高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第二章——3函数的单调性和最值B（含解析）

一、单选题
1．设是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，，且，那么一定有（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知定义在上的函数满足：对任意的，，，都有，，则满足不等式的x的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知定义在R上的函数的图象关于y轴对称，且对于，当且时，恒成立．若对任意的恒成立，则实数的范围可以是下面选项中的
A． B． C． D．
8．若，，那么（ ）
A．有最小值6 B．有最小值12
C．有最大值26 D．有最大值182
三、填空题
9．已知函数，且是的最小值，则实数a的取值范围是__________．
10．已知函数，若对于任意不相等的实数，都有成立，则实数的取值范围是____________
11．已知函数，若对任意实数，关于的不等式在区间上总有解，则实数的取值范围为______.
12．已知函数，函数，记，其中表示实数，中较小的数.若对都有成立，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
13．已知函数是定义在上的奇函数，且
(1)求的值
(2)用定义法证明在上的单调性，并求出在上的最大值和最小值．
14．已知定义在区间上的两个函数和，其中，.
(1)求函数的最小值；
(2)若对任意，恒成立，求的取值范围.
15．已知函数 ( 为实常数).
(1)设 在区间 上的最小值为 ， 求 的表达式;
(2)设 ， 若函数 在区间上是增函数， 求实数的取值范围.
16．已知二次函数的图象过点，对任意满足，且有最小值是.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，的图象恒在函数的图象上方，试确定实数m的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据函数性质可推得即，可判断A，B；利用函数的奇偶性结合单调性可推得，判断C；由于由题意无法确定的正负，可判断D.
【详解】因为，所以.
由函数为偶函数，得，
故不等式可化为.
又函数在上单调递增，，，所以，即,
故A错误，B正确；
由于，函数为偶函数，且在上单调递增，
故，故C错误；
由题意无法确定的正负，即的正负情况不定，故D错误，
故选：B.
另解：由题意，设，，，且，
此时，故排除A；
，，此时，，故排除C，D，
故选：B.
2．B
【分析】根据给定条件结合分段函数单调性列出不等式组，求解即可得a的取值范围.
【详解】因函数是R上的增函数，则，解得，
所以a的取值范围是：.
故选：B
3．A
【解析】将写成分段函数的形式，根据单调性先分析每一段函数需要满足的条件，同时注意分段点处函数值关系，由此求解出的取值范围.
【详解】因为，所以，
当在上单调递增时，，所以，
当在上单调递增时，，所以，
且，所以，
故选：A.
【点睛】思路点睛：根据分段函数单调性求解参数范围的步骤：
（1）先分析每一段函数的单调性并确定出参数的初步范围；
（2）根据单调性确定出分段点处函数值的大小关系；
（3）结合（1）（2）求解出参数的最终范围.
4．D
【分析】由已知条件得出单调性，再由偶函数把自变量转化到同一单调区间上，由单调性得结论．
【详解】因为对任意的，有，
所以当时，，所以在上是减函数，
又是偶函数，所以，，
因为，所以，即．
故选：D．
【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，解题方法是利用奇偶性化自变量为同一单调区间，利用单调性比较大小．
5．B
【分析】将转化为，从而得到函数为增函数，再结合将所求不等式转化为，进而根据单调性求解即可.
【详解】可转化为，不妨设，则，∴.
令，由单调性定义可知，为上的增函数.
∵，∴.
∵，∴，
∴，∴，
∴，即x的取值范围为.
故选：B.
6．B
【分析】根据函数为上的减函数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，在上为减函数，则，
函数在上为减函数，且有，
所以，，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：在利用分段函数的单调性求参数时，除了分析每支函数的单调性外，还应由间断点处函数值的大小关系得出关于参数的不等式组求解.
7．AC
【分析】首先根据函数图像的对称性判断出奇偶性，然后结合单调性的定义，判断出函数的单调性.根据单调性和奇偶性化简不等式，利用换元法，结合二次函数的性质，求得的取值范围.
【详解】f(x)关于y轴对称，即f(x)为偶函数，
又当时，＜0成立，
∴f(x)在(-∞，0）上为减函数，则f(x)在(0,+∞）上为增函数，
∵，∴|2ax|<|2x2+1|,即4a2x2<4x4+4x2+1,即4x4+(4-4a2)x2+1>0恒成立，
令t=x2,(t≥0),∴4t2+(4-4a2)t+1>0在[0,+∞)恒成立，令f(t)=4t2+(4-4a2)t+1,
∴当t=时，即-1≤a≤1时，f(t)在[0,+∞)上为增函数，∴f(t)min≥f(0)=1>0符合题意，
当t=时，即a<-1或a>1时，应满足(4-4a2)2-16<0,解得,
所以此时a的取值范围为,
综上，故AC符合题意 .
故选：AC
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性、单调性，考查不等式恒成立问题的求解策略，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
8．AC
【分析】首先求出的定义域，再依题意求出的解析式，最后根据二次函数的性质计算可得；
【详解】解：因为，，
所以，解得，即函数的定义域为，
所以，所以在上单调递增，所以，
故选：AC
9．
【分析】当时探讨函数的最小值，再探讨当时，函数的取值范围，列式求解作答.
【详解】当时，若，即，有，在上递减，在上递增，
则与是的最小值矛盾，
若，即，有在上递减，，，则，
当时，函数，当且仅当，即时取“=”，
因是的最小值，则有，解得，
所以a的取值范围为.
故答案为：
10．
【分析】由题可得在单调递减，讨论的范围判断函数的单调性即可求出.
【详解】由题在恒成立且，则，故且，
又对于任意不相等的实数，都有成立，
在单调递减，
当时，不单调，故不满足；
当时，单调递增，，故单调递减，满足题意；
当时，单调递减，，故单调递增，不满足题意；
当时，单调递减，，故单调递减，满足题意；
综上，或.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数单调性的判断，考查根据函数单调性求参数范围，属于中档题.
11．
【分析】本题要根据数形结合法将函数的图象向下平移到一定的程度，使得函数的最大值最小．再算出具体平移了多少单位，即可得到实数m的取值范围．
【详解】解：由题意，在区间上的图象如下图所示：
根据题意，对任意实数a，关于x的不等式在区间上总有解，
则只要找到其中一个实数a，使得函数的最大值最小即可，
如图，函数向下平移到一定才程度时，函数的最大值最小．
此时只有当时，才能保证函数的最大值最小．
设函数图象向下平移了个单位，（）．
，解得.
∴此时函数的最大值为．
根据绝对值函数的特点，可知
实数的取值范围为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了数形结合法的应用，平移的知识，绝对值函数的特点，以及简单的计算能力．本题属中档题．
12．，或
【分析】首先根据题意可知当或时，恒成立，又对都有成立，则时，恒成立，再对进行分类讨，求出的最值，由此即可求出结果.
【详解】由于对都有成立，
令，可得或；
所以当时，恒成立；
当时，在区间上单调递减，所以，
所以，可得，所以或，
所以；
当时，在区间上单调递增，所以，
所以，可得，所以或，
所以；
当时，在区间上单调递增，在上单调递减，
所以，此时不成立；
综上所述，，或.
故答案为：，或.
【点睛】本题主要考查了函数的单调性、函数最值、恒成立问题等，同时考查转换思想，属于中档题．
13．(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）由求解；
（2）利用单调性定义求解.
（1）
解：由，
可得，
此时，符合题意；
（2）
设，
，
，
由，
，
故，
所以在上单调递减，
此时.
14．(1)
(2)
【分析】（1）先将的解析式进行配方，然后讨论对称轴与区间的位置关系，可求出函数的最小值；
（2）根据函数的单调性求出函数的最小值和的最大值，然后使，建立关系式，解之即可求出答案.
(1)
由，则二次函数的对称轴为，
则当时，在上单调递减，在上单调递增，所以
；
当时，在上单调递减， ，
所以；
(2)
，当时，，又在区间
上单调递增，所以.
若对任意，恒成立
则，故或
解得：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）就、、、、分类讨论后结合函数的单调性可求函数的最小值.
（2）利用单调性的定义可求参数的取值范围.
(1)
若，则，该函数在上为减函数，故，
若，则的图象为开口向下的抛物线，且其对称轴为，
故在上为减函数，故，
若，则，故在上为减函数，
故，
若，则在上为减函数，在为增函数，
故，
若，则，故在上为增函数，
故，
综上，.
(2)
，
任意的，
，
因为 在区间上是增函数，故对任意恒成立，
而，故对任意.
若即，
因为，故即，故，
若即，故，符合；
若即，故即，故，
综上，.
16．（1）；（2）.
【解析】（1）根据题意可知函数关于直线对称，设二次函数的顶点式，然后利用待定系数法求解；
（2）将函数的解析式代入，使在上横成立，只需使在上恒成立.
【详解】解：（1）由题知二次函数图象的对称轴为，又最小值是
则可设
又图象过点，
则，解得，
∴.
（2）由已知，对恒成立，
∴在恒成立，
∴.
∵在上的最小值为.
∴.
【点睛】本题考查函数解析式的求解问题，考查根据不等式的成立问题求参数的取值范围，难度一般.
答案第1页，共2页
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