高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第二章——2函数B（含解析）

一、单选题
1．已知不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．设集合，函数，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B．（，）
C． D．（，1]
3．设函数，则满足的x的取值范围是
A． B． C． D．
4．设函数为一次函数，且，则（ ）
A．3或1 B．1 C．1或 D．或1
5．已知二次函数的值域为，则的最小值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．定义在上的函数满足，，，且当时，有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知函数的定义域为，值域为，则（ ）
A．函数的定义域为 B．函数的值域为
C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是
8．给出下列四个对应，其中构成函数的是
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知，若，则的取值范围是___________.
10．已知函数，则______.
11．函数的值域是___________.
12．函数的定义域是____________.
四、解答题
13．根据下列条件，求函数的解析式；
（1）若满足，则____________；
（2）已知函数满足，对任意不为零的实数，恒成立.
（3）已知；
（4）已知等式对一切实数 都成立，且；
14．设函数的定义域为R，满足，且当时，．
（1）求的值；
（2）写出函数在区间上的解析式，并画出函数在这区间上的图像；
（3）若对任意，都有，求m的取值范围．
15．定义在上的函数满足，且当时，.
（1）求当时，的解析式；
（2）求在，上的单调区间和最大值.
16．根据下列条件，求f(x)的解析式.
（1）f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
（2）f(2x＋1)＝6x＋5；
（3）f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由分段函数知，分两部分讨论函数的单调性，从而可得在上是减函数，化恒成立问题为在，上恒成立；从而化为最值问题即可．
【详解】解：由，知：
①当时，，
故在，上是减函数；
②当时，，
故在上是减函数；
又，
在上是减函数，
不等式在，上恒成立可化为在，上恒成立；
即在，上恒成立，
故，
解得，，即；
故选：A．
2．B
【分析】按照分段函数先求出，由和解出的取值范围即可.
【详解】，则，
∵，解得，又．
故选：B.
3．D
【分析】分析：首先根据题中所给的函数解析式，将函数图像画出来，从图中可以发现若有成立，一定会有，从而求得结果.
详解：将函数的图像画出来，观察图像可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.
点睛：该题考查的是有关通过函数值的大小来推断自变量的大小关系，从而求得相关的参数的值的问题，在求解的过程中，需要利用函数解析式画出函数图像，从而得到要出现函数值的大小，绝对不是常函数，从而确定出自变量的所处的位置，结合函数值的大小，确定出自变量的大小，从而得到其等价的不等式组，从而求得结果.
【详解】
4．B
【解析】利用待定系数法设一次函数，代入等式求解，求出函数解析式.
【详解】设一次函数，
则，
，
，
解得或，
或，
或.
故选：B.
【点睛】此题考查利用待定系数法求函数解析式，涉及多项式相等对应项系数相等建立方程组，准确计算即可求解.
5．D
【解析】根据题意得，，再根据基本不等式即可得答案.
【详解】解：由题意知，，，，
∴，当且仅当，即，时取等号.
故选 ：D.
【点睛】本题考查根据二次函数值域求参数，基本不等式求最值，是中档题.
6．D
【分析】由抽象函数的性质可得，故可推测为分段常数函数，从而由题意化简可得.
【详解】，
，
所以为分段常数函数，
又，
，
，
又时，，
当时，，
又，
，
故选：D.
【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了抽象函数的应用，属于中档题.
7．BC
【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据值域为，即可判断选项B，令，
求得范围即为定义域，由可得值域，即可判断选项C，由的值域为可得，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】对于选项A：令可得，所以函数的定义域为，
故选项A不正确；
对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确；
对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确；
对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确，
故选：BC
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是已知的定义域，可以先求的定义域，再由的定义域求的定义域.
8．AD
【解析】本题可通过每一个自变量是否有唯一的数字与之对应来判断是否可以构成函数.
【详解】A项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，A正确；
B项：自变量没有对应的数字，不能构成函数，B错误；
C项：自变量同时对应了两个数字，不能构成函数，C错误；
D项：每一个自变量都有唯一的数字与之对应，可以构成函数，D正确，
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的定义，需考虑是否满足定义域中的每一个元素是否通过这个对应关系都有唯一的一个元素与之对应，是中档题.
9．
【分析】分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的解集.
【详解】当时，即当时，由可得，矛盾；
当时，即当时，由可得，
可得，解得，此时；
当时，由可得，即，矛盾.
综上所述，满足不等式的的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数不等式的求解，求解时需要对自变量的取值进行分类讨论，根据自变量的取值选择合适的解析式来求解.
10．##1010.75
【分析】观察所求结构，考察的值，然后可得.
【详解】因为，，
所以
.
故答案为：
11．
【分析】利用判别式法即可求出函数的值域.
【详解】解：，
因为
所以函数的定义域为
令，整理得方程：
当时，方程无解；
当时，
不等式整理得：
解得：
所以函数的值域为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：求值域的常见方法
单调性法求函数值域；判别式法求函数值域；分离常数法求函数值域；分类讨论法求二次函数的值域；利用基本不等式或对勾函数求值域；换元法求值域.
12．
【分析】根据对数的真数大于零，偶次方根被开方数为非负数以及分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.
【详解】依题意得，即，解得.
故填：.
【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.
13．（1）；（2）；（3）或；（4）.
【分析】（1）利用方程组法求解；
（2）利用方程组法求解；
（3）利用配方法求解；
（4）利用赋值法求解；
【详解】（1）因为①
用代替，②
由①②组成的方程组得.
故答案为: .
（2）将代入等式得出，
联立，变形得：，
解得.
（3）
，
令，由双勾函数的性质可得或，
，
或.
（4）因为对一切实数 都成立，且，
令则，又因为
所以，即.
14．（1）；（2），图像见解析；（3）.
【分析】（1）利用已知条件直接代入计算即可；
（2）由已知得，，进而求得函数解析式，画函数图像；
（3）根据已知，结合（2）的过程知，当当时，恒成立，再讨论当当时，令，解得或，进而数形结合即可得答案.
【详解】解：（1）因为函数的定义域为R，满足，
所以
（2）因为函数的定义域为R，满足，
所以满足，，
所以当时，，故，
当时，，故，
所以函数在区间上的解析式为，
函数图像如下：
（3）因为函数满足，
所以结合（2）可知当时，恒成立，
当时，令，
整理得，解得或.，
如上图，对任意，都有恒成立，则必有
故m的取值范围是
15．（1）；（2）单调递增区间为和，单调递减区间为和；最大值为.
【分析】(1) 令，，则，.根据得到,根据当时，.将整体代入得到,进而得到当时，的解析式；
(2)根据解析式,利用二次函数的性质分析在[-1,1]之间的各段上的单调性，进而求得单调区间和最大值.
【详解】解（1）令，，则，.
由已知，得.
（2）由（1）知，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减；
当时，，
则在上单调递增，在上单调递减；
故在，上的单调递增区间为和，
单调递减区间为和；
由在，上的单调性知，
在，上的最大值为；
又，，
因此在，上的最大值为.
16．（1）或；（2）f(x)＝3x＋2；（3）.
【分析】（1）设f(x)＝ax＋b(a≠0)，利用待定系数法，即可得出函数解析式；
（2）利用换元法，即可得出函数解析式；
（3）将x换成－x，建立方程组，即可得出函数解析式.
【详解】（1）由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝2x－1
由恒等式性质，得
或
∴所求函数解析式为或
（2）设2x＋1＝t，则
∴f(x)＝3x＋2.
（3）将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
【点睛】本题主要考查了利用换元法，待定系数法求函数解析式，属于中档题.
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