2021-2022学年上海市杨浦区国和中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年上海市杨浦区国和中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共18分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列方程是二项方程的是( )
A. B. C. D.
下列方程中，有实数根的方程是( )
A. B. C. D.
若直线经过一、二、四象限，则直线的图象只能是图中的( )
A. B. C. D.
如果是非零向量，那么下列等式正确的是( )
A. B.
C. D.
顺次联结四边形各边中点得到的四边形是菱形，那么与只需满足( )
A. 垂直 B. 相等 C. 互相平分 D. 互相平分且垂直
下列命题中，是真命题的是( )
A. 一组对边平行，一组对角互补的四边形是平行四边形
B. 一组对边平行，一组对角互补的四边形是等腰梯形
C. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
D. 一组对边平行，一组对角相等的四边形是等腰梯形
二、填空题（本大题共12小题，共24分）
若点在一次函数的图象上，则______．
方程的根是______ ．
方程的解为______．
确定事件的概率是______．
关于的方程的解是______．
已知方程，如果设，那么原方程可以变形为关于的整式方程是______．
从，，，这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是______．
一个多边形的内角和是它的外角和的倍，这个多边形是______边形．
如图，已知梯形中，，，点在上，且，若梯形的周长为，则的周长为______ ．
如图，等腰梯形中，，，对角线，如果高，那么等腰梯形的中位线的长为______．
如图， 的对角线与相交于点，将 翻折使点与点重合，点落在点，已知是锐角，那么的度数为______ 用的代数式表示
平行四边形中，两条邻边长分别为和，与的平分线交于点，点是的中点，连接，则______．
三、解答题（本大题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
解方程：
本小题分
解方程组：
本小题分
如图，点在平行四边形的对角线上．
填空：______；______；
求作：．
本小题分
甲、乙两个工程队要在规定的时间内完成一项工程，甲队单独做可以提前天完工，乙队单独做要延期天完成，现在两个工程队先合作天，余下的由乙队继续去做正好如期完工，求这项工程规定的时间是多少天？
本小题分
A、两地相距千米，甲、乙两车同时从地出发驶向地，甲车到达地后立即返回，它们各自离地的距离千米与行驶时间时之间的函数关系图象如图所示．
求甲车行驶过程中与之间的函数关系式；
当它们行驶了小时时，两车相遇，求乙车的速度．
本小题分
如图，四边形中，，，，是上方一点，分别联结、、、，已知，点、分别是、与的交点．
求证：四边形是等腰梯形．
本小题分
在平面直角坐标系中，已知点，点，点在第一象限内，轴，且：：．
求直线的表达式．
如果点、、、可以构成平行四边形，求点的坐标．
本小题分
如图，已知在梯形中，，是下底上一动点点与点不重合，，，，，设，四边形的面积为．
求关于的函数解析式，并写出它的定义域；
联结，当是以为腰的等腰三角形时，求四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：为二项方程．
故选：．
根据二项方程的定义进行判断即可．
本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．注意理解二项方程的定义．
2.【答案】
【解析】解：、整理得：，故次方程无解；
B、整理得，解得：，符合题意；
C、整理得，无解，不符合题意；
D、去分母后得，代入最简公分母，故次方程无实数根，
故选：．
利用高次方程、无理方程及分式方程的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了高次方程、无理方程及分式方程的定义的知识，解题的关键是了解有关的定义，难度不大．
3.【答案】
【解析】解：直线经过一、二、四象限，
，，
，
直线的图象经过一、二、三象限，
选项B中图象符合题意．
故选：．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“，的图象在一、二、四象限”是解题的关键．由直线经过的象限结合四个选项中的图象，即可得出结论．
4.【答案】
【解析】解：是非零向量，
，
故选：．
长度不为的向量叫做非零向量，本题根据向量的长度及方向易得结果．
本题考查的是非零向量的长度及方向的性质，注意熟练掌握平面向量这一概念．
5.【答案】
【解析】解：连接、，
、分别是、的中点，
，
同理可得，，，，
当时，，
四边形为菱形，
顺次联结四边形各边中点得到的四边形是菱形，只需满足，
故选：．
连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，根据菱形的判定定理解答即可．
本题考查的是菱形的判定、三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：一组对边平行，一组对角互补的四边形不一定是平行四边形，故A是假命题，不符合题意；
一组对边平行，一组对角互补的四边形不一定是等腰梯形，故B是假命题，不符合题意；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故C是真命题，符合题意；
一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，故D是假命题，不符合题意；
故选：．
根据平行四边形，等腰梯形的判定，逐项判断即可．
本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行四边形，等腰梯形的判定．
7.【答案】
【解析】解：把点代入一次函数
得：．
故填．
把点代入一次函数，求出的值即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上的点的坐标一定适合此函数的解析式．
8.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查了解一元高次方程，解题的关键是将方程左边因式分解，把原方程降次，化为一元二次方程．
将左边因式分解，降次后化为两个一元二次方程即可解得答案．
【解答】
解：由得，
或，
而无实数解，
解得或，
故答案为：或．
9.【答案】
【解析】
【分析】
首先把方程两边分别平方，然后解一元二次方程即可求出的值．
本题主要考查解无理方程，关键在于首先把方程的两边平方，注意最后要把的值代入原方程进行检验．
【解答】
解：两边平方得：
，
解方程得：，，
检验：当时，方程的左边右边，所以为原方程的解，
当时，原方程的左边右边，所以不是原方程的解．
故答案为：．
10.【答案】或
【解析】解：确定事件包括必然事件和不可能事件，
必然事件的概率为，
不可能事件的概率为，
故答案为或．
确定事件包括必然事件和不可能事件，再根据必然事件和不可能事件的概率解答即可．
本题主要考查了确定事件的定义，确定事件包括必然事件与不可能事件，难度适中．
11.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
．
故答案为：．
根据，可得：，把关于的方程的两边同时除以，求出方程的解即可．
此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为．
12.【答案】
【解析】解：设，
原方程变形为：，
化为整式方程为：，
故答案为．
根据，把原方程变形，再化为整式方程即可．
本题考查了用换元法解分式方程，掌握整体思想是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：，，，这四个数字中素数有和共个，
从，，，这四个数字中任取一个数，取出的数为素数的概率是，
故答案为：．
用素数的个数除以数据总数即可求得答案．
本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】十
【解析】解：设这个多边形有条边．
由题意得：，
解得．
则这个多边形是十边形．
故答案为：十．
一个多边形的内角和是它的外角和的倍，而外角和是，则内角和是边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数．
本题考查了多边形内角与外角，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
15.【答案】
【解析】解：，，
四边形是平行四边形，，
，，
又梯形的周长为，
，，
，
，
即的周长为；
故答案为：．
因为，，所以，四边形是平行四边形，则，，又梯形的周长为，即，所以，，即；
本题主要考查了梯形和平行四边形的性质，把的周长看作一个整体，通过等量代换求出，本题蕴含了整体思想．
16.【答案】
【解析】解：过点作交的延长线于，如图，
梯形为等腰梯形，
，
，，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
等腰梯形的中位线的长．
故答案为．
过点作交的延长线于，如图，根据等腰梯形的性质得到，再证明四边形为平行四边形得到，，接着判断为等腰直角三角形，所以，然后根据梯形的中位线定理求解．
本题考查了梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．也考查了等腰梯形的性质．通过平移把两条对角线组成一个三角形的两边是解决问题的关键．
17.【答案】
【解析】解：如图所示：
由折叠的性质可得：，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．
故答案为：．
先画出图形，由折叠的性质证明≌，继而可得是直角三角形，，根据，可求的度数．
本题考查了翻折变换的性质以及平行四边形的性质，解决问题的关键是掌握：翻折前后对应边相等、对应角相等，解题时注意：平行四边形的对角线互相平分．
18.【答案】或
【解析】解：如图中，当，时，延长交于．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图中，当，时，
同法可证，，，
可得，
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
分两种情形分别求解即可解决问题：如图中，当，时，延长交于如图中，当，时；由直角三角形的性质，梯形的中位线定理可得出答案．
本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、梯形的中位线定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构建梯形中位线解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：整理得，
两边平方得，
，
解得：或．
经检验是原方程的解．
【解析】可把不带根号的式子整理到一边，两边平方，化为整式方程求解．
本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
20.【答案】解：
由得：，
，
由得：，
，，
即原方程组化为：，，，，
解得：，，，
所以原方程组的解为：，，，．
【解析】先把原方程组的每个方程化简，这样原方程组转化成四个方程组，求出每个方程组的解即可．
本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组，能把高次方程组转化成二元一次方程组是解此题的关键．
21.【答案】
【解析】解：；．
故答案为：，；
如图，即为所求．
利用三角形法则求解即可；
根据三角形法则作出图形即可．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，属于中考常考题型．
22.【答案】解：设这项工程规定的时间是天，则甲队单独做需要天完工，乙队单独做要天完成，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：这项工程规定的时间是天．
【解析】设这项工程规定的时间是天，则甲队单独做需要天完工，乙队单独做要天完成，由题意：两个工程队先合作天，余下的由乙队继续去做正好如期完工，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】解：当时，设甲车行驶过程中与之间的函数关系式为，
把代入，
，
解得，
；
当时，设甲车行驶过程中与之间的函数关系式为，
把、代入，
得，
解得，，
；
即甲车行驶过程中与之间的函数关系式为：；
当时，，
解得，，
千米时，
即乙车的速度为千米时．
【解析】【试题解析】
根据函数图象可以得到甲车行驶过程中与之间的函数关系式；
根据求得函数解析式，可以得到当时的值，然后用求得的值除以即可求得乙车的速度．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
24.【答案】证明：，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
，
，
，
，
四边形是等腰梯形．
【解析】证明≌，可得，然后根据平行线的性质可得，所以，进而可以解决问题．
本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识要熟练掌握．
25.【答案】解：：：，，
，
轴，
，
设直线的表达式为 ，
则，
解得，
直线的表达式为；
当是平行四边形的边时，
，，
点，
或；
当是平行四边形的对角线时，则，，
，
．
综上，点的坐标为或或．
【解析】根据题意求出点的坐标，运用待定系数法即可求出直线的表达式；
分情况讨论：是平行四边形的边时；当是平行四边形的对角线时，分别根据平行四边形的性质解答即可．
本题主要考查了一次函数的应用，平行四边形的性质，会运用待定系数法求一次函数的解析式是解答本题的关键．
26.【答案】解：作于设．
由题意：，
整理得：，
解得或舍弃，
，即
解：当时，，
，
，
，
即，
．
当时，四边形是平行四边形或等腰梯形，
或，
即或，
或，
综上所述，四边形的面积为或或．
【解析】作于设构建方程求出即可解决问题．
分两种情形分别讨论求解即可；
本题考查梯形、等腰三角形的性质勾股定理、一次函数的应用等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．
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