数分别是8，12，第二组、第五组的频率都为，则该样本第四组的频率为________.
15．为了调查学生参加公益劳动的情况,从某校随机抽取名学生,经统计得到他们参加公益劳动的次数均在区间内,其数据分组依次为:,,,,.
（1）若这名学生中,公益劳动次数在内的人数为人,求图中的值；
（2）估计该校学生参加公益劳动的次数不少于次的概率.
【参考答案】
【知识清单】
1．概率
常数 稳定 0≤P(A)≤1.
2．概率与频率的关系
频繁程度 可能性 频率
【经典例题】
[例1]　[解]　(1)“某厂生产产品的合格率为0.9”．说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的．
(2)“中奖的概率为0.2”说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖．
[例2][解]　(1)频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.
(2)样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，
所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6.
即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.
[例3][解]　如果把治疗一个病人作为一次试验，治愈率是30%，指随着试验次数的增加，即治疗的病人数的增加，大约有30%的人能治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，既有可能治愈，也可能没有治愈．
治愈的概率是0.3是指如果有1 000人患病，那么我们根据治愈的频率应在治愈概率附近摆动这一前提，就可以认为这1 000人中，大约有300人能治愈，这个事先估计对于医药卫生部门是很有参考价值的．这也进一步说明了随机事件的概率只是反映了在大量重复试验的条件下，随机试验发生的频率的稳定性．
【课堂达标】
1．B
【解析】
【分析】
根据270粒内夹谷30粒，可得2016石的夹谷约为石，即可得到答案．
【详解】
由题意可知，2016石的夹谷约为石．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了简单随机抽样，用样本估计总体，属于容易题．
2．D
【解析】
【分析】
由一个十进制数是1开头的概率为，而，即可得解.
【详解】
根据题意，一个十进制数是1开头的概率为，而，以此判断，一个数的首位数字是1的概率约为30%.
故选：D.
【点睛】
本题考查学生的阅读理解能力以及估算能力，属于常考题.
3．D
【解析】
【分析】
由题意可知，求出三年使用期内更换的易损零件数小20个的频率即可
【详解】
解：由频数分布直方图可知，机器在三年使用期内更换的易损零件数小于20的频率为，
所以购机时购买20个备件，在机器淘汰时备件有剩余的概率约为.
故选：B
【点睛】
此题考查频数分布直方图，考查频率与概率的关系，属于基础题.
4．D
【解析】
【分析】
直接利用频率的定义求解即可．
【详解】
一个容量为1000的样本分成若干组，某组的频率为0.4，
该组的频数为：．
故选：．
【点睛】
本题考查频数的求法，解题时要认真审题，属于基础题．
5．C
【解析】
【分析】
先求得名学生中，只能说出一种或一种也说不出的人数，由此列出比例式，可求得名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的人数.
【详解】
在这100名学生中，只能说出一种或一种也说不出的有人，
设该校三年级的400名学生中，对四大发明只能说出一种或一种也说不出的有人，
则，解得人.
故选：C.
【点睛】
本小题主要考查利用样本估计总体，属于基础题.
6．B
【解析】
【分析】
【详解】
设夹谷石，则，
所以，
所以这批米内夹谷约为石，故选B.
考点：用样本的数据特征估计总体.
7．D
【解析】
【分析】
根据概率的意义判断，根据互斥事件和对立事件的定义判断．
【详解】
频率是随机变化的，概率是频率的稳定值，A错；
互斥事件也可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，B错；
5张奖券中有1张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙、甲抽到有奖奖券的可能性一样大，都是，C错；
由概率的定义，随机事件的概率在上，D正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查概率的意义，考查互斥事件和对立事件的定义，属于基础题．
8．B
【解析】
事件A＝{正面朝上}的概率为，因为试验的次数较少，所以事件的频率为，与概率值相差太大，并不接近．故选B.
考点：频率与概率.
9．B
【解析】
【分析】
由互斥事件及对立事件的关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可得解.
【详解】
解：对于A，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A错误；
对于B，事件发生的概率为，则，即B正确；
对于C，概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；
对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为，即D错误，
即叙述正确的是选项B，
故选：B.
【点睛】
本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题.
10．A
【解析】
【分析】
根据数得250粒内夹谷30粒，可得比例，即可得出结论．
【详解】
解：由题意，这批米内夹谷约为石，
故选：．
【点睛】
本题考查总体和样本以及频率等数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，比较基础．
11．（1）表格见解析；（2）0.9.
【解析】
【分析】
（1）根据频率计算公式，结合已知数据，即可容易求得结果；
（2）根据（1）中所求，频率的稳定值即为所求.
【详解】
（1）根据频率计算公式，表格数据如下：
射击次数 10 20 50 100 200 500
击中10环次数 8 19 44 93 178 453
击中10环频率 0.8 0.95 0.88 0.93 0.89 0.906
（2）由（1）中所求，随着射击次数的增大，频率的稳定值为.
故这名运动员射击一次，击中10环的概率约为0.9.
【点睛】
本题考查频率的计算，以及用频率估计概率，属简单题.
【能力提升】
12．A
【解析】
【分析】
概率与试验重复的次数无关，抛掷两枚均匀硬币一次，出现一正一反的概率是，若一种彩票买一张中奖的概率是，则买这种彩票一千张仍然不一定中奖，姚明投篮的结果中与不中概率不相等.
【详解】
随机事件的概率与频率不一样，与试验重复的次数无关，所以①错误；
抛掷两枚均匀硬币一次，可能的结果：正正，正反，反正，反反，所以出现一正一反的概率是，所以②错误；
若一种彩票买一张中奖的概率是，这是随机事件，则买这种彩票一千张不一定会中奖，所以③错误；
“姚明投篮一次，求投中的概率”， 姚明投篮的结果中与不中概率不相等，不属于古典概型概率问题，所以④错误．
故选：A
【点睛】
此题考查概率及相关概念的辨析，涉及古典概型的辨析，对基本事件的认识.
13．
【解析】
【分析】
分别求出即可．
【详解】
从4条长度不同的线段中任取3条，共有4种取法，即，可组成三角形的只有一种，因此，∴．
故答案为．
【点睛】
本题考查事件的概念，求事件的个数．解题时可用列举法列出任取3条线段的所有可能以及满足组成三角形的个数，从而得，．列举法是我们常用的方法．能组成三角形的判定关键是两个较小的线段长之和大于最长的线段长度．
14．
【解析】
【分析】
根据频率的计算公式，结合题目已知信息，即可容易求得.
【详解】
因为样本容量为，根据题意可得：
第一组和第三组的频率为.
根据频率之和为，即可求得：
第四组的频率为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查频率的计算公式，属基础题.
15．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）因为名学生中,公益劳动次数在内的人数为人,由条形统计图可得,组距为,即可求得答案;
（2）根据由条形统计图,结合概率公式,即可求得答案.
【详解】
（1）名学生中,公益劳动次数在内的人数为人
由条形统计图可得:组距为
（2）根据由条形统计图可知:
该校学生参加公益劳动的次数不少于次的概率:
故估计该校学生参加公益劳动的次数不少于次的概率:.
【点睛】
本题主要考查了补全条形统计图和根据条形统计图求概率,解题关键是掌握条形统计图的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.