2022年秋季湘教版数学九年级第一章 《反比例函数》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·上海市）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0）
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数的性质先求出k=xy<0，再对每个选项一一判断即可。
2．（2022·黔西）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象分支在第二、四象限，
∴k＜0
∴直线y=kx+2经过第一、二、四象限.
故答案为：B.
【分析】利用反比例函数图象分支在第二、四象限，可得到k的取值范围，利用一次函数的图象与系数的关系，可知直线y=kx+2经过第一、二、四象限，即可求解.
3．（2022·海南）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，
∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，
（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，
1×（﹣6）＝﹣6，
，6×1＝6≠﹣6，
则它一定还经过（1，﹣6），
故答案为：C.
【分析】将点（2，-3）代入函数解析式，可求出k的值，再根据k=xy=-6，可得到该图象所经过的点的坐标的选项.
4．（2022·东营）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或，
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
5．（2022·扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，
过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示：
由图可知，
∵、乙、、丁在反比例函数图象上，
根据题意可知优秀人数，则
①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校.
故答案为：C.
【分析】设反比例函数表达式为y=，甲（x1，y1），乙（x2，y2），丙（x3，y3），丁（x4，y4），过甲点作y轴平行线交反比例函数于（x1，y1′），过丙点作y轴平行线交反比例函数于（x3，y3′），由图可知y1′>y1，y3′6．（2022·郴州）如图，在函数 的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数 的图象于点B，连接OA，OB，则 的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：令AB与y轴的交点为C，
∵点A、B分别在反比例函数y=、y=上，
∴S△AOC=1，S△BOC=4，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=5.
故答案为：B.
【分析】令AB与y轴的交点为C，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=1，S△BOC=4，相加即可.
7．（2022·贺州）已知一次函数 的图象如图所示，则 与 的图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，反比函数 的图象位于第一、三象限内.
故答案为：A.
【分析】一次函数y=kx+b，当k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限，一次函数y=kx+b，当k＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限，一次函数y=kx+b，当k＜0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限，一次函数y=kx+b，当k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限；反比例函数 ， 当k＞0时，图象经过第一、三象限，当k＜0时，图象经过第二、四象限，据此判断即可得出答案.
8．（2022·荆州）如图是同一直角坐标系中函数 和 的图象.观察图象可得不等式 的解集为（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵
∴
由图象可知，函数 和 分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为 ，
由图象可以看出当 或 时，函数 在 上方，即 ，
故答案为：D.
【分析】求不等式 的解集，就是求函数 的图象在 的图象的上方部分相应的自变量的取值范围，结合图象即得结论.
9．（2022·枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理先求出OB=3，再求出△ABO≌△BCE，最后求解即可。
10．（2022·日照）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S矩形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出k2-k1=3，最后求解即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·河池）如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 .
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∵图象位于第二象限内，
∴，
∴该反比例函数的解析式为.
故答案为：.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOP=|k|=2，结合反比例函数图象所在的象限可确定出k的值，据此可得函数解析式.
12．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m，则y与x之间的函数关系式是
【答案】y=
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：设y=，
∵500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m，
∴500=，
k=100．
∴y=．
故答案为：y=．
【分析】因为近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，可设出函数式，根据500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m可确定系数，从而求出y与x之间的函数关系式．
13．（2022·济宁）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 ．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】点C是OA的中点，
∴S△ACD = S△OCD， S△ACB = S△OCB，
∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB，
∴S△ABD = S△OBD，
点B在双曲线上，BD⊥ y轴，
∴S△OBD=×8=4，
∴S△ABD =4，
故答案为：4.
【分析】先求出S△ABD = S△OBD，再根据函数解析式的性质求解即可。
14．（2012·北海）每年春季为预防流感，某校利用休息日对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧过程及燃烧完后空气中的含药量y（mg/m3）与时间x（h）之间的关系如图所示，根据消毒要求，空气中的含药量不低于3mg/m3且持续时间不能低于10h．请你帮助计算一下，当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到 h．
【答案】12
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵反比例函数经过点（24，2），
∴反比例函数的解析式为y= ，
令y=6，解得：x=8，
∴直线与双曲线的交点坐标为（8，6），
∴正比例函数的解析式为y= x，
令y= =3，解得：x=16，
令y= x=3，解得：x=4，
∴当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到16﹣4=12h，
故答案为：12．
【分析】首先根据已知点的坐标确定反比例函数的解析式，然后确定两个函数的交点的横坐标，从而确定正比例函数的解析式，最后令两个函数值等于3求得时间相减即可．
15．（2022·呼和浩特）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵在反比例函数y=中，k＞0，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴这两个点在同一象限，
∴，
解得：
故答案为．
【分析】先判断反比函数的增减性，再根据题意可知：这两个点在同一象限，则，解得：。
16．（2022·东营）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数，
∴，
∴，
∴，
∴经过点A的反比例函数表达式为，
故答案为：．
【分析】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，先利用“AAS”证明△ACO≌△ODB可得AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，点A的坐标为（-b，a），将点A的坐标代入解析式可得，即可得到解析式。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【答案】（1）解：由图知：当深度d=20米时，底面积S=500米2，
∴=500米2×20米=10000米3；
（2）解：由（1）得：
，
则（），S随着d的增大而减小，
当时，S=625； 当时，S=400；
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）求出 =500米2×20米=10000米3即可作答；
（2）先求出 （）， 再求解即可。
18．（2022·湘西）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象经过点B（1，3），
∴a+1＝3，∴a＝2．
∴一次函数的解析式为y＝2x+1，
∵反比例函数y＝的图象经过点B（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）解：令y＝0，则2x+1＝0，
∴x＝﹣．
∴A（﹣，0）．
∴OA＝．
∵BC⊥x轴于点C，B（1，3），
∴OC＝1，BC＝3．
∴AC＝1＝．
∴△ABC的面积＝×AC BC＝．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到一次函数解析式；再将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值，即可得到反比例函数解析式.
（2）利用一次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A的坐标，即可求出OA的长；利用BC⊥x轴于点C，可求出OC，BC的长，从而可求出AC的长；然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
19．（2022·柳州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 ， 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点 在 轴上，位于原点右侧，且 ，求 的面积．
【答案】（1）解： 反比例函数图象与一次函数图象相交于点 ， ．
，
解得 ，
反比例函数解析式为 ，
，
解得 ，
点 的坐标为 ，
，
解得 ，
一次函数解析式为 ；
（2）解： ，
，
，
，
的面积 ．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）将A（3，4）代入y=中可求出k2的值，据此可得反比例函数的解析式，将B（-4，m）代入求出m的值，可得点B的坐标，然后将A、B的坐标代入y=k1x+b中求出k1、b的值，据此可得一次函数的解析式；
（2）根据点A的坐标结合勾股定理可得OA的值，根据OA=OD可得OD的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
20．（2022·安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求该反比例函数的解析式及的值；
（2）判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）解：将点 代入 中，得 ，
反比例函数的解析式为 ，
将点 代入 中，
得
（2）解：∵
因为四边形 是菱形， ， ，
， ，
，
由（1）知双曲线的解析式为 ，
，
点 在双曲线上．
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数函数关系式，再把点C的坐标代入反比例函数式求出m值，即可解答；
(2)根据菱形的性质，结合A、C两点的坐标，先求出点B的坐标，再代入函数式进行验证，即可进行判断.
21．（2022·鄂尔多斯）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图像直接写出不等式＜ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．
【答案】（1）解：当y＝的图像在y＝ax+b图像的下方时，＜ax+b成立，
∴；
（2）解：将A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y＝﹣．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6；
（3）解：在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
＝OC×（yA﹣yB）
＝×6×2
＝6，
∴S△AOP＝×6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0，﹣3）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解集即可；
（2）先求出反比例函数为：y＝﹣，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）结合题意，利用三角形的面积公式计算求解即可。
22．（2022·岳阳）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集.
【答案】（1）解：把点代入得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为
（2）解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，
∴，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
∴，
∴
（3）解：根据图象得：不等式的解集为或
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将A（-1，2）代入y=中求出k的值，据此可得反比例函数的解析式；
（2）易得B（1，-2），根据点C是点A关于y轴的对称点可得C（1，2），则CA=2，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）根据图象，找出反比例函数图象在正比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
23．（2022·绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当时，求x的取值范围；
（3）若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，
∴把，代入得，
，解得，，
∴一次函数解析式为
过点P作轴于点H，
∵
∴
又
∴
∴
∴，
∴
∴
∵在双曲线上，
∴
∴
（2）解：联立方程组得，
解得， ，
∴
根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有或，
∴当时，求x的取值范围为或，
（3）解：作点K关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则（1，-2），OM=1，
连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，
设直线的解析式为
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为
当时，，解得，，
∴
∴
∴
，
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出可得一次函数解析式，再求出点，然后将点P的坐标代入求出即可得到答案；
（2）先求出一次函数与反比例函数图象的交点坐标，再结合函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，先求出直线的解析式为再求出点C的坐标可得，最后利用割补法可得，再计算即可。
24．（2022·达州）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于小 ，B两点，分别连接 ， .
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求 的面积：
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵一次函数y=x+1与反比例函数图象交于A（m，2），
∴2=m+1，
∴m＝1，
∴A（1，2），
∴k＝1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y=.
（2）解：联立方程组为：，
整理，解得：或，
∴B（-2，-1），
∵C（0，1），
∴OC=1，
∴S△AOB=OC·（|xB|+|xA|）=×1×（2+1）=.
（3）解：存在，理由如下，
设点P（m，n），
①以BO为对角线时，
∵ ABCD，A（1，2），B（-2，-1），O（0，0），
∴ 1+m=-2+0，2+n=-1+0，
∴m=-3，n=-3，
∴P（-3，-3）；
②以AO为对角线时，
∵ ABCD，A（1，2），B（-2，-1），O（0，0），
∴-2+m=1+0，-1+n=2+0，
∴m=3，n=3，
∴P（3，3）；
③以AB为对角线时，
∵ ABCD，A（1，2），B（-2，-1），O（0，0），
∴1-2=m+0，2-1=n+0，
∴m=-1，n=1，
∴P（-1，1），
综上所述，存在点P（-3，-3）或（3，3）或（-1，1），使得以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由一次函数y=x+1与反比例函数图象交于A（m，2），代入一次函数解析式求得m值，即求出A点坐标，再代入反比例函数解析式求出k值，即可求得反比例函数解析式；
（2）联立方程组，求出B点的坐标，再由S△AOB=OC·（|xB|+|xA|），代入数据计算即可求解；
（3）设点P（m，n），分三种情况：以BO为对角线时，以AO为对角线时，以AB为对角线时，根据平行四边形性质及中点坐标公式，分别求出对应的P点的坐标即可.
1 / 12022年秋季湘教版数学九年级第一章 《反比例函数》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·上海市）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（ ）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0）
2．（2022·黔西）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
3．（2022·海南）若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·东营）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
5．（2022·扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．（2022·郴州）如图，在函数 的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数 的图象于点B，连接OA，OB，则 的面积是（ ）
A．3 B．5 C．6 D．10
7．（2022·贺州）已知一次函数 的图象如图所示，则 与 的图象为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·荆州）如图是同一直角坐标系中函数 和 的图象.观察图象可得不等式 的解集为（ ）
A． B． 或
C． 或 D． 或
9．（2022·枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（ ）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
10．（2022·日照）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（ ）
A．3 B．-3 C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·河池）如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 .
12．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，已知500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m，则y与x之间的函数关系式是
13．（2022·济宁）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是 ．
14．（2012·北海）每年春季为预防流感，某校利用休息日对教室进行药熏消毒，已知药物燃烧过程及燃烧完后空气中的含药量y（mg/m3）与时间x（h）之间的关系如图所示，根据消毒要求，空气中的含药量不低于3mg/m3且持续时间不能低于10h．请你帮助计算一下，当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到 h．
15．（2022·呼和浩特）点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 ．
16．（2022·东营）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·广州）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度d（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求储存室的容积V的值；
（2）受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
18．（2022·湘西）如图，一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝的图象在第一象限交于点B（1，3），过点B作BC⊥x轴于点C．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）求△ABC的面积．
19．（2022·柳州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于 ， 两点．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点 在 轴上，位于原点右侧，且 ，求 的面积．
20．（2022·安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求该反比例函数的解析式及的值；
（2）判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
21．（2022·鄂尔多斯）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图像直接写出不等式＜ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．
22．（2022·岳阳）如图，反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，点是点关于轴的对称点，连接，.
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）请结合函数图象，直接写出不等式的解集.
23．（2022·绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当时，求x的取值范围；
（3）若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
24．（2022·达州）如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于小 ，B两点，分别连接 ， .
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）求 的面积：
（3）在平面内是否存在一点P，使以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数的性质先求出k=xy<0，再对每个选项一一判断即可。
2．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象分支在第二、四象限，
∴k＜0
∴直线y=kx+2经过第一、二、四象限.
故答案为：B.
【分析】利用反比例函数图象分支在第二、四象限，可得到k的取值范围，利用一次函数的图象与系数的关系，可知直线y=kx+2经过第一、二、四象限，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，
∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，
（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，
1×（﹣6）＝﹣6，
，6×1＝6≠﹣6，
则它一定还经过（1，﹣6），
故答案为：C.
【分析】将点（2，-3）代入函数解析式，可求出k的值，再根据k=xy=-6，可得到该图象所经过的点的坐标的选项.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或，
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
5．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象
【解析】【解答】解：设反比例函数表达式为，则令甲、乙、丙、丁，
过甲点作y轴平行线交反比例函数于，过丙点作y轴平行线交反比例函数于，如图所示：
由图可知，
∵、乙、、丁在反比例函数图象上，
根据题意可知优秀人数，则
①，即乙、丁两所学校优秀人数相同；
②，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少；
③，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多；
综上所述：甲学校优秀人数乙学校优秀人数丁学校优秀人数丙学校优秀人数，
在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校.
故答案为：C.
【分析】设反比例函数表达式为y=，甲（x1，y1），乙（x2，y2），丙（x3，y3），丁（x4，y4），过甲点作y轴平行线交反比例函数于（x1，y1′），过丙点作y轴平行线交反比例函数于（x3，y3′），由图可知y1′>y1，y3′6．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：令AB与y轴的交点为C，
∵点A、B分别在反比例函数y=、y=上，
∴S△AOC=1，S△BOC=4，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=5.
故答案为：B.
【分析】令AB与y轴的交点为C，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=1，S△BOC=4，相加即可.
7．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，反比函数 的图象位于第一、三象限内.
故答案为：A.
【分析】一次函数y=kx+b，当k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限，一次函数y=kx+b，当k＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限，一次函数y=kx+b，当k＜0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限，一次函数y=kx+b，当k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限；反比例函数 ， 当k＞0时，图象经过第一、三象限，当k＜0时，图象经过第二、四象限，据此判断即可得出答案.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵
∴
由图象可知，函数 和 分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为 ，
由图象可以看出当 或 时，函数 在 上方，即 ，
故答案为：D.
【分析】求不等式 的解集，就是求函数 的图象在 的图象的上方部分相应的自变量的取值范围，结合图象即得结论.
9．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理先求出OB=3，再求出△ABO≌△BCE，最后求解即可。
10．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S矩形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出k2-k1=3，最后求解即可。
11．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∵图象位于第二象限内，
∴，
∴该反比例函数的解析式为.
故答案为：.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOP=|k|=2，结合反比例函数图象所在的象限可确定出k的值，据此可得函数解析式.
12．【答案】y=
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：设y=，
∵500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m，
∴500=，
k=100．
∴y=．
故答案为：y=．
【分析】因为近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（m）成反比例，可设出函数式，根据500度的近视眼镜镜片的焦距是0.2m可确定系数，从而求出y与x之间的函数关系式．
13．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】点C是OA的中点，
∴S△ACD = S△OCD， S△ACB = S△OCB，
∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB，
∴S△ABD = S△OBD，
点B在双曲线上，BD⊥ y轴，
∴S△OBD=×8=4，
∴S△ABD =4，
故答案为：4.
【分析】先求出S△ABD = S△OBD，再根据函数解析式的性质求解即可。
14．【答案】12
【知识点】一次函数的实际应用；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：∵反比例函数经过点（24，2），
∴反比例函数的解析式为y= ，
令y=6，解得：x=8，
∴直线与双曲线的交点坐标为（8，6），
∴正比例函数的解析式为y= x，
令y= =3，解得：x=16，
令y= x=3，解得：x=4，
∴当空气中的含药量不低于3mg/m3时，持续时间可以达到16﹣4=12h，
故答案为：12．
【分析】首先根据已知点的坐标确定反比例函数的解析式，然后确定两个函数的交点的横坐标，从而确定正比例函数的解析式，最后令两个函数值等于3求得时间相减即可．
15．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵在反比例函数y=中，k＞0，
∴在同一象限内y随x的增大而减小，
∵，
∴这两个点在同一象限，
∴，
解得：
故答案为．
【分析】先判断反比函数的增减性，再根据题意可知：这两个点在同一象限，则，解得：。
16．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数，
∴，
∴，
∴，
∴经过点A的反比例函数表达式为，
故答案为：．
【分析】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，先利用“AAS”证明△ACO≌△ODB可得AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，点A的坐标为（-b，a），将点A的坐标代入解析式可得，即可得到解析式。
17．【答案】（1）解：由图知：当深度d=20米时，底面积S=500米2，
∴=500米2×20米=10000米3；
（2）解：由（1）得：
，
则（），S随着d的增大而减小，
当时，S=625； 当时，S=400；
∴当16≤d≤25时，400≤S≤625．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）求出 =500米2×20米=10000米3即可作答；
（2）先求出 （）， 再求解即可。
18．【答案】（1）解：∵一次函数y＝ax+1（a≠0）的图象经过点B（1，3），
∴a+1＝3，∴a＝2．
∴一次函数的解析式为y＝2x+1，
∵反比例函数y＝的图象经过点B（1，3），
∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝．
（2）解：令y＝0，则2x+1＝0，
∴x＝﹣．
∴A（﹣，0）．
∴OA＝．
∵BC⊥x轴于点C，B（1，3），
∴OC＝1，BC＝3．
∴AC＝1＝．
∴△ABC的面积＝×AC BC＝．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点B的坐标代入函数解析式，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到一次函数解析式；再将点B的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值，即可得到反比例函数解析式.
（2）利用一次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A的坐标，即可求出OA的长；利用BC⊥x轴于点C，可求出OC，BC的长，从而可求出AC的长；然后利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
19．【答案】（1）解： 反比例函数图象与一次函数图象相交于点 ， ．
，
解得 ，
反比例函数解析式为 ，
，
解得 ，
点 的坐标为 ，
，
解得 ，
一次函数解析式为 ；
（2）解： ，
，
，
，
的面积 ．
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）将A（3，4）代入y=中可求出k2的值，据此可得反比例函数的解析式，将B（-4，m）代入求出m的值，可得点B的坐标，然后将A、B的坐标代入y=k1x+b中求出k1、b的值，据此可得一次函数的解析式；
（2）根据点A的坐标结合勾股定理可得OA的值，根据OA=OD可得OD的值，然后根据三角形的面积公式进行计算.
20．【答案】（1）解：将点 代入 中，得 ，
反比例函数的解析式为 ，
将点 代入 中，
得
（2）解：∵
因为四边形 是菱形， ， ，
， ，
，
由（1）知双曲线的解析式为 ，
，
点 在双曲线上．
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数函数关系式，再把点C的坐标代入反比例函数式求出m值，即可解答；
(2)根据菱形的性质，结合A、C两点的坐标，先求出点B的坐标，再代入函数式进行验证，即可进行判断.
21．【答案】（1）解：当y＝的图像在y＝ax+b图像的下方时，＜ax+b成立，
∴；
（2）解：将A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y＝﹣．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6；
（3）解：在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
＝OC×（yA﹣yB）
＝×6×2
＝6，
∴S△AOP＝×6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0，﹣3）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解集即可；
（2）先求出反比例函数为：y＝﹣，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）结合题意，利用三角形的面积公式计算求解即可。
22．【答案】（1）解：把点代入得：，
∴，
∴反比例函数的解析式为
（2）解：∵反比例函数与正比例函数的图象交于点和点，
∴，
∵点是点关于轴的对称点，
∴，
∴，
∴
（3）解：根据图象得：不等式的解集为或
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将A（-1，2）代入y=中求出k的值，据此可得反比例函数的解析式；
（2）易得B（1，-2），根据点C是点A关于y轴的对称点可得C（1，2），则CA=2，然后根据三角形的面积公式进行计算；
（3）根据图象，找出反比例函数图象在正比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
23．【答案】（1）解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，
∴把，代入得，
，解得，，
∴一次函数解析式为
过点P作轴于点H，
∵
∴
又
∴
∴
∴，
∴
∴
∵在双曲线上，
∴
∴
（2）解：联立方程组得，
解得， ，
∴
根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有或，
∴当时，求x的取值范围为或，
（3）解：作点K关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则（1，-2），OM=1，
连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，
设直线的解析式为
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为
当时，，解得，，
∴
∴
∴
，
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出可得一次函数解析式，再求出点，然后将点P的坐标代入求出即可得到答案；
（2）先求出一次函数与反比例函数图象的交点坐标，再结合函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，先求出直线的解析式为再求出点C的坐标可得，最后利用割补法可得，再计算即可。
24．【答案】（1）解：∵一次函数y=x+1与反比例函数图象交于A（m，2），
∴2=m+1，
∴m＝1，
∴A（1，2），
∴k＝1×2=2，
∴反比例函数的解析式为y=.
（2）解：联立方程组为：，
整理，解得：或，
∴B（-2，-1），
∵C（0，1），
∴OC=1，
∴S△AOB=OC·（|xB|+|xA|）=×1×（2+1）=.
（3）解：存在，理由如下，
设点P（m，n），
①以BO为对角线时，
∵ ABCD，A（1，2），B（-2，-1），O（0，0），
∴ 1+m=-2+0，2+n=-1+0，
∴m=-3，n=-3，
∴P（-3，-3）；
②以AO为对角线时，
∵ ABCD，A（1，2），B（-2，-1），O（0，0），
∴-2+m=1+0，-1+n=2+0，
∴m=3，n=3，
∴P（3，3）；
③以AB为对角线时，
∵ ABCD，A（1，2），B（-2，-1），O（0，0），
∴1-2=m+0，2-1=n+0，
∴m=-1，n=1，
∴P（-1，1），
综上所述，存在点P（-3，-3）或（3，3）或（-1，1），使得以点O，B，A，P为顶点的四边形为平行四边形.
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由一次函数y=x+1与反比例函数图象交于A（m，2），代入一次函数解析式求得m值，即求出A点坐标，再代入反比例函数解析式求出k值，即可求得反比例函数解析式；
（2）联立方程组，求出B点的坐标，再由S△AOB=OC·（|xB|+|xA|），代入数据计算即可求解；
（3）设点P（m，n），分三种情况：以BO为对角线时，以AO为对角线时，以AB为对角线时，根据平行四边形性质及中点坐标公式，分别求出对应的P点的坐标即可.
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