高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第二章——4函数的奇偶性与简单的幂函数A（含解析）

一、单选题
1．已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（ ）
A． B． C．1 D．或1
2．设偶函数的定义域为，当时，是增函数，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有（ ）
A．最小值－8 B．最大值－8 C．最小值－6 D．最小值－4
5．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为非奇非偶函数
8．有如下命题，其中真命题的标号为（ ）
A．若幂函数的图象过点，则
B．函数且的图象恒过定点
C．函数在上单调递减
D．若函数在区间上的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是
三、填空题
9．已知函数分别是定义在R上的偶函数和奇函数，，则函数_____．
10．已知幂函数的图象过点，则___________.
11．下列命题中，
①幂函数的图象不可能在第四象限；
②当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线；
③当α>0时，幂函数y＝xα是增函数；
④当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内函数值随x值的增大而减小．
其中正确的序号为________．
12．幂函数的图象经过点，则=____.
四、解答题
13．已知函数
(1)在所给的直角坐标系内画出的图象并写出的单调区间；
(2)求不等式的解集.
14．已知函数（，为常数），且满足，.
(1)求函数的解析式；
(2)若对任意的，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
15．设函数（，且）对任意非零实数，，恒有．
（1）求及的值；
（2）判断函数的奇偶性．
16．已知函数，且．
（1）求m；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）判断函数在，上是单调递增还是单调递减？并证明．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由是幂函数结合函数单调性得出实数m的值．
【详解】由于为幂函数，所以或；又函数在上单调递减，故当时符合条件，
故选：A
2．B
【解析】根据偶函数可得，，再根据单调性即可判断.
【详解】是偶函数，，，
当时，是增函数，且，
，
.
故选：B.
3．C
【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标求得参数即得函数解析式后可得函数值．
【详解】设，由题意，，，．
故选：C．
4．D
【分析】根据f(x)和g(x)都是奇函数，可得函数为奇函数，再根据F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，可得函数在(0，＋∞)上有最大值6，从而可得函数在(－∞，0)上有最小值，即可得出答案.
【详解】解：因为若f(x)和g(x)都是奇函数，所以函数为奇函数，
又F(x)＝f(x)＋g(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值8，
所以函数在(0，＋∞)上有最大值6，
所以函数在(－∞，0)上有最小值，
所以在(－∞，0)上F(x)有最小值－4.
故选：D.
5．C
【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值.
【详解】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.
6．D
【分析】化简函数解析式，利用解析式即可判断函数图像.
【详解】根据题意，的定义域为，排除C选项;
，，是奇函数，排除A、B选项；
又，的图像是选项D中的图像.
故选：D
7．BC
【解析】先判断函数的奇偶性,再利用函数奇偶性的性质判断选项正误.
【详解】,其定义域为,
,
故函数为奇函数,
又为奇函数,
根据函数奇偶性的性质可知:为偶函数,为奇函数,
故选:BC.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断及其性质应用,难度不大.
8．BD
【分析】由所过点可求得幂函数解析式，由此得到，知A错误；
由恒成立可知过定点，知B正确；
由二次函数的性质可知C错误；
由二次函数的最值可确定自变量的范围，即可确定的范围，知D正确.
【详解】对于A，令，则，解得：，，，A错误；
对于B，令，即时，，恒过定点，B正确；
对于C，为开口方向向上，对称轴为的二次函数，在上单调递增，C错误；
对于D，令，解得：或；又，实数的取值范围为，D正确.
故选：BD.
9．
【分析】由已知可得，结合两函数的奇偶性可得，利用方程组的思想即可求出.
【详解】解：因为，所以，
又分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以；
所以，则 ，两式相加得，
，所以.
故答案为:.
【点睛】关键点睛:
本题的关键是由函数的奇偶性得到，从而可求出函数的解析式.
10．
【分析】由幂函数的解析式的形式可求出和的值，再将点 代入可求的值，即可求解.
【详解】因为是幂函数，
所以，，又的图象过点，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
11．①④
【分析】根据幂函数的定义与性质判断．
【详解】时，，因此①正确；
当α＝0时，是直线y＝1但去掉(0,1)这一点，故②错误；
当α>0时，幂函数y＝xα仅在第一象限是递增的，如y＝x2，故③错误；
当α＜0时，幂函数y＝xα在第一象限内是减函数，④正确．
故答案为：①④．
12．2
【分析】根据幂函数过点，求出解析式，再有解析式求值即可.
【详解】设，
则，
所以，
故，
所以.
故答案为：
13．(1)图象见解析，单调递增区间为，单调递减区间为；
(2).
【分析】（1）根据解析式得到函数图象的坐标列表，在坐标系中描点画出函数图象，结合图象确定单调区间即可.
（2）求对应自变量值，再结合图象求不等式的解集.
（1）
由解析式知：
0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0
的图象如下图所示：
由图象知，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）
令，解得或，
结合图象知:的解集为．
14．(1)；
(2).
【分析】（1）根据题意得到关于的方程组，求解后即得到函数的解析式；
（2）利用基本不等式或者利用函数的单调性即可求得在给定区间上的最小值，然后利用不等式恒成立的意义得到关于t的不等式，求得t的取值范围.
（1）
解：由题意得，解得，故；
（2）
解法一：对任意的，，当且仅当，即时取等号，∴最小值为2，
∵关于的不等式恒成立，∴，∴，
即实数t的取值范围是.
解法二：设，则,
∵，
∴,
∴在上单调递减，∴，下同解法一.
15．（1）；；（2）偶函数．
【分析】（1）令，可求出，令，可求出，
（2）取，，则可得，再结合定义域可得结论
【详解】解：（1）对任意非零实数，，
恒有，
∴令，代入，得，
解得
令，代入，
得，
可得．
（2）取，，代入，
得
又函数的定义域为
∴函数是偶函数
16．（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.
【分析】（1）根据题意，将代入函数解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．
【详解】（1）根据题意，函数，且，
则，解得；
（2）由（1）可知，其定义域为，关于原点对称，
又由，
所以是奇函数；
（3）在上是单调递增函数．
证明如下：
设，则，
因为，
所以，，则，即，
所以在上是单调递增函数．
答案第1页，共2页
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