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专题09 等边三角形
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 等边三角形的性质
1．如图，在等边中，为边上的中点，以为圆心，为半径画弧，与边交点为，则的度数为（ ）
A．60° B．75° C．105° D．115°
【详解】解：在等边△ABC中，D为BC边上的中点，∴∠DAC=∠BAC= 30°，在△ADE中，AD=AE，∴∠AED=∠ADE=（180°-30°）=75°，∵∠AED+∠DEC=180°，∴∠DEC=180°-75°=105°，故选：C．
2．如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（ ）
A．18° B．20° C．30° D．15°
【详解】解：∵三角形是等边三角形，
又∵，
∴，，
在和中，
，
∴（SAS），
∴，
又∵三角形是等边三角形，
∴，
∴．
故选：D
3．已知直线ab，将等边三角形ABC按如图方式放置，点B在直线b上，若∠2＝132°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．12° C．18° D．30°
【详解】解：如下图，
∵∠2＝132°，ab，
∴∠3＝∠2＝132°，∠3+∠4＝180°，
∴∠4＝180°﹣132°＝48°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠1＝60°﹣∠4＝60°﹣48°＝12°，
故选：B．
4．如图，等边的边长为4，连接其三边的中点构成一个新的三角形，新的三角形周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【详解】解：如图，
∵等边△ABC的边长为4，
∴AB=AC=BC=4，
∵D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，
∴DE=AC=2，EF=AB=2，DF=BC=2，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=6，
故选：C．
5．如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②△EDP≌GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴，，
故①正确；
在和中，
∴（AAS），
故②正确；
∵，
∴只有当时，，
故③错误；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故④正确；
综上，①②④正确，
故选D．
6．如图，正方形外侧作等边三角形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB=AD=AE，∠BAD=90°，∠DAE=60°，
∴∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠AEB=（180°-150°）÷2=15°．
故选：C．
7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【详解】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CGD＋∠CDG，
∴∠CGD＋∠CDG＝60°，
∵CG＝CD，
∴∠CGD＝∠CDG＝30°，
∵∠CDG＝∠DFE＋∠E，
∴∠DFE＋∠E＝30°，
∵DF＝DE，
∴∠E＝∠DFE＝15°，
故选：A．
8．如图，AB//CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
【详解】解：为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
解得．
故选：D．
9．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=CD(三线合一)
∴DC=cm，
∵∠E = 30°
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°
∴∠CDE=∠E
所以CD=CE=2cm
故选：B．
10．如图，等边的边长与菱形的边长相等，点、分别在边、上，则∠的度数是（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
【详解】解：∵等边的边长与菱形ABCD的边长相等，
∴AB=AE，AD=AF，
∴∠BAE=180°-2∠B，∠DAF=180°-2∠D，
∵在菱形ABCD中，∠B=∠D，AD∥BC，
∴∠BAD+∠B =180°，又∵∠EAF=60°，
∴∠BAE+∠EAF+∠DAF+∠B =180°，
∴180°-2∠B+60°+180°-2∠D+∠B=180°，
整理得，3∠B=240°，
解得∠B=80°．
故选：D．
考查题型二 等边三角形的判定
11．下列图形中，一定是等边三角形的是（ ）
A．B．C． D．
【详解】解：∵含有60°的等腰三角形是等边三角形，A、B、C、D都是等腰三角形，只有B选项有一个内角是60°，则B选项是等边三角形，
故选B
12．如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝4，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=AC=2，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB=2，
∵∠BOC=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=2；
故选：A．
13．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．三边都相等的三角形 B．三个角都相等的三角形
C．有一个角等于的三角形 D．有两个角等于的三角形
【详解】解：A、三边都相等的三角形是等边三角形，正确，故本选项不符合题意；
B、三个角都相等的三角形三边都相等，故此三角形是等边三角形，正确，故本选项不符合题意；
C、有一个角等于的三角形，不一定是等边三角形，错误，故本选项符合题意；
D、有两个角是60°的三角形，那么第三个角也是60°，故是等边三角形，正确，故本选项不符合题意；
故选：C．
14．下列条件中，不能判断是等边三角形的是（ ）．
A．， B．，
C． D．
【详解】解：A选项：∵AB=AC．∠B=60°．
∴△ABC是等边三角形，故A选项不符合题意；
B选项：∵∠B=∠A，∴AC=BC，
∵AB=AC，∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，故B选项不符合题意；
C选项：∵∠A=∠B=60°，∠C=180° ∠A ∠B=60°，
∴∠A=∠B=∠C，∴AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，故C选项不符合题意；
D选项：∵∠A+∠B=2∠C，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C=60°，不能判断△ABC是等边三角形，故D选项符合题意，
故选：D．
15．三角形的三边长，，满足，那么这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．钝角三角形
【详解】解：
且且
且且
是等边三角形.
故选B
16．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
【详解】解：如图在OA、OB上截取OE=OF=OP，作∠MPN=60°．
∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
在△PEM和△PON中，
，
∴△PEM≌△PON．
∴PM=PN，
∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
∴只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故选D．
17．已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．
【详解】解：∵
∴△BCD是等边三角形
故选项B正确；
∵，
∴
∴
故选项A正确；
∵，
∴据三线合一得出AD垂直平分BC
故选项C正确；
∵四边形ABCD的面积等于的面积与的面积之和
∴
故选项D错误．
故选：D．
18．若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：因为最小角为60度，则该三角形的最大角不能大于60度，否则不合题意，则可以得到其三个角均为60度，即是一个等边三角形，故（3）正确；
其最大角不大于90度，所以是锐角三角形，故（1）正确；
等边三角形是特殊的等腰三角形，故（2）正确；
这个图形是等边三角形，形状可以确定，故（4）错误；
存在这样的三角形，即等边三角形，故（5）错误；
所以前三项正确，即正确的有三个．
故选C．
19．如图，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN是等边三角形．下列结论：
①AN=BM;②CE=CF;③△CEF是等边三角形;④∠ECF=60° ．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【详解】解：（1）∵△ACM，△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=NC，∠ACM=60°=∠NCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠NCB+∠MCN, 即∠ACN=∠MCB
在△CAN和△MCB中，
，
∴△CAN≌△CMB（SAS），
∴AN=BM，①正确；
∵△CAN≌△CMB，
∴∠CAN=∠CMB，
又∵∠ECF=180°-∠ACM-∠NCB=180°-60°-60°=60°，
∴∠ECF=∠ACE，
在△CAE和△CMF中，
，
∴△CAE≌△CMF（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF为等腰三角形，
又∵∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形，所以②③④正确，
故选：D．
20．如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，则△BCD是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【详解】∵∠A=65°，∠ABC=85°，∴∠ACB=30°．
∵CA平分∠BCD，∴∠BCD=2∠ACB=60°．
∵直线MN为BC的垂直平分线，∴BD=CD，∴△BCD是等边三角形．
故选A．
考查题型三 等边三角形性质与判定综合
21．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．
（1）求证：△AEB≌△CDA；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长．
【详解】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，
在△AEB和△CDA中，
，
∴△AEB≌△CDA（SAS）；
（2）∵△AEB≌△CDA，
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP，
即∠BPQ=∠BAC=60°；
（3）∵BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ=12，
∴BE=BP+PE=12+2=14．
22．如图，菱形中，、分别是、边上的点，且．
(1)求证：；
(2)若菱形中，，，求菱形的面积．
（1）
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，
∵CE=CF，
∴BC-CE=CD-CF，即BE=DF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）
解：连接AC与BD交于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，AB=BC，
∵∠BCD＝120°，
∴∠ABC=180°-∠BCD=60°，
∴△BAC是等边三角形，
又∵AB＝4，
∴AC=AB=4，
∴，
∴
∴．
23．如图，△ABC中，AB＝AC，延长CB至点D，延长BC至点E，使CE＝BD，连接AD，AE．
(1)求证：AD＝AE；
(2)若AB＝BC＝BD，求∠DAE的度数．
（1）
证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ABD＝∠ACB+∠BAC，∠ACE＝∠ABC+∠BAC，
∴∠ABD＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE；
（2）
解：∵AB＝AC，AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AB＝BD，
∴∠DAB＝∠D，
∵∠ABC＝∠DAB+∠D，
∴∠D＝30°，
同理可得∠E＝30°，
∴∠DAE＝180°﹣30°﹣30°＝120°．
24．如图，在等边△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E和F，求证：BE＝EF＝FC．
【详解】∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°．
∵BO，CO是∠ABC，∠ACB的平分线，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=180°-30°-30°=120°．
∵BO，CO的垂直平分线分别交BC于点E和F，
∴OE=BE，OF=CF，
∴∠BOE=∠OBC=∠OCF=∠COF=30°，
∴∠EOF=120°-30°-30°=60°．
∵∠OEF，∠OFE是△OBE，△OFC的外角，
∴∠OEF=∠OBE+∠BOE=60°，∠OFE=∠COF+∠OCF=60°，
∴∠EOF=∠OEF=∠OFE，
∴△OEF是等边三角形，
∴OE=EF=OF，
∴BE=EF=CF．
25．在等边△ABC中，
(1)如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
(2)点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
（1）
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠APC＝∠BAP+∠B＝80°．
∵AP＝AQ，
∴∠AQB＝∠APC＝80°.
（2）
①补全图形如图所示，
②证明：过点A作AH⊥BC于点H，如图．
由△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°.
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴∠APQ﹣∠B＝∠AQP﹣∠C，
即∠PAB＝∠QAC.
∵点Q，M关于直线AC对称，
∴∠QAC＝∠MAC，AQ＝AM，
∴∠MAC+∠PAC＝∠PAB+∠PAC＝60°，
∵AP＝AM，
∴△APM为等边三角形，
∴PA＝PM．
考查题型四 含30°角的直角三角形
26．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD中点，则△AEF周长等于（ ）
A． B． C． D．3
【详解】解：如图，连接AC，
∵菱形ABCD，∠B＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵点E是BC的中点，
∴AE＝，∠EAC＝30°，
同理可得：AF＝，∠FAC＝30°，
∴AE＝AF，∠EAC＝∠FAC，
∴△AEF是等边三角形，
∴△AEF的周长＝3×＝3．
故选：B．
27．如图，∠B=∠D=90°，AB=AD，∠2=60°，BC=5，则AC=（ ）
A．5 B．10 C．15 D．2.5
【详解】解：∵∠B=∠D=90°，AB=AD，CA=AC，
∴Rt△ACB≌Rt△ACD（HL），
∴∠ACB=∠ACD=60°，
∴∠1=30°，
∵BC=5，
∴AC=2BC=10，
故选：B．
28．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，若AE=2，则BE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【详解】解：如图，连接AD，
∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，∠B=∠C=30°，
∴∠ADC=90°，
∵DE⊥AB于点E，EA=2，
∴∠DEA=90°，∠DEB=90°，
∴∠BAD=60°，∠EDA=30°，
∴AD=2AE=4，
∴AB=2AD=8，
∴BE=AB-AE=8-2=6，
故选：B．
29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，AB=8，则BD等于（ ）
A．18 B．4 C．2 D．1
【详解】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，
，
∵CD⊥AB，
，
，
，
．
故选：C．
30．等腰三角形ABC中，，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE＝4cm，则AD等于（ ）
A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm
【详解】解：等腰三角形中，，
是等腰三角形的顶角
由题意画出图形如下：
为的中点
又
故选：A．
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专题09 等边三角形
【热考题型】
【重难点突破】
考查题型一 等边三角形的性质
1．如图，在等边中，为边上的中点，以为圆心，为半径画弧，与边交点为，则的度数为（ ）
A．60° B．75° C．105° D．115°
2．如图，在等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，，则等于（ ）
A．18° B．20° C．30° D．15°
3．已知直线ab，将等边三角形ABC按如图方式放置，点B在直线b上，若∠2＝132°，则∠1的度数为（ ）
A．10° B．12° C．18° D．30°
4．如图，等边的边长为4，连接其三边的中点构成一个新的三角形，新的三角形周长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，已知等边△ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DE⊥BC于E，FG⊥BC于G，DF交BC于点P，则下列结论：①BE=CG；②△EDP≌GFP；③∠EDP=60°；④EP=1中，一定正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④
6．如图，正方形外侧作等边三角形，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．如图，AB//CD，△ACE为等边三角形，∠DCE＝45°，则∠EAB等于（ ）
A．40° B．30° C．20° D．15°
9．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（ ）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
10．如图，等边的边长与菱形的边长相等，点、分别在边、上，则∠的度数是（ ）
A．60° B．70° C．75° D．80°
考查题型二 等边三角形的判定
11．下列图形中，一定是等边三角形的是（ ）
A．B．C． D．
12．如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AC＝4，则AB的长为（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
13．下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ）
A．三边都相等的三角形 B．三个角都相等的三角形
C．有一个角等于的三角形 D．有两个角等于的三角形
14．下列条件中，不能判断是等边三角形的是（ ）．
A．， B．，
C． D．
15．三角形的三边长，，满足，那么这个三角形一定是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰非等边三角形 D．钝角三角形
16．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
17．已知，在△ABC中，，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D； （2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A． B．△BCD是等边三角形
C．AD垂直平分BC D．
18．若一个三角形的最小内角为60°，则下列判断中：（1）这个三角形是锐角三角形；（2）这个三角形是等腰三角形；（3）这个三角形是等边三角形；（4）形状不能确定；（5）不存在这样的三角形．正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
19．如图，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN是等边三角形．下列结论：
①AN=BM;②CE=CF;③△CEF是等边三角形;④∠ECF=60° ．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
20．如图，在△ABC中，直线MN为BC的垂直平分线，交BC于点E，点D在直线MN上，且在△ABC的外面，连接BD，CD，若CA平分∠BCD，∠A=65°，∠ABC=85°，则△BCD是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
考查题型三 等边三角形性质与判定综合
21．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．
（1）求证：△AEB≌△CDA；
（2）求∠BPQ的度数；
（3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长．
22．如图，菱形中，、分别是、边上的点，且．
(1)求证：；
(2)若菱形中，，，求菱形的面积．
23．如图，△ABC中，AB＝AC，延长CB至点D，延长BC至点E，使CE＝BD，连接AD，AE．
(1)求证：AD＝AE；
(2)若AB＝BC＝BD，求∠DAE的度数．
24．如图，在等边△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO、OC的垂直平分线分别交BC于E和F，求证：BE＝EF＝FC．
25．在等边△ABC中，
(1)如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
(2)点P，Q是BC边上的两个动点（不与B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②求证：PA＝PM．
考查题型四 含30°角的直角三角形
26．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝60°，E、F分别是边BC、CD中点，则△AEF周长等于（ ）
A． B． C． D．3
27．如图，∠B=∠D=90°，AB=AD，∠2=60°，BC=5，则AC=（ ）
A．5 B．10 C．15 D．2.5
28．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，若AE=2，则BE的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
29．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB，AB=8，则BD等于（ ）
A．18 B．4 C．2 D．1
30．等腰三角形ABC中，，BC中点为D，过D作DE⊥AB于E，AE＝4cm，则AD等于（ ）
A．8cm B．7cm C．6cm D．4cm
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