高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第二章——4函数的奇偶性与简单的幂函数B（含解析）

一、单选题
1．已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
2．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数的图象如图，则的解析式可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知幂函数满足，若，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
6．若幂函数在上单调递增，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．定义在R上的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A．是周期函数 B．在（－1，1)上单调递减
C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点（2，0)对称
8．若函数（）是周期为2的奇函数．则下列选项一定正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．2是函数的一个周期
C．
D．
三、填空题
9．关于的不等式的解集为__________.
10．若函数称为“准奇函数”，则必存在常数，使得对定义域内的任意值，均有，请写出一个的“准奇函数”(填写解析式)：___________.
11．奇函数f(x)在内单调递增且f（1）＝0，则不等式的解集为________．
12．已知函数，若正实数满足，则的最小值为______________.
四、解答题
13．函数对任意，，总有，当时，，且．
（1）证明是奇函数；
（2）证明在上是单调递增函数；
（3）若，求实数的取值范围．
14．已知幂函数在上单调递增，函数．
(1)求m的值：
(2)当时，记，的值域分别为A，B，若，求实数k的取值范围．
15．已知函数的定义域为，且对任意 ，都有，且当时，恒成立．
（1）证明：函数是奇函数；
（2）在定义域上单调递减；
（3），求的取值范围.
16．已知函数是幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
2．D
【分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，
所以在上也是单调递减，且，，
所以当时，，当时，，
所以由可得：
或或
解得或，
所以满足的的取值范围是，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
3．C
【分析】根据函数的奇偶性排除选项B,D,再利用函数的零点和特殊值排除选项A,即得解.
【详解】解：由图得函数的定义域为，且是偶函数.
由于选项B,D的函数为奇函数，所以排除B,D.
对于选项A, 函数的定义域为，且，所以函数是偶函数，当时，，令.所以函数轴右边图象只有一个零点1. ,与图象不符，所以选项A错误；
对于选项C, 函数的定义域为，且，所以函数是偶函数，当时，令，所以函数轴右边图象只有一个零点1. ，与图象相符，所以选项C有可能.
故选：C
4．A
【分析】讨论a的取值，可知a=0符合题意，当 时，结合二次函数的性质可得不等式组，求得a的范围,综合可得答案.
【详解】当a=0时，函数在R上单调递增，
所以在上单调递增，则a＝0符合题意；
当 时，函数是二次函数，又在上单调递增，
由二次函数的性质知， ，解得.
综上，实数a的取值范围是,
故选:A.
5．C
【分析】由可求得，得出单调递增，根据单调性即可得出大小.
【详解】由可得，∴，
∴，即.由此可知函数在上单调递增.
而由换底公式可得，，，
∵，∴，于是，
又∵，∴，故，，的大小关系是.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小.
6．D
【分析】根据幂函数的系数等于，以及的指数位置大于即可求解.
【详解】因为函数是幂函数，
所以，解得或．
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
所以．
故选：D.
7．ACD
【分析】对于A，利用周期的定义判断，对于B，根据题意求出在的解析式，然后判断，对于C，利用函数的周期和奇函数的性质可得，从而可求得其对称轴，对于D，利用函数的周期和奇函数的性质可得，从而可求得其对称中心
【详解】对于A，因为定义在R上的奇函数满足，
所以，，所以，
所以是周期为4的周期函数，所以A正确，
对于B，当时，，则，
因为为奇函数，所以，
所以，所以，
所以当时，为减函数，且当时，，
当时，为减函数，且当时，，所以在（－1，1)上不是单调递减，所以B错误，
对于C，因为是周期为4的周期函数，所以，
所以，即，所以的图象关于直线对称，所以C正确，
对于D，因为，所以，
所以，所以，所以的图象关于点对称，即的图象关于点（2，0)对称，所以D正确，
故答案为：ACD
8．AC
【分析】本题考查抽象函数的对称性与周期性，利用函数是奇函数得到关系式和，即可逐个判断出选项.
【详解】函数是奇函数，，函数图象关于点对称，故A正确；
函数是周期为2，所以的周期为4，故B错误；
函数是周期为2的奇函数， ，故C正确；
，无法判断的值，故D错误.
故选：AC.
9．
【分析】先分析函数的奇偶性和单调性，再讨论时根据单调性可得，当时，由函数值的大小可得即可求解.
【详解】因为函数的定义域为，
由，可得为奇函数，
因为，所以在和上单调递减，
当即时，
由可得，解得，
所以，
当，即或时，
由可得，解得，
所以，
综上所述：原不等式的解集为，
故答案为：.
10．(答案不唯一)
【分析】所有关于点中心对称的函数均满足题意
【详解】解析：由，知“准奇函数”的图象关于点对称，若，即图像关于点对称，如向右平移两个单位，向上平移两个单位，得到，故其图象就关于点对称.
故答案为：(答案不唯一)
11．或或．
【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得当时，，当时，，当时，，当时，，而不等式等价于或；分析可得答案．
【详解】解：根据题意，在内单调递增，且（1），
则当时，，当时，，
又由为奇函数，则当时，，当时，，
不等式，等价于或；
解可得：或或；
即不等式的解集为或或．
故答案为：或或．
12．1
【分析】由知为奇函数,求导分析为增函数,故利用
可以算得的关系,再利用基本不等式的方法求的最小值即可.
【详解】,故为奇函数,又,所以为增函数.又,
故,所以
,当且仅当时取得最小值1.
故答案为1
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.
13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）先用赋值法求出，令，即可根据定义证明是奇函数；
（2）利用定义法证明是上的增函数；
（3）先把转化为，利用单调性解不等式即可．
【详解】（1）令，则，解得，
令，则，即，即，
易知的定义域为，关于原点对称，所以函数是奇函数；
（2）任取，，且，则，
因为当时，，所以，
则，即，所以函数是上的增函数；
（3）由，得，，又由是奇函数得.
由，得，因为函数是上的增函数，
所以，解得，故实数的取值范围为．
14．(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数定义和在第一象限内的单调性可构造方程组求得；
（2）由一次函数和指数函数单调性可求得，由并集结果可构造不等式组求得结果.
（1）
为幂函数且在上单调递增，，解得：；
（2）
由（1）知：，当时，，即；
当时，，即；
，
，解得：，即实数的取值范围为.
15．（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）令，得到，令，，得到即可证明；
（2）设，则，由条件得，再由条件可得，即可得证；
（3）利用函数的奇偶性与单调性化抽象不等式为具体不等式组，即可得到结果.
【详解】（1）证明： ，
令，
，则．
令，，
，
即，而，
，
即函数是奇函数；
（2）设，则，
当时，恒成立，则，
，
函数是上的减函数；
（3）由，
可得，又函数是奇函数，
∴，
∵在定义域上单调递减
∴ ，解得，
∴，
解得，，
故的取值范围.
16．（1）；（2）存在，.
【分析】（1）根据函数是幂函数，且，求出实数，即可求出函数的解析式；
（2）化简得，求出对称轴，分，，三种情况分别求得函数的最大值，即可求出实数的值.
【详解】解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，则，故不符题意，
当时，，则，符合题意，
所以；
（2）由（1）得 ，
函数图像开口向下，对称轴为：，
当时，函数在区间上递减，
则，解得，符合题意；
当时，函数在区间上递增，
则，解得，符合题意；
当时，，解得，不符题意，
综上所述，存在实数满足题意.
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