数学北师大版（2019）必修第一册2.4.2简单幂函数的图象和性质 教案

第二章　函数
第4节　函数的奇偶性与简单的幂函数
2.4.2简单幂函数的图象和性质
传统教材中，幂函数内容是放在指数函数、对数函数之后学习，而新教材将其提前，在学习了函数基本概念和性质后，学习的第一个具体函数，这一安排有其合理性，一方面，幂函数是初中学习的正比例、反比例、一元二次函数的推广，有一定的知识基础，另一方面，将前面刚刚学习的函数知识，应用到具体函数中，使学生深刻体会探究函数性质的方法与步骤，为学习指数函数、对数函数做好准备。
(1)知识目标：
掌握幂函数的概念和定义；学会使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。
(2)核心素养目标：
通过自主探究幂函数的图象和性质，培养学生知识的应用能力，提高学生的数学运算和逻辑推理的核心素养。
(1)幂函数的概念和定义；
(2)使用函数的知识自主分析、研究幂函数的图象和性质；
(3)对于指数的不同情况，学会从函数的定义域、奇偶性、单调性等方面入手，分析幂函数的性质，掌握探究函数性质的一般方法和步骤。
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一、知识引入
初中学习了函数、反比例函数、二次函数等，对它们的图象和性质已经很熟悉了。后面将学习“”可以记作“”、“”可以记作“”，形如“”的函数，在实际生活中经常会遇到。
思考讨论：
(1)写出边长为的正方体体积的函数；
提示：.
(2)写出面积为的正方形的边长的函数.
提示：即.
二、新知识
一般地，形如（为常数）的函数，称为幂函数.
如：函数、等等
注意：
①幂函数的指数是常数，底数是自变量，且指数式前面的系数是1；
②幂函数的图象和性质，根据不同的指数，视其情况具体分析，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、经过的特殊点等方面入手，分析画出其图象.
思考讨论
(1)将函数的图象画在同一个坐标系中，并完成下表：
定义域
值域
单调性
奇偶性 奇 奇 偶 非奇非偶 奇
(2)下列各图，只画出了函数在轴一侧的图象，请画出轴另一侧的图象，并说出画法的依据.
提示：前三个函数为奇函数，所以图象关于原点中心对称，后两个函数为偶函数，图象关于轴对称.
思考讨论（综合练习）
(1)若幂函数在上为减函数，求实数的值；
(2)已知函数、、在第一象限的函数图象如图，试比较的大小；
(3)试利用函数的性质，比较的大小：
.
(4)已知幂函数的图象关于轴对称，且在上为减函数，解关于的不等式.
提示：(1)函数为幂函数，则，得或，
函数为或，又函数在上为减函数，所以.
(2)由的图象，函数单减，则，再取特殊值，则，则
所以.
(3)由幂函数，即的性质，，即
再由幂函数的图象，可得，即
所以.
(4) 函数在上为减函数，
则，即，，故或.
又图象关于轴对称，函数为偶函数，则为偶数，所以
不等式即为，再由幂函数的图象
得或或
所以不等式的解集为.
注意：
①幂函数的图象和性质，因不同的指数，差异是比较大的，一般通过分析函数的定义域、奇偶性、单调性和经过的特殊点等等得出图象和性质；
②在区间上，幂函数的图象均过定点，当时，幂函数单调递增，当时，单调递减，当时，幂函数为,即；
③特殊值法在幂函数问题中常常用到，这样可以省去很多不必要的分析过程.
三、课堂练习
教材P66，练习3.
四、课后作业
教材P67，习题2-4：B组第1题.
分析函数的图象和性质，一般步骤是：首先考虑函数的定义域，然后考察函数的奇偶性，如果可能，再画出函数的图象，这样函数的其他性质，比如单调性、值域、最值等等，就很容易得到了。幂函数指数的情况较多，其图象和性质差异也较大，但只需按照上述步骤去分析，就可以得出函数的性质。