数学北师大版（2019）必修第一册3.1指数幂的拓展 教案

3.1 指数幂的拓展
【教学目标】
重点、难点
1、理解分数指数幂的概念；（重点）
2、会进行分数指数幂与根式的互化；（难点）
3、了解无理数指数幂的概念。（重点）
学科素养
通过指数幂的拓展的学习，培养逻辑推理素养；
通过分数指数幂与根式的互化，培养数学运算素养
【知识清单】
1、根式
(1)定义：式子叫做根式，这里n叫做 ，a叫做 ．
(2)性质：(n＞1，且n∈N*)
①＝ ．②＝
2、正分数指数幂
给定正数a，和正整数m，n(n＞1，且m，n互素)，若存在唯一的正数b，使得bn＝am，则称b为a的次幂，记作b＝ ，这就是正分数指数幂．
3、分数指数幂
分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂 规定：a＝＝ (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂
【基础过关】
1、用分数指数幂表示下列各式(式中a>0)，
(1)＝________；(2)＝________
2、(3－2x)中x的取值范围是_______
3、式子b-2n=π6m中的正数b写成分数指数幂为　　　　
【经典例题】
题型一 根式的化简
例1、化简：
(1)(x＜π，n∈N*)；
题型二 根式与分数指数幂的互化
例2、将化为分数指数幂的形式
题型三 指数幂的值
例3、求下列各式的值：
(1)64；(2)81.
【课堂达标】
1、()4运算的结果是（ ）
A．2 B．－2 C．±2 D．不确定
2、下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3、下列命题中正确的个数为（ ）
①，②，则，③，④
A．0 B．1 C．2 D．3
4、（多选题）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5、＋的值是________
6、当时，________
7、（1）计算：；
（2）化简：.
【能力提升】
1、若有意义，则x的取值范围是（ ）
A．且 B． C． D．
2、下列说法正确的是（ ）
A．正数的次方根是正数 B．负数的次方根是负数
C．0的次方根是0 D．是无理数
3、已知二次函数的图象如图所示，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4、设，则其中最大的数是 （ ）
A．a B．b C．c D．d
5．（多选题）若，则下列说法中正确的是（ ）
①当为奇数时，的次方根为；②当为奇数时，的次方根为；
③当为偶数时，的次方根为；④当为偶数时，的次方根为．
A．① B．②
C．③ D．④
6、=_____________．（写成分数指数幂形式）
7、下列各式：①；②；③；④；⑤.其中正确的式子的序号有________
8、若，则＝________.
9、（1）化简：（2）求值：
10、已知是方程 的两根，且 ，求的值
【参考答案】
【知识清单】
1、（1）根指数；被开方数 （2）①a；②
2、a
3、， ,没有意义
【基础过关】
答案：(1)a　(2)a.　
解析：
(1)＝a. (2)＝＝a.
答案：x<　
解析：
要使该式有意义，需3－2x>0，
即x<.
3、答案:
【解析】
b==.
【经典例题】
解析　
∵x＜π，∴x－π＜0.
当n为偶数时，＝|x－π|＝π－x；
当n为奇数时，＝x－π.
综上可知，＝
解析：＝＝a.
[解析]　
(1)设64＝x，则x3＝642＝4 096，
又∵163＝4 096，∴64＝16.
(2)设81＝x, 则x4＝81－1＝，
又∵()4＝，∴81＝.
[课堂达标]
1．【答案】A
【解析】
【分析】
根据指数运算性质，即可容易求得结果.
【详解】
由指数运算法则，容易得：()4=2.
故选：A.
【点睛】
本体考查根式的运算和指数的运算，属简单题.
2．【答案】D
【解析】
【分析】
根式化简及零指数意义.
【详解】
对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确；
对于B，，当时无意义，故B不正确；
对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；
对于D，，故D正确.
故选：D.
【点睛】
根式化简注意根指数的奇偶性.
3.【答案】B
【解析】
【分析】
根据根式与指数幂运算的运算法则依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】
①当为偶数时，，①错误；
②当时，，则，②正确；
③，③错误；
④，④错误
故选：
【点睛】
本题考查根式与指数幂的运算、化简，属于基础题.
4.【答案】CD
【解析】
【分析】
结合根式与分数指数幂的互化即可得解.
【详解】
解：对于选项A,因为，而，即A错误；
对于选项B，因为，即B错误；
对于选项C， ，即C正确；
对于选项D， ，即D正确，
故选：CD．
【点睛】
本题考查了根式与分数指数幂的互化，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题.
5、【答案】0或2(a－b)
【解析】
【分析】
利用根式的性质即可求解.
【详解】
解析＋＝|a－b|＋(a－b)＝.
故答案为：0或2(a－b).
【点睛】
本题考查了根式的化简，需掌握根式的性质，属于基础题.
6、【答案】2
【解析】
【分析】
首先判断根式中的式子符号，去根式即可求解.
【详解】
∵，∴，，
∴.
故答案为：2
【点睛】
本题考查了根式的性质以及运算，属于基础题.
7、【答案】（1）22；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用指数运算公式化简；（2）利用化简，再根据指数运算公式化简.
【详解】
（1）；
（2）.
【点睛】
本题考查了指数运算公式和根式与分数指数幂的运算公式，意在考查公式转化和计算能力.
【能力提升】
1．【答案】A
【解析】
【分析】
直接根据开偶次方根，被开方数大于等于0，0的0次幂无意义.
【详解】
要使原式有意义，则解得且.
故选：A.
【点睛】
本题考查使指数幂有意义的的取值范围，考查运算求解能力，属于基础题.
2【答案】C
【解析】
【分析】
根据次方根的知识对选项逐一分析，由此求得正确选项.
【详解】
对于A选项，如的平方根为，故A选项错误.
对于B选项，如，没有平方根，故B选项错误.
对于C选项，的次方根是，故C选项正确.
对于D选项，如是有理数，所以D选项错误.
故选：C
【点睛】
本小题主要考查次方根的知识，属于基础题.
3．【答案】D
【解析】
【分析】
由，再结合二次函数图像可得即，得解.
【详解】
解：因为，
由二次函数的图象可得： ，
即，
所以，
故选：D.
【点睛】
本题考查了根式的运算及二次函数图像的性质，重点考查了运算能力，属基础题.
4．【答案】C
【解析】
【分析】
直接计算出所有的数值判断即可.
【详解】
由题,, ,,.
因为.故最大的数为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了指数幂的运算,属于基础题型.
5．【答案】BD
【解析】
【分析】
分别考查n为奇数和偶数时方根的结论即可得到正确选项.
【详解】
当为奇数时，的次方根只有1个，为；
当为偶数时，由于 ，所以的次方根有2个，为．
所以说法②④是正确的，
故选BD.
【点睛】
本题主要考查n次方根的定义与求解，属于基础题.
6、【答案】
【解析】
【分析】
根据分数指数幂的性质和指数的运算公式，得到答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】
本题考查分数指数幂与根式的互化，属于简单题.
7、【答案】①②⑤
【解析】
【分析】
由分数指数幂与根式的互化公式逐个分析.
【详解】
①，结论①正确；
②，结论②正确；
根据定义，分数指数幂的底数为正数，结论③错误；
④，结论④错误；
⑤，结论⑤正确。
故答案为：①②⑤
【点睛】
此题考查分数指数幂与根式的互化，考查指数幂的运算，考查推理能力，属于基础题.
8、【答案】-1
【解析】
【分析】
利用绝对值和开偶次方根的运算法则化简即可.
【详解】
∵，∴ ，，∴＝x－x－1＝－1.
故答案为：-1
【点睛】
本题考查了绝对值和开偶次方根的运算法则，属于基础题.
9、【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）直接利用指数运算公式得到答案.
（2）直接计算得到答案.
【详解】
（1）
（2）
【点睛】
本题考查化简和计算，意在考查学生的计算能力.
10、【答案】
【解析】
【分析】
由韦达定理得，先求出
，然后两边开方可得结果.
【详解】
因为是方程的两根，所以，
因为，所以，所以，
所以，所以.
【点睛】
本题主要考查根式的运算，意在考查灵活应用所学知识解决问题的能力，属于中档题.