2022-2023学年人教版数学九年级上册22.3.1 实际问题与二次函数 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
22.3.1 实际问题与二次函数
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系；
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值；
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.
学习目标
1. 用8米长的绳子围成的矩形的最大面积是_________.
4
预习反馈
x
4－ x
矩形的面积S＝x(4－ x) (0＝－ x2＋4x
＝－ (x－2)2＋4
因此当x=2时，矩形的最大面积是4.
2.用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x(m)与面积y(m2)满足函数关系式y=－x2＋24x(0＜x＜24)，则当矩形面积最大时，矩形的一条对角线长为__________.
预习反馈
y =－x2＋24x(0＜x＜24)
=－(x－12)2＋144
因此当x=12时，矩形的最大面积是144m2.
12
12
3.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体(不包括门)总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为 m2 .
75
预习反馈
x
27－3x＋1＋2
饲养室面积y=x(30－3x) (0= －3x2＋30x
= －3(x－5)2＋75
因此当x=5时，饲养室的最大面积是75m2.
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并写出其最值.
(1)y=x2－4x－5； (配方法) (2)y=－x2－3x＋4.(公式法)
(1)开口方向：向上；
对称轴：x=2；
顶点坐标：(2，－9)；
最小值：－9；
(2)开口方向：向下；
对称轴：x=；
顶点坐标：( ， )；
最大值： .
复习巩固
问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运动时间 t(单位：s)之间的关系式是h= 30t － 5t 2 (0≤t≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
新知探究
可以借助函数图象解决这个问题.
问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h(单位：m)与小球的运动时间 t(单位：s)之间的关系式是h= 30t － 5t 2 (0≤t≤6)．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
新知探究
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t － 5t 2 (0≤t≤6)
可以看出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.
也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
　　由于抛物线 y = ax 2 ＋ bx ＋ c 的顶点是最低(高)点，当时，二次函数 y = ax 2 ＋ bx ＋ c 有最小(大) 值
思考
如何求出二次函数 y = ax 2 ＋ bx ＋ c 的最小(大)值？
小球运动的时间是 3s 时，小球最高. 小球运动中的最大高度是 45 m．
t/s
h/m
O
1
2
3
4
5
6
20
40
h= 30t － 5t 2 (0≤t≤6)
问题1 矩形面积公式是什么？
问题2 如何用l表示另一边？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
例题探究
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化. 当l是多少时，场地的面积S最大？
解：根据题意得S=l(30－l)，
即 S=－l2＋30l (0因此，当时，
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
5
10
15
20
25
30
100
200
l
S
O
例题探究
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化. 当l是多少时，场地的面积S最大？
S有最大值.
1. 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
x
60－2x
变式训练
问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？
问题3 面积S的函数关系式是什么？
问题4 如何求解自变量x的取值范围？
墙长32m对此题有什么作用？
问题5 如何求最值？
问题1 变式1与例题有什么不同？
最值在其顶点处，
即当x=15m时，S=450m2.
设垂直于墙的边长为x米，
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
2.如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
问题1 变式2与变式1有什么异同？
问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？
问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？
解：设矩形面积为Sm2，与墙平行的一边为x米，则
变式训练
x
2.如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
变式训练
x
问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？
问题5 如何求自变量的取值范围？
问题6 如何求最值？
不正确.
0 ＜ x ≤18.
由于30 ＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.
方法总结
实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围. 通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
例2 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高和宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？(铝合金型材宽度不计)
x
故0＜x＜2.
例题探究
解：设矩形窗框的宽为x m，则高为m.
这里应有x＞0， ＞0，
矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式是：
即
配方得
所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.
x=1满足0＜x＜2，这时
因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2.
例2 用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高和宽各为多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？(铝合金型材宽度不计)
x
例题探究
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
归纳总结
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值；
二次函数解决几何面积最值问题的步骤
随堂检测
1. 如图，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框，那么最大的透光面积是_________.
x
S= ·x
= x2+4x
最大的透光面积是
m2
2.如图，在△ABC中， ∠B=90 °，AB=12cm，BC=24cm，动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿BC以4cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过______秒，四边形APQC的面积最小.
A
B
C
P
Q
3
随堂检测
设运动时间为t秒.
2t
4t
12-2t
四边形APQC的面积
S= ×12×24－ ×(12－2t)×4t (0≤t<6)
= 144－24t＋4t2
= 4(t－3)2 ＋108
解：设一直角边长为x，则另一直角边长为，
依题意得：
3.已知直角三角形的两直角边之和为8，两直角边分别为多少时，此三角形的面积最大？最大值是多少？
S最大
此时
∴当两直角边都为4时，此三角形的面积最大，最大值是8.
随堂检测
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym2．
(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
25 m
B
D
A
C
随堂检测
x
解：
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym2．
(2)当x为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？
25 m
B
D
A
C
随堂检测
x
(2)
∴当x=20时，满足条件的绿化带面积最大，最大为200m2.
5.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m)，面积为S(m2).
(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
随堂检测
解： (1)设矩形一边长为x，则另一边长为(6－x)，
∴S=x(6－x)=－x2＋6x，其中0＜x<6.
(2) S=－x2＋6x=－(x－3)2＋9；
∴当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000(元).
几何面积最值问题
关键
常见几何图形的面积公式
依 据
课堂小结
注意
建立函数关系式
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定