高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第二章——2函数C（含解析）

一、单选题
1．设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中的取值只可能是
A． B．1 C． D．0
2．已知函数在区间上的值域为，对任意实数都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，在高等数学中有着广泛的应用，在上的定义为：当（，且，为互质的正整数）时，；当或或为内的无理数时，.已知，，，则（ ）注：，为互质的正整数，即为已约分的最简真分数.
A．的值域为 B．
C． D．以上选项都不对
4．设定义在上的函数满足，且对任意的、，都有，则的定义域为
A． B． C． D．
5．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.若对任意的，成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知定义在上的函数满足，若一组平行线分别与图象的交点为，，...，,且，其中，则
A． B． C． D．
二、多选题
7．对于函数，下面结论正确的是（ ）
A．任取，都有恒成立
B．对于一切，都有
C．函数有3个零点
D．对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是
8．函数，是（ ）
A．最小正周期是
B．区间，上的减函数
C．图象关于点，对称
D．周期函数且图象有无数条对称轴
三、填空题
9．定义在R上的函数满足，且当时，，则等于___________.
10．已知函数在闭区间上的值域为，则的最大值为________.
11．设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x.若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是_____.
12．函数的值域为_______________.
四、解答题
13．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是.则称是该函数的“和谐区间”.
（1）求证：函数不存在“和谐区间”.
（2）已知：函数有“和谐区间，当变化时，求出的最大值.
14．如果函数的定义域为，对于定义域内的任意存在实数使得成立，则称此函数具有“性质”.
（1）判断函数是否具有“性质”，若具有“性质”，写出所有的值；若不具有“性质”，请说明理由.
（2）设函数具有“性质”，且当时，，求当时函数的解析式；若与交点个数为1001个，求的值.
15．给定函数．且用表示，的较大者，记为．
（1）若，试写出的解析式，并求的最小值；
（2）若函数的最小值为，试求实数的值．
16．如图，半径为x的圆O在边长为4的正方形内与正方形的一边相切并滚动一周后，圆O没有通过区域的面积为S.
（1）试写出S关于x的函数解析式；
（2）当x取何值时，S有最小值，并求出该最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】直接利用定义和函数的应用求出结果．
【详解】解：由题意可得：
问题相当于圆上由6个点为一组，每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合．
设处的点为，
的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，
旋转后的对应点也在的图象上，
同理的对应点也在图象上，
以此类推，对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点，
当（1）时，即，此时，不满足函数定义；
当（1）时，即，此时，不满足函数定义；
当（1）时，即，此时，，，，不满足函数定义；
故选．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查学生分析解决问题的能力，考查函数定义等基础知识，考查数形结合思想，是中档题
2．D
【分析】根据关于对称，讨论与的关系，结合其区间单调性及对应值域求的范围.
【详解】由题设，，易知：关于对称，又恒成立，
当时，，则，可得；
当时，，则，可得；
当，即时，，则，即，可得；
当，即时，，则，即，可得；
综上，.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质，讨论其对称轴与给定区间的位置关系，结合对应值域及求参数范围.
3．B
【分析】设，（，且，为互质的正整数） ，B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，然后对A选项，根据黎曼函数在上的定义分析即可求解；对B、C选项：分①，；②，；③或分析讨论即可．
【详解】解：设，（，且，为互质的正整数），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的无理数}，
对A选项：由题意，的值域为，其中是大于等于2的正整数，
故选项A错误；
对B、C选项：
①当，，则，；
②当，，则，＝0；
③当或，则，，
所以选项B正确，选项C、D错误，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是牢牢抓住黎曼函数在上的定义去分析.
4．A
【分析】通过赋值法求出函数解析式，然后令，即可求出函数的定义域.
【详解】令，得，
令，则，①
令，则，即，②
联立①②得，解得，
对于函数，令，解得.
因此，函数的定义域为，故选A.
【点睛】本题考查抽象函数解析式的求解，解题时要充分利用已知条件利用赋值法求解，考查运算求解能力，属于中等题.
5．D
【分析】利用奇函数求得的解析式，画出其函数图象的草图，由不等式在闭区间上恒成立，结合的对称性，有在中，或恒成立，进而求a的范围.
【详解】由题设知：，又是定义在上的奇函数，即，
∴当时，，即，而；
当时，，即，而；
∴综上，有，可得如下函数图象，
∴对任意的有成立，
即在中，或或恒成立，
∴或恒成立，即有或.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：由已知求得的解析式并画出函数图象草图，由不等式恒成立，结合函数的对称性列不等式组，求参数范围.
6．B
【分析】令得到；令得到，代入计算得到答案.
【详解】令，则，所以,令
则,即,
所以，从而，故.
故选：
【点睛】本题考查了函数的交点问题，化简得到是解题的关键.
7．ABC
【分析】先在坐标轴中画出的图象,根据图象可判断A选项,结合解析式可判断B选项,再画出与的图象,数形结合可判断C,D选项.
【详解】在坐标轴上作出函数的图象如下图所示:
由图象可知的最大值为1,最小值为,故选项A正确;
由题可知,
所以即,故选项B正确;
作出的图象，因为，
由图象可知与有3个交点,故选项C正确;
结合图象可知,若对任意,不等式恒成立,
即时,不等式恒成立,
又,
所以,即在时恒成立,
设,则,
故时,,函数在上单调递减,
所以时,,
又,所以,即,故选项D错误.
故选:ABC.
【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.
8．BD
【解析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解.
【详解】，
则对应的图象如图：
A中由图象知函数的最小正周期为，故错误，
B中函数在上为减函数，故正确，
C中函数关于对称，故错误，
D中函数由无数条对称轴，且周期是，故正确
故正确的是
故选：BD
【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:
①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；
②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④由函数的周期性，判断图象的循环往复．
9．
【解析】令求得，令，依次递推得到，再令，依次递推得到，再利用题设可知，当时，是一个常函数，即可得到答案.
【详解】
令，可得，即，
令，可得，，
，
再令，可得，即，
，，
由题设当时，，
又，
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查抽象函数及其应用，解题的关键是两次赋值后都反复应用递推关系式，得到当时，是一个常函数，考查学生的数据分析能力与运算求解能力，属于中档题.
10．3
【分析】画出函数图像,分析要使函数在闭区间上的值域为,必有,,或,再根据求的最大值最好是正值,可得, ,即的最大值为.
【详解】
画出函数的图像可知,要使其在闭区间上的值域为,
由于有且仅有,所以,
而,所以有,或,
又∵,的最大值为正值时,,
∴,
所以,当取最小值时,,有最大值.
又∵,
∴的最大值为；
故答案为：3.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和定义域与值域之间的关系,分析双变量的最值时,可先确定正负,再看是否有办法将其中一值取到定值,以此消元.本题为中等题.
11．（﹣∞，]；
【分析】因为，可得，分段求解析式，结合图象可得结论．
【详解】解：因为，，
，时，，，
，时，，，，；
当，时，由解得或，
若对任意，，都有，则．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用以及数形结合思想的应用，属中档题．
12．.
【解析】令,两边平方,用 将 表示出来,结合 可求出的取值范围.
【详解】解:设,则
所以 ,即 整理得.解得或
故答案为: .
【点睛】本题考查了函数值域的求法.对于根式函数求值域时,若 可用换元法进行求解;若 可用几何意义法求解.
13．（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）该问题是一个确定性问题，从正面证明有一定的难度，故可采用反证法来进行证明，即先假设区间为函数的“和谐区间”，然后根据函数的性质得到矛盾，进而得到假设不成立，原命题成立；
（2）设是已知函数的定义域的子集，可以用表示，转化为二次函数的最值问题后，根据二次函数的性质，即可得答案；
【详解】（1）设是已知函数定义域的子集.∵，或，
故函数在上单调递增.
若是已知函数的“和谐区间”，则
故、是方程的同号的相异实数根.∵无实数根，∴函数不存在“和谐区间”.
（2）设是已知函数定义域的子集.∵，或，故函数在上单调递增.
若是已知函数的“和谐区间”，则
故、是方程，即的同号的相异实数根.
∵，∴，同号，只须，即或时，
已知函数有“和谐区间”，∵，
∴当时，取最大值.
【点睛】本题考查函数定义域、值域等性质，确定性问题要注意建立正难则反的思想，用反证法来求解简化证明过程，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
14．（1），理由见解析（2），；.
【分析】（1）根据题意先检验是否成立即可检验是否具有“（a）性质（2）由题意可得，，据此递推关系可推断函数的周期，根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的，以及的解析式.
【详解】（1）由得，
根据诱导公式得．
具有“（a）性质”，其中．
（2）具有“性质”，
，，
，
从而得到是以2为周期的函数．
又，则，
．
再设，
当，则，则，
；
当，则，则
；
，；.
对于，，都有，而，
，
是周期为1的函数．
①当时，要使与有1001个交点，只要与在，有1000个交点，而在，有一个交点．
过，，从而得
②当时，同理可得
③当时，不合题意．
综上所述
【点睛】本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考察构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题.
15．（1），；（2）或．
【分析】由的定义可得，（1）将代入，写出解析式，结合分段区间，求，的最小值并比较大小，即可得的最小值；（2）结合的解析式及对称轴，讨论、、分别求得对应最小值关于的表达式，结合已知求值.
【详解】由题意，
当时，，
当时，，
∴
（1）当时，，
∴当时，，此时，
当时，，此时，
.
（2），且对称轴分别为，
①当时，即时，在单调递减，单调递增；
，即，（舍去），
②当，即时，在单调递减，单调递增；
，有，故此时无解.
③当，即时，在单调递减，单调递增；
，即，（舍去）
综上，得：或.
【点睛】关键点点睛：写出的解析式，第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴，讨论参数范围求最小值关于参数的表达式，进而求参数值.
16．（1）（2）当时，.
【分析】（1）分和两种情况，结合图形即可求解.（2）分段函数求最小值时，需先求出各段的最小值，然后取其最小的作为函数在其定义域上的最小值即可.
【详解】解：
（1）时，
+由线段、线段以及弧线围成的图形面积的4倍，四边形为正方形且其边长为，
，
时，正方形的面积变为0，只有由线段、线段以及弧线围成的图形面积的4倍，，
综合以上，
（2）时，
，此时最小且
，递增，时，最小且，
，
当时，.
【点睛】考查求分段函数的解析式及其最小值，解答的关键在于读懂题意转化成数学问题；难题.
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