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专题08 等腰三角形
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 等腰三角形的性质
1．如图，的周长为20，底边，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【详解】解：∵△ABC的周长为20，底边BC＝6，AB＝AC，∴AC＝×(20 6)＝7，∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴△BEC的周长＝BE＋CE＋BC＝AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝7＋6＝13．故选：A．
2．如图所示，过正五边形的顶点作直线，则的度数为（ ）
A．36° B．72° C．108° D．72°或36°
【详解】解：∵五边形ABCD是正五边形，
∴AB=AE，，
∴，
故选A．
3．如图，在中，，为上一点，且，，则的大小为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．45°
【详解】解：∵AB=AC，DA=DC，BD=BA，
∴∠B=∠C，∠DAC=∠C，∠BAD=∠BDA，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，∠B+∠BAD+∠BDA=180°，
∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=∠B+∠BAD+∠BDA，
∴∠BDA=∠DAC+∠C=2∠B，
∴5∠B=180°，
∴∠B=36°，
故选：B．
4．如图，在中，，，与关于直线为称，，连接，则的度数是（ ）
A．36° B．40° C．42° D．46°
【详解】解：连接B
∵△A与△ABC关于直线EF对称，
∴△BAC≌△，
∵AB＝AC，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠BAC＝∠＝180°-72°-72°=36°，
∵∠CAF＝12°，
∴∠AF＝12°，
∴∠BA＝36°＋12°＋12°＋36°＝96°，
∴∠AB＝∠AB＝．
故选：C．
5．等腰三角形中有一个角是30°，则其底角的度数是（ ）
A．75° B．30° C．75°或30° D．120°或30°
【详解】解：当底角为30°时，则它的底角度数为30°；
当顶角为30°时，则其底角为：，
综上所述， 其底角的度数是75°或30°．
故选：C．
6．等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则其腰长为（ ）
A．3cm B．3cm或4.5cm C．4.5cm D．以上都不对
【详解】因为等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，
当3cm为腰长时，其余两边的长分别为3cm，6cm,3+3=6三角形不存在；
当3cm为底边长时，其余两边的长都为（12-3）÷2=4.5cm，三角形存在；
故选C．
7．等腰三角形的一个内角是，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【详解】解：如图，在中，，是边上的高．
①当时，则，
，
；
②当时，
，
；
综上，这个等腰三角形一腰上的高与底边的夹角的度数为或，
故选：C．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠B＝30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【详解】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD为BC边上的中线，∠BAD=∠CAD，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠B=30°，
∴∠BAD=60°，
∴∠CAD=60°．
故选：B．
9．已知实数x，y满足，则以x，y为边的等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．12 C．10 D．8或10
【详解】解：∵，
∴x－2≥0，2-x≥0，
∴x＝2，y＝4，
当2是腰长时，三边分别为2、2、4的三角形不存在；
当2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长＝2+4+4＝10，
故选：C．
10．在三角形中已知两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是（ ）
A．30°、60° B．40°、70° C．50°、60° D．100°、30°
【详解】解：根据三角形内角和定理，
A，当已知两个内角是，时，另一个内角为，不存在两个相等的角，因此不存在两个相等的边，不是等腰三角形；
B，当已知两个内角是，时，另一个内角为，存在两个相等的角，因此存在两个相等的边，是等腰三角形；
C，当已知两个内角是，时，另一个内角为，不存在两个相等的角，因此不存在两个相等的边，不是等腰三角形；
D，当已知两个内角是，时，另一个内角为，不存在两个相等的角，因此不存在两个相等的边，不是等腰三角形；
故选B．
考查题型二 等腰三角形的判定
11．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．5 B．6 C．8 D．9
【详解】解：如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧与坐标轴有6个交点，OA的垂直平分线与坐标轴的交点有2个，
综上所述，满足条件的点P有8个．
故选：C．
12．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知，是两格点，如果点也是格点，且使得是以为腰的等腰三角形，那么点的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【详解】解：如图，以为等腰其中的一条腰时，符合条件的点有个．
故选：B．
13．如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：由作图的痕迹得AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意；
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，CD∥AB，
∴∠BAE=∠DEA，
∴∠DEA=∠DAE，
∴DA=DE，所以B选项不符合题意，
∴CD=DE，所以D选项不符合题意，
不能确定DE=BE，所以C选项符合题意．
故选：C．
14．下列条件能判定为等腰三角形的是（ ）
A．， B．，，
C．， D．
【详解】解：A、当∠A＝30°，∠B＝60°时，∠C＝90°，△ABC不是等腰三角形，不符合题意；
B、AB≠AC≠BC，△ABC不是等腰三角形，不符合题意；
C、当A＝50°，∠B＝80°时，∠C＝50°，△ABC是等腰三角形，符合题意
D、当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，三个内角互不相等，△ABC不是等腰三角形，不合题意；
故选：C．
15．如图，在平行四边形中，平分交于点，平分交于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB=3，
，
平分，
，则，
，
同理可证：，
则．
故选A．
16．在平行四边形ABCD中，，BE平分交AD于点E，CF平分交AD于点F，且，则AB的长为（ ）
A．3 B．5 C．2或3 D．3或5
【详解】解：有两种情况，
①如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴∠AEB=∠EBC，∠DFC=∠FCB，
∵BE平分，CF平分，
∴∠ABE=∠EBC，∠DCF=∠FCB，
∴∠ABE=∠AEB，∠DCF=∠DFC，
∴AB=AE，CD=DF，则AB=AE=DF，
∵AD=AE+DF-EF=8，EF=2，
∴AE=5，则AB=5；
②如图2，
由①中得：AB=CD，AB=AE，CD=DF，则AB=AE=DF，
∵AD=AF+DE+EF=6，EF=2，
∴AF=3，则AB=3，
综上，AB的长为3或5，
故选：D．
17．如图，上午8时一艘船从A处出发以15海里每时的速度向正北方向航行，10时到达B处．从A处测得灯塔C在北偏西22.5°方向，从B处测得灯塔C在西北方向．则B处到C处的距离是（ ）
A．15 B．30 C． D．
【详解】解：由题意得：∠A=22.5°，∠CBD=45°，AB=15×2=30（海里），
∴∠BCA=∠CBD -∠A =45°-22.5°=22.5°，
∴∠BCA=∠A，
∴BC=AB=30（海里），
故选：B．
18．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，且．若平行四边形的周长是16，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【详解】解：在平行四边形中，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE=3，
∵平行四边形的周长是16，
∴AB+BC=8，
∴BC=5，
∴CE=BC-BE=2．
故选：B
19．满足下列条件的三角形：①内角比为1：2：1;②内角比为2：2：5;③内角比为1：1：1;④内角比为1：2：3，其中，是等腰三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【详解】由等腰三角形的两角相等，即内角比中两角的比相同可知①②③符合题，
故选．
20．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．1.5
【详解】解：∵∠1=∠BEF，
∴CD∥AB，
∴∠FGE=∠BEG，
∵EG平分∠BEF，
∴∠FEG=∠BEG，
∴∠FGE=∠FEG，
∴FG=EF=3，
故选：B．
考查题型三 等腰三角形性质与判定综合
21．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
(1)求证：AB＝AC；
(2)若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
（1）
证明：过点A作AF⊥BC于点F，如图所示：
∵AD＝AE，
∴DF＝EF，
∵BD＝CE，
∴BF＝CF，
∴AB＝AC；
（2）
解：由（1）知AB＝AC，
∠BAC＝108°，
，
AD＝AE，∠DAE＝36°，
，
是的一个外角，
，
同理，，
∠B＝∠BAD＝36°，∠C＝∠EAC＝36°，∠BAE＝∠BEA＝72°，∠ADC＝∠DAC＝72°，
∴除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形为：△ABD、△AEC、△ABE、△ADC．
22．如图，在中，和的平分线交于点，过点作EF∥BC，交于、交于．的周长为，且，求的周长．
【详解】∵和的平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，，
∴∠COF＝∠FCO，∠BOE＝∠OBE，
∴ ，，
∴△AEF的周长＝AF＋FO＋EO＋AE＝AF＋FC＋EB＋AE＝AB＋AC＝8cm，
∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝8＋4＝12（cm）．
23．项目研究：剪等腰三角形
（1）动手尝试：
如图，有甲，乙两张三角形纸片，甲三角形纸片的内角分别为40°，60°，80°；乙三角形纸片的内角分别为35°，40°，105°，你能把每一张三角形纸片剪成两个等腰三角形吗？若能，请画出剪痕并标出各角的度数；若不能，请说明理由．
（2）项目研究：
结合上述尝试，请思考归纳出一张三角形纸片能剪成两个等腰三角形需具备的条件，并画出相应的示意图说明剪法．
【详解】解：（1）如图所示，
（2）分为三类，
如图①，直角三角形一定可以剪成两个等腰三角形，剪痕为斜边上的中线；
如图②，原三角形中有一个角是另一个角的两倍，且最小角小于45°；
如图③，原三角形中有一个角是另一个角的三倍．
24．已知，线段，求作：等腰，使得顶角，上的高为．
【详解】作法：1．作
2．作的平分线，并在射线上截取；
3．过点作直线分别交的两边于，，
由作图可知：，，，是的平分线，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
则就是所求三角形．
25．如图所示，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，并延长AE交BC的延长线于点F．
(1)求证：FC=AD；
(2)若AB=BC+AD，∠ABE=30°，求∠F的度数．
（1）
证明：∵ADBC，
∴∠ADC＝∠ECF，
∵E是CD的中点，
∴DE＝EC，
∵在△ADE与△FCE中，，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC＝AD；
（2）
解：∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，FC＝AD，
∵AB＝BC＋AD，BF＝BC＋CF＝BC＋AD，
∴AB＝BF，
∴∠ABE＝∠FBE＝30°，BE⊥AF，
∴∠F＝60°．
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专题08 等腰三角形
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 等腰三角形的性质
1．如图，的周长为20，底边，，的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．如图所示，过正五边形的顶点作直线，则的度数为（ ）
A．36° B．72° C．108° D．72°或36°
3．如图，在中，，为上一点，且，，则的大小为（ ）
A．30° B．36° C．60° D．45°
4．如图，在中，，，与关于直线为称，，连接，则的度数是（ ）
A．36° B．40° C．42° D．46°
5．等腰三角形中有一个角是30°，则其底角的度数是（ ）
A．75° B．30° C．75°或30° D．120°或30°
6．等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则其腰长为（ ）
A．3cm B．3cm或4.5cm C．4.5cm D．以上都不对
7．等腰三角形的一个内角是，则它一腰上的高与底边的夹角的度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∠B＝30°，则∠CAD的度数为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
9．已知实数x，y满足，则以x，y为边的等腰三角形的周长为（ ）
A．8 B．12 C．10 D．8或10
10．在三角形中已知两个内角，能判定这个三角形是等腰三角形的是（ ）
A．30°、60° B．40°、70° C．50°、60° D．100°、30°
考查题型二 等腰三角形的判定
11．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，2），点P在坐标轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个．
A．5 B．6 C．8 D．9
12．在正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知，是两格点，如果点也是格点，且使得是以为腰的等腰三角形，那么点的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
13．如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
14．下列条件能判定为等腰三角形的是（ ）
A．， B．，，
C．， D．
15．如图，在平行四边形中，平分交于点，平分交于点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
16．在平行四边形ABCD中，，BE平分交AD于点E，CF平分交AD于点F，且，则AB的长为（ ）
A．3 B．5 C．2或3 D．3或5
17．如图，上午8时一艘船从A处出发以15海里每时的速度向正北方向航行，10时到达B处．从A处测得灯塔C在北偏西22.5°方向，从B处测得灯塔C在西北方向．则B处到C处的距离是（ ）
A．15 B．30 C． D．
18．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，且．若平行四边形的周长是16，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
19．满足下列条件的三角形：①内角比为1：2：1;②内角比为2：2：5;③内角比为1：1：1;④内角比为1：2：3，其中，是等腰三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
20．如图，直线l分别与直线AB、CD相交于点E、F，EG平分∠BEF交直线CD于点G，若∠1＝∠BEF，若EF＝3，则FG为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．1.5
考查题型三 等腰三角形性质与判定综合
21．如图，点D、E在△ABC的边BC上，AD＝AE，BD＝CE．
(1)求证：AB＝AC；
(2)若∠BAC＝108°，∠DAE＝36°，直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰三角形．
22．如图，在中，和的平分线交于点，过点作EF∥BC，交于、交于．的周长为，且，求的周长．
23．项目研究：剪等腰三角形
（1）动手尝试：
如图，有甲，乙两张三角形纸片，甲三角形纸片的内角分别为40°，60°，80°；乙三角形纸片的内角分别为35°，40°，105°，你能把每一张三角形纸片剪成两个等腰三角形吗？若能，请画出剪痕并标出各角的度数；若不能，请说明理由．
（2）项目研究：
结合上述尝试，请思考归纳出一张三角形纸片能剪成两个等腰三角形需具备的条件，并画出相应的示意图说明剪法．
24．已知，线段，求作：等腰，使得顶角，上的高为．
25．如图所示，在四边形ABCD中，，E为CD的中点，连接AE、BE，并延长AE交BC的延长线于点F．
(1)求证：FC=AD；
(2)若AB=BC+AD，∠ABE=30°，求∠F的度数．
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