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专题06 角平分线的性质与判定
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 角平分线的性质定理
1．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
【详解】解：如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，
∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=4，∴四边形ABCD的面积=．故选：B．
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB DE＝×10 DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3.
故选：B.
3．如图，OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是（ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD
B．C．OC＝OP D．∠CPO＝∠DPO
【详解】解：∵OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，
∴PC＝PD，∠DOP=∠COP，且OP=OP，故A正确，
∴△ODP≌△OCP（HL），
∴OD=OC，∠CPO＝∠DPO，故B，D正确，
故选C．
4．如图，在△ABC中，，，，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是，，则的值为（ ）
A．1：2 B．2：5 C．3：5 D．1：5
【详解】解：如图，过点D作DE⊥BC于点E，
∵，BD是∠ABC的平分线，
∴DE=AD，
∵，，
∴．
故选：B
5．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
【详解】解：角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
由此可知，到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点，
故选：D．
6．如图，，，表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
【详解】解：如图，
作直线所围成的三角形的外角平分线和内角平分线，外角平分线相交于点，内角平分线相交于点，根据角平分线的性质可得到这4个点到三条公路的距离分别相等．
故选：D．
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【详解】解：是的平分线，且，
，
，
，
，即，
解得，
故选：C．
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cm B．6cm C．10cm D．不能确定
【详解】解：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，
∴∠EAD=∠CAD，∠C=∠AED=90°，CD=DE，
在△DCA和△DEA中，
，
∴△DCA≌△DEA(AAS)，
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴AE=AC=BC，
∵AB=10cm，
∴△DEB的周长为BD+DE+BE
=BD+CD+BE
=BC+BE
=AE+BE
=AB
=10cm，
故选：C．
9．如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：过O分别作，，，
BO是平分线，
，
CO是平分线，
，
，
，，，
．
故选：D．
10．如图，，点是的平分线上一点，点是射线上一点，，于点，于点，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【详解】解：∵点P是∠ABC的平分线上一点，
∴∠DBP＝∠EBP，
∵∠DBP＝∠DPB，
∴∠EBP＝∠DPB，
∴，
∴∠CDP＝∠ABC＝30°，
∵PF⊥BC，PD＝6，
∴PF＝PD＝3，
∵点P是∠ABC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，
∴PE＝PF＝3，
故选：D．
考查题型二 角平分线的判定定理
11．如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
【详解】解：如图：连接AP，
∵PR=PS，
∴AP是∠BAC的平分线，
在Rt△APR与Rt△APS中，
∴Rt△APR≌Rt△APS(HL)，
∴AS=AR，故①正确；
∵AQ=PQ，
∴∠BAP=∠QAP=∠QPA，
∴，②正确；
BC只是过点P，并没有固定，故△BRP≌△CSP③不成立．
故选：C．
12．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若，则∠BOC的度数为（ ）
A．150° B．120° C．110° D．100°
【详解】解：∵点O到△ABC三边的距离都相等，
∴OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
13．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
【详解】解：在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC-FC，
∴AC-AB＝BE+FC＝2BE，
即AC-AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④．
故选C．
14．点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【详解】解：连接AO、BO、CO，过O点作OM⊥BC于M点，过O点作ON⊥AB于N点，如图，
∵O到三角形三边距离相等，OM⊥BC，ON⊥AB，
∴OM=ON，∠ONB=∠OMB=90°，
∴Rt△ONB和Rt△OMB中，根据OB=OB，OM=ON，
可得Rt△ONB≌Rt△OMB，
∴∠OBN=∠OBM，
∴BO是∠ABC的角平分线，
同理可证AO，CO分别为∠BAC、∠ACB的角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO∠ABC，∠BCO＝∠ACO∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°，
故选：A．
15．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
16．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
【详解】在图1中，利用基本作图可判断AD平分∠BAC；
在图2中，利用基本作图得到D点为BC的中点，则AD为BC边上的中线；
在图3中，根据作法可知：
AE=AF，AM=AN，
在△AMF和△ANE中，
，
∴△AMF≌△ANE（SAS），
∴∠AMD=∠AND，
∵AE=AF，AM=AN，
∴ME=NF，
在△MDE和△NDF中，
，
∴△MDE≌△NDF（AAS），
所以D点到AM和AN的距离相等，
∴AD平分∠BAC．
综上，能判断射线AD平分∠BAC的是图1和图3．
故选：C．
17．如图，在钝角中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．平分
【详解】根据旋转的性质可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，
∴∠BAE=∠CAE-∠CAB=70°-35°=35°，AC=AE，AB=AD，BC=DE，∠ABC=∠ADE，故A、B错误，
∴∠CAB=∠EAB，
∵AC=AE，AB=AB，
∴△CAB≌△EAB，
∴△EAB≌△EAD
∴∠BEA=∠DEA，
∴AE平分∠BED，故D正确，
∴AD+BE=AB+BE＞AE=AC，故C错误，
故选：D．
18．如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【详解】如图，过点D作于点F．
∴在和中，
∴，
∴，
∴AD为的角平分线，
∴，
∴．
故选C．
19．如图，在△ABC中，BC＝1，AB＝3，，D为AC上一点，连接BD，若，则的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．20°
【详解】解：设△BCD中BC边上的高为：h1，△ABD中AB边上的高为：h2，
∵BC=1，AB=3，S△BCD：S△ABD=1：3，
∴h1=h2，
∴BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD==35°．
故选：B．
20．如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【详解】解：∵△ABC与△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，DC=EC，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
∴(SAS)
∴AD=BE，
故①正确；
∵，
∴∠DAC=∠EBC，
又∵∠ACB=∠BCD=60°，AC=BC，
∴，
故②正确；
∵，
∴AM=BN，
∴AD-AM=BE-BN
即DM=EN
故③正确；
∵∠DAC=∠EBC，∠AMC=∠BMD
∴∠BOM=∠ACB=60°
∴∠AOE=120°
故④正确；
如图，连接OC，过点C作CH⊥AB于点H，作CF⊥BE于点F，
∵，
∴CH=CF，
∴平分，
故⑤正确；
故选：D．
考查题型三 角平分线性质与判定综合
21．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：设点O到BC的距离为x，
∵O是△ABC的角平分线的交点，
∴点O到AB，BC，AC的距离相等，都等于x，
∵△ABC的面积为24，周长为24，
∴，
解得：x=2．
即点O到BC的距离为2．
故选：B．
22．到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三条高的交点 B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条角平分线的交点 D．不存在这个点
【详解】因为三角形三条高的交点到三边的距离不相等，
故A不符合题意；
因为三角形三条中线的交点到三边的距离不相等，
故B不符合题意；
因为三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等，
故C符合题意；
因为存在这个点到三边的距离相等，
故D不符合题意；
故选C．
23．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解∶如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，
∵和的角平分线交于点O，，
∴OD=OE，OD=OF，
∴OD=OE=OF=3cm，
∵的周长是，
∴AB+BC+AC=36cm，
∵，
∴．
故选：B
24．如图，是中的角平分线，于点E，，则的长是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
【详解】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE＝DF，
由图可知，S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，
∴×6×3＋×AC×3＝15，
解得AC＝4．
故选：A．
25．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM的一个动点，若PA＝4，则PQ的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【详解】解：作PQ⊥OM于Q，
则此时PQ最小，
∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PQ⊥OM，
∴PQ＝PA＝4，即PQ的最小值为4，
故选：C．
26．如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【详解】解：作直线l2与l3夹角的平分线OA，OB，交直线l1于A，B两点，如图，
则在l1上到另两条公路的距离相等的位置有点A和点B两个位置．
故选：B．
27．2022年左权县将倾力打造泽城村“中国北方国际写生基地”，实现“山水-写生-消费-产业“的全链条发展，为方便百姓利用直播带货，助推家乡产业发展，中国移动通信公司已经资助建设5G直播仓。目前，政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库Р到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点
【详解】解：∵仓库Р到村庄A、B、C的距离相等，
∴仓库P应选在三边的垂直平分线的交点．
故选：B．
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专题06 角平分线的性质与判定
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 角平分线的性质定理
1．如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝5，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．28 C．30 D．32
2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，OP平分∠BOA，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论中错误的是（ ）
A．PC＝PD B．OC＝OD
B．C．OC＝OP D．∠CPO＝∠DPO
4．如图，在△ABC中，，，，BD是∠ABC的平分线，设△ABD和△BDC的面积分别是，，则的值为（ ）
A．1：2 B．2：5 C．3：5 D．1：5
5．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（ ）
A．三条中线的交点 B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点
6．如图，，，表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（ ）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
7．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，则AC长是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB=10cm，则△DEB的周长为（ ）
A．4cm B．6cm C．10cm D．不能确定
9．如图，的三边、、长分别是30、40、50，和的角平分线交于O，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，点是的平分线上一点，点是射线上一点，，于点，于点，，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
考查题型二 角平分线的判定定理
11．如图，，分别是，上的点，过点作于点，作于点，若，，则下面三个结论：①；②；③，正确的是（ ）
A．①③ B．②③ C．①② D．①②③
12．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若，则∠BOC的度数为（ ）
A．150° B．120° C．110° D．100°
13．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC－AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
14．点O在△ABC内部，且到三边的距离相等，∠A=40°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
15．小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形的三条高交于一点
D．三角形三边的垂直平分线交于一点
16．在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线平分的是（ ）
A．图2 B．图1与图2 C．图1与图3 D．图2与图3
17．如图，在钝角中，，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，连接．则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．平分
18．如图，已知在中，，点D，E分别在边，上，，，若，则的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
19．如图，在△ABC中，BC＝1，AB＝3，，D为AC上一点，连接BD，若，则的度数为（ ）
A．40° B．35° C．30° D．20°
20．如图，点在一条直线上，分别以，为边作等边三角形、，连接、，分别交、于点，相交于点．则下列说法：①；；③；④；⑤连接，则平分．其中正确的说法个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
考查题型三 角平分线性质与判定综合
21．如图，O是△ABC的角平分线的交点，△ABC的面积和周长都为24，则点O到BC的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．到三角形三边的距离相等的点是（ ）
A．三角形三条高的交点 B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条角平分线的交点 D．不存在这个点
23．如图，已知的周长是，和的角平分线交于点O，于点D，若，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
24．如图，是中的角平分线，于点E，，则的长是（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．6
25．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM的一个动点，若PA＝4，则PQ的最小值为（ ）
A． B．2 C．4 D．
26．如图，l3与两条平行公路l1，l2三条公路相交，若要在l1上确定某个位置，使其到另两条公路的距离相等，这样的位置有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
27．2022年左权县将倾力打造泽城村“中国北方国际写生基地”，实现“山水-写生-消费-产业“的全链条发展，为方便百姓利用直播带货，助推家乡产业发展，中国移动通信公司已经资助建设5G直播仓。目前，政府为更好地服务农民，将在村庄A、B、C之间的空地上新建一座仓库P．已知A、B、C恰好在三条公路的交点处，要求仓库Р到村庄A、B、C的距离相等，则仓库P应选在（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高所在直线的交点
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