数学北师大版（2019）必修第一册1.2.1必要条件与充分条件（2课时）教案

第一章　预备知识
第2节　常用逻辑用语
2.1必要条件与充分条件
第一课时 必要条件与充分条件
必要条件与充分条件，是常用逻辑用语的第一个基本内容，是逻辑思维的基本语言。对于一个命题，明确了“条件”是“结论”成立的必要性条件还是充分性条件，可以使学生的数学思维更加清晰，是培养学生逻辑思维能力的重要途径，学生能够熟练地使用逻辑用语表达数学对象、进行数学推理和运算，为今后的数学学习，在思维的敏捷性、推理的准确性、语言表达的精炼性等方面，奠定坚实的基础。
(1)知识目标：
掌握命题的概念和基本形式；通过典型的数学命题，理解必要条件、充分条件的含义，能够熟练地将数学命题改成必要条件或充分条件的表述形式；能够对命题中条件的必要性或充分性作出准确的判断。
(2)核心素养目标：
提高学生数学表达、数学运算和数学思维的准确性，培养学生的逻辑推理能力和数学的运算能力。
（1）掌握命题的概念和基本形式；
（2）理解必要条件、充分条件的含义，能够熟练地将数学命题改成必要条件或充分条件的表述形式；
（3）能够对命题中条件的必要性或充分性作出准确的判断。
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一、知识引入
初中学习过“命题”的知识，可以判断真假、用文字或符号表述的陈述句叫作命题。
命题的一般形式是“若，则”，
其中是命题的条件，是命题的结论，如果“若，则”是真命题，就说由推出，记作。
如：平面上两条直线被第三条直线所截，如果两直线平行，那么同位角相等。
该命题为真命题，其中“平面上两条直线被第三条直线所截”是命题的前提，“如果两直线平行”是命题的条件，“那么同位角相等”是命题的结论。
思考讨论：
定理1：菱形的对角线互相垂直.
定理2：对顶角相等.
定理3：如果两个三角形是全等三角形，那么这两个三角形的对应角相等.
①将定理1、2改成“若，则”的形式.
提示：定理1：如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直.
定理2：如果两个角是对顶角，那么它们相等.
②定理1：如果一个四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直。请问“对角线互相垂直”是“四边形是菱形”的必有的条件吗？
提示：是，如果对角线不垂直，那么肯定不是菱形.
二、新知识
1、必要条件
一般的，当命题“若，则”是真命题时，称是的必要条件.
即：，是的必要条件，因为如果不成立，则肯定不成立.
如：①如果集合，那么。“”，所以“”是“”的必要条件
②若实数，那么|。“”，所以“”是“”的必要条件，如果，肯定.
③甲同学数学成绩优异，说明他平时认真听讲了。“甲同学数学成绩优异”“平时认真听讲了”，所以“平时认真听讲”是“甲同学数学成绩优异” 的必要条件，如果“平时不认真听讲”，那么“甲同学数学成绩不会很好的”.
思考讨论：
定理4：若，则.
定理5：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
定理6：平行于三角形一边的直线，截其他两边所得三角形与原三角形相似.
以上定理，要得到结论，所给的条件充分吗？另外所给的条件是不是必要的呢？
提示：定理4，条件“”是“”成立的充分条件，但不是必需(必要)的；
定理5，是充分的，也是必要的；
定理6，是充分的，但不是必要的。
2、充分条件
一般的，当命题“若，则”是真命题时，称是的充分条件.
即：，是充分条件，因为要使成立，给条件足够了（充分）.
再看上面的例子：
①如果集合，那么。“”， “”是“”成立的充分条件.
②若实数，那么|。，所以“”是“”的充分条件.
注意：①对于一个命题“若，则”，我们固定将称为命题的条件，称为命题的结论，所以如果，就称“是的充分条件”，如果；就称“是的必要条件”.
如上例，若实数，则|。，所以“”是“”的充分条件，但，所以“”不是“”的必要条件.
②对于充分条件和必要条件的判断问题，最常有的两种形式为“”和“
”，两种叙述方式，都是“是结论”，然后只需判断“”和“”哪个是真命题即可.
如：请判断，对于集合，的什么条件是？
，则是的充分条件，但，故不是 的必要条件，所以的充分不必要条件是.
例1：将下列性质定理写成“若，则”的形式，并用必要条件的语言表述：
(1)平面四边形的外角和为；
(2)在平面直角坐标系中，关于轴对称的两个点的横坐标相等.
解：(1)若平面多边形是四边形，则它的外角和为，
“外角和为”是“平面多边形是四边形”的必要条件；
(2)在平面直角坐标系中，若两个点关于轴对称，则两个点的横坐标相等，
“两个点的横坐标相等”是“两个点关于轴对称”的必要条件.
例2：用充分条件的语言表述下列命题：
(1)若，则；
(2)若点是线段的中点，则；
(3)当，一元二次方程有两个不相等的实数根.
解：(1)““”的充分条件；
(2)“点是线段的中点”是“”的充分条件；
(3)“”是“一元二次方程有两个不相等的实数根”的充分条件.
思考讨论
(1)：，：，请判断是的什么条件；
(2)：，：，则的 的条件是.
提示：(1)由，但，所以是的充分条件的，但不是必要条件；
(2)由问题的表述可知：是条件，是结论，：：，但：：，所以是的必要条件，但不是充分条件。
三、课堂练习
教材P15，练习1、2；教材P16，练习1、2.
四、课后作业
教材P22，习题1-2，A组1题.
对于一个命题“若，则”，判断条件的必要性还是充分性，首先要根据原命题的语言表述形式，判断出哪句是“条件”、哪句是“结论”，然后判断推倒的正确性。如果是条件，是结论，那么，就称“是的充分条件”；，就称“是的必要条件”。
第二课时 充要条件
充要条件，是继上一节“条件的必要性与充分性”学习后，对相关知识的综合运用，要求学生能够准确地对命题各类条件进行判断（“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”），该部分对培养学生的逻辑推理能力，提高逻辑用语的运用能力，使学生数学思维更加清晰、更加准确，有着非常重要的作用，为今后的数学学习，在思维的敏捷性、推理的准确性、语言表达的精炼性等方面，奠定坚实的基础。
(1)知识目标：
综合进行命题条件的“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既不充分也不必要”的准确判断。
(2)核心素养目标：
提高学生数学表达和数学思维的准确性，培养学生的逻辑推理能力和数学的运算能力。
（1）明确命题中“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”的含义；
（2）综合进行命题条件的“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”的准确判断。
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复习引入
一个命题中，其中是条件，是结论，
如果(条件结论)，就称“是的充分条件”；
如果(结论条件)，就称“是的必要条件”。
思考讨论：
勾股定理：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两条直角边的平方和等于斜边的平方.
勾股定理逆定理：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方.那么这个三角形是直角三角形.
根据上面两个定理，条件“三角形是直角三角形”是结论“两边的平方和等于第三边的平方”的什么条件？
提示：由原定理：“三角形是直角三角形”“两边的平方和等于第三边的平方”
所以条件“三角形是直角三角形”是结论“两边的平方和等于第三边的平方”的充分条件；
又由逆定理：“两边的平方和等于第三边的平方”
所以条件“三角形是直角三角形”是结论“两边的平方和等于第三边的平方”的必要条件.
二、新知识
一般的，如果，且，那么称是的充分且必要条件，简称充要条件.
注意：①命题中是条件，是结论，
如果（条件结论），并且（结论条件），就称“是的充要条件”
这时可以记作，即与等价.
如：“实数”是“实数”的充要条件，即.
②一个命题的条件分为：“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”四种，大家在判断时，力争准确表述。
如：“三角形是直角三角形”是“一边的中线等于该边长的一半”的充要条件；
“”是“”的充分不必要条件.
例3：在下列命题中，试判断是的什么条件.
(1)：，：；
(2)：，：；
(3)：四边形的对角线相等，：四边形是平行四边形.
解：(1)因为“”是真命题，“”也是真命题，所以是的充要条件；
(2)因为“ ”是真命题，“”是假命题，所以是的充分不必要条件；
(3)因为“四边形的对角线相等四边形是平行四边形”是假命题，“四边形是平行四边形”也是假命题，所以是的既不充分也不必要条件.
思考讨论
1、在下列命题中，试判断是的什么条件.
(1)：，：一元二次方程有两个实数根；
(2)已知的三边为，：，：是等边三角形.
2、求方程至少有一个负数解的充要条件.
提示：1(1)由：一元二次方程有两个实数根，得，即：
则：：，但：：
所以是的充分不是必要条件；
(2)由：，
即
，
：是等边三角形
所以，，是的充要条件.
2. 方程至少有一个负数解
当时，方程的解为，符合条件
当时，设方程的两解为，显然方程的解不为0，所以方程至少有一个负数解
则或
解得或
综上：，
即方程至少有一个负数解的充要条件是.
三、课堂练习
教材P18，练习1、2、3.
四、课后作业
教材P22，习题1-2，A组第2题、B组第1题
(1)对于一个命题“若，则”，利用“”和“”真假性，判断是的什么条件，一般注意先将和分别进行运算、化简，再做判断；
(2)以往我们解答数学问题，都是找问题成立的充要条件.