高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第二章——3函数的单调性和最值A（含解析）

一、单选题
1．已知函数，若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知是定义在上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．若函数是上的单调函数，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．函数在区间上单调递增，则的取值范围是有（ ）
A． B． C． D．
5．定义在上的函数，对任意，有，则（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数，，下列结论正确的是（ ）
A．，恒成立，则实数a的取值范围是
B．，，则实数a的取值范围是
C．，，则实数a的取值范围是
D．，，
E．，，
8．函数 (x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 （ ）
A．最小值为 B．最大值为4
C．无最大值 D．无最小值
三、填空题
9．函数的最小值_______．
10．若函数的递增区间是，则实数______.
11．函数满足：对任意的总有．则不等式的解集为________．
12．已知函数的最小值为-2，则实数a=________.
四、解答题
13．已知函数.
（1）在给定的坐标系中，作出函数的图象；
（2）写出函数的单调区间（不需要证明）；
（3）若函数的图象与直线有4个交点，求实数的取值范围.
14．已知是定义在上的增函数，，.
（1）求，的值；
（2）若，求x的取值范围.
15．已知函数，.
（1）判断函数的单调性，并证明；
（2）求函数的值域.
16．已知函数是定义在R上的增函数，并且满足，．
(1)求的值；
(2)若，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】由于在区间上单调递减，则有且，从而可求出的取值范围
【详解】解：因为时，，所以，
因为在上单调递减，
所以，
综上，
故选：B
【点睛】此题考查由函数的单调性求参数的范围问题，考查分析问题的能力，属于基础题
2．C
【分析】分段函数在定义域内单调递减，不仅要求每一段解析式为减函数，还要注意端点处的函数值的大小关系.
【详解】因为函数是定义在上的减函数，
所以，
解得.
所以实数的取值范围为.
故选：C.
3．B
【分析】根据的开口方向，确定分段函数在在上的单调递增，再根据分段函数在上的单调所要满足的条件列出不等关系，求出的取值范围.
【详解】因为分段函数在上的单调函数，由于开口向上，故在上单调递增，故分段函数在在上的单调递增，所以要满足：，解得：
故选：B
4．D
【分析】首先求出函数的对称轴，根据二次函数的性质得到不等式，解得即可；
【详解】解：因为函数，开口向下，对称轴为，依题意，解得，即
故选：D
5．A
【分析】先判断出函数在上单调递减，进而可得出.
【详解】对任意，有，所以函数在上单调递减，
又，则.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的单调性，考查学生的推理能力，属于基础题.
6．B
【分析】根据分段函数、二次函数、一次函数的单调性可建立不等式求解.
【详解】由题意，解得，
故选：B
7．ACE
【解析】求出函数和的值域，根据任意性和存在性的对选项逐一判断即可.
【详解】在A中，因为是单调递减函数，所以当时，函数的最小值为，因此，A正确；
在B中，因为是单调递减函数，所以当时，函数的最大值为5，因此，B错误；
在C中，函数，，当时，函数取得最小值，当时，函数取得最大值3，故函数的值域为，由有解，知的值域，即，C正确；
在D中，，，等价于的值域是的值域的子集，而的值域是，的值域是，D错误；
在E中，，，等价于的值域是的值域的子集，由的值域是，的值域是，知E正确.
故选：ACE
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数在区间上的最值问题，考查了任意性和存在性的定义，考查了数学运算能力.
8．BD
【分析】先对函数分离常数，再判断单调性即可求最值．
【详解】函数在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，
由于x=5取不到，则最小值取不到．
故选：BD
9．
【分析】换元法求函数最小值.
【详解】令，则，，
函数在上单调递减，在上单调递增，故在时，取得最小值，
故答案为：
10．
【分析】求得二次函数的单调增区间，即可求得参数的值.
【详解】因为二次函数开口向上，对称轴为，故其单调增区间为，
又由题可知：其递增区间是，故.
故答案为：.
11．
【分析】由条件可得函数是上的单调增函数，然后可解出答案.
【详解】因为对任意的总有
所以函数是上的单调增函数，
从而由得，解得．
故答案为：
12．
【分析】根据二次函数的对称轴与所给区间的相对位置进行分类讨论求解即可.
【详解】，所以该二次函数的对称轴为：，
当时，即，函数在时单调递减，
因此，显然符合；
当时，即时，，显然不符合；
当时，即时，函数在时单调递增，
因此，不符合题意，综上所述：，
故答案为：
13．（1）图象见解析；（2）单调增区间为；单调减区间是为；（3）.
【分析】（1）分段依次作出图象即可；
（2）看图写出单调区间即可；
（3）作出直线图象，数形结合得到实数的取值范围即可.
【详解】解：（1）作图如下：
（2）看图可知函数的单调增区间为，函数的单调减区间为；
（3）如图，若函数的图象与直线有4个交点，则需.
所以实数的取值范围为.
14．（1）， ；（2）.
【解析】（1）令，得，令，得；
（2）由得，结合函数的定义域以及单调性解不等式即可.
【详解】（1）令，得；
令，得.
（2）由得
，.
15．（1）单调递增，证明见解析；（2）
【分析】（1）利用函数单调性的定义即可证明函数在区间上的单调性；
（2）根据函数在区间上的单调性即可求其值域.
【详解】（1）在区间上单调递增，
证明如下：任取且，
，
因为，所以，，，
所以，即，
所以函数在区间上单调递增.
（2）由（1）知：在区间上单调递增，
所以，，
所以函数的值域是.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）利用赋值法即得；
（2）利用赋值法得，然后结合条件转化已知不等式为，最后根据单调性即得.
（1）
因为，
令，得，
即；
（2）
由题意知，
，
∴由，可得，
又在R上单调递增，
∴，即，
∴的取值范围是．
答案第1页，共2页
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