高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第二章——4函数的奇偶性与简单的幂函数C（含解析）

一、单选题
1．已知是定义在R上的奇函数，满足，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．方程=0最多有四个解
B．函数的值域为[]
C．函数的图象关于直线对称
D．f(2020)=0
2．函数若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，若对于任意，总存在正数，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：，若函数是定义在R上的偶函数，且对任意x都有，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
E．m，n是奇数时，幂函数的定义域为
8．已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（ ）
A．在上单调递增
B．在上单调递减
C．
D．
三、填空题
9．若函数有且只有一个零点，是上两个动点（为坐标原点），且， 若两点到直线的距离分别为，则的最大值为__________.
10．已知是定义在上的奇函数，满足，若，则__________．
11．若偶函数对任意，都有，且时，，则___________.
12．若是定义在上的奇函数，且．若对任意的两个正数，都有，则的解集为__________
四、解答题
13．已知函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．
（1）请分别求出与的解析式；
（2）记．
（i）证明：为奇函数；
（ii）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
14．已知函数的定义域为，值域为，在上恒成立，且对任意，，都有．
（1）求的值，并证明为奇函数；
（2）若时，，且，证明为上的增函数，并解不等式．
15．已知函数．
（1）若满足为R上奇函数且为R上偶函数，求的值；
（2）若函数满足对恒成立，函数，求证：函数是周期函数，并写出的一个正周期；
（3）对于函数，，若对恒成立，则称函数是“广义周期函数”， 是其一个广义周期，若二次函数的广义周期为（不恒成立），试利用广义周期函数定义证明：对任意的，，成立的充要条件是．
16．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）若是R上的单调增函数，求实数a的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】由已知可分析出函数的对称轴以及周期，值域，进而可以判断，，是否正确，而选项，需将方程根的问题转化为函数的零点问题进行求解即可．
【详解】由可得：，
则，所以函数的周期为2，
所以，正确，排除D；
再由以及，
所以，则函数的对称轴为，正确，排除C；
当时，，，
又函数是奇函数，时，，，
即时，
又因为函数的对称轴为，
所以时，
所以时
又因为函数的周期为2，
所以函数的值域为，正确，排除B；
故选：．
【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查函数的奇偶性、函数的奇偶性、函数的对称性，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
2．B
【解析】画出函数的图象，由图象判断，根据将原式转化为，再利用二次函数的性质求解即可.
【详解】画出函数的图象如图，
因为，且，
由图可知点的横坐标分别为，
其中，
因为的图象关于对称，
所以，又
所以
，
因为，所以，
即的取值范围是，
故选：B.
【点睛】方法点睛：函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
3．C
【分析】若对任意的，不等式恒成立，即对，不等式恒成立，，进而可得答案.
【详解】当时，单调递减，，
当时，单调递减，，
故在上单调递减，
由，得的对称轴为，
若对任意的，不等式恒成立，
即对，不等式恒成立，
，
即，
即，
故实数的最大值为.
故选：C.
4．A
【解析】先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单调性即可求出的解集.
【详解】解： 对任意的，都有 ，
在上是增函数，
令，
则，
为偶函数，
在上是减函数，
且，
，
当时，，
即，解得：，
当时，，
即，解得：，
综上所述：的解集为：.
故选：A.
【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
5．C
【解析】分析函数为奇函数，由推导出有解，求得的取值范围，进而可求得正实数的取值范围.
【详解】当时，函数的定义域为，，所以，函数为奇函数.
，则函数在区间和上均为增函数，
若且，即，即，
所以，，
对于任意，总存在正数，使得成立，
则，，
，，，即有，
.
故选：C.
【点睛】对于函数的新定义的问题，应准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的函数的基本性质的问题.
6．D
【分析】根据函数的奇偶性及周期性结合黎曼函数的解析式即可求解.
【详解】由，可得的周期为4，又是定义在R上的偶函数，则，，则.
故选：D.
7．ACE
【解析】将函数还原成根式形式：，分别讨论m，n是奇数偶数的时候辨析函数的奇偶性和单调性.
【详解】，
当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误
当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；
时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；
当m，n是奇数时，幂函数在上恒有意义，故E中的结论正确.
故选：ACE.
【点睛】此题考查幂函数的奇偶性和单调性的辨析，关键在于准确掌握幂函数的指数变化对第一象限的图象的影响，利用m，n是奇数偶数的变化讨论函数的奇偶性.
8．BC
【分析】由已知，结合题意给的不等关系，两边同除得到，然后根据，即可判断与两者的大小，从而判断选项A，选项B由前面得到的不等关系，通过放缩，即可确定与的大小，从而确定函数的单调性，选项C和选项D，可利用前面得到的不等式，令，带入，然后借助是奇函数进行变换即可完成判断.
【详解】由已知，，，
所以，即，
因为，所以，
所以，
因为，所以，
因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，所以，
因为，所以在上单调递增，故选项A错误；
因为，，所以，
所以，
即，又因为，
所以在上单调递减，选项B正确；
因为时，恒成立，
所以令，代入上式得，即，
又因为是定义在上的奇函数，所以，
所以，故选项C正确，选项D错误.
故选：BC.
9．
【分析】根据函数的奇偶性先求解出的值，然后根据判断出中点的轨迹，再根据转化关系将的最大值转化为圆上点到直线的距离最大值，由此求解出结果.
【详解】因为的定义域为，且，所以是偶函数，
又因为有唯一零点，所以，所以，所以，
因为，所以，所以，所以，
设的中点为，，如下图所示：
所以，
又因为，所以，所以的轨迹是以坐标原点为圆心，半径为的圆，
所以当取最大值时，为过垂直于的线段与的交点，
所以，
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数奇偶性、圆中的轨迹方程、圆上点到直线的距离最值，属于综合型题型，难度较难.圆上点到一条与圆相离直线的距离最值求解方法：先计算出圆心到直线的距离，则距离最大值为，距离最小值为.
10．3
【分析】是定义在上的奇函数，满足可推导出函数周期为4，再根据及，推导出，即可求出函数值.
【详解】因为是定义在上的奇函数，满足，
所以，
即，
所以，即周期，
又是定义在上的奇函数，可得
令，，即，
，
，
所以，
而
故答案为3
【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，函数的周期性，函数求值，属于中档题.
11．
【分析】根据，可知函数周期为6.再根据函数为偶函数，可知，则，求解即可.
【详解】对任意，都有
即
函数周期为6.
又函数为偶函数，时，
即.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数的周期性与奇偶性，属于较难的一道题.
12．
【分析】设，由题可得是定义在上的偶函数，且在上单调递减，再结合条件可得，即求.
【详解】设，
∵对任意的两个正数，都有，即，
∴在上单调递减，又是定义在上的奇函数，
∴是定义在上的偶函数，
由得，即，
∴，又，
故的解集为.
故答案为：.
13．（1），；（2）（i）证明见解析；（ii）.
【解析】（1）根据题意，分析可得，结合函数的奇偶性可得，联立两个式子分析可得答案；
（2）（i）求出的解析式，结合函数的奇偶性与单调性定义分析可得结论；
（ii）根据题意，原问题可以转化为，令，记，即可．
【详解】（1）根据题意
①，则
∵为奇函数，为偶函数
∴②
联立①②可得，
（2）（i）由（1）得
定义域为，对任意，
都有∴为奇函数
（ii）∵为增函数，∴为减函数，
∴为增函数，
即为上单调递增的奇函数
∴存在，使成立
即存在使得成立
即，使成立
令，使成立
∵在上单调递减，在上单调递增
而，，∴，∴.
【点睛】关键点睛：本题中函数解析式的求法-方程组法，及函数奇偶性的性质，其中根据函数奇偶性的定义构造出关于关于与的另一个方程：是解答本题的关键.
14．（1）1，证明见解析；（2）.
【分析】（1）令可求得，通过可代换出，再求，结合即可证明为奇函数
（2）任取，则，再结合的性质进行代换，即可求证； 等价于，解得，考虑到，故可代换为，根据函数增减性即可求得取值范围
【详解】（1）令，得，
又函数的值域为，．
，，
，
为奇函数．
（2）任取，，．
．
，，
当时，，，
，
又函数的值域为，
，即．
为上的增函数．
由，即，化简得，
，．
又为上的增函数，．
故的解集为．
【点睛】本题考查抽象函数具体函数值的求法，复杂函数奇偶性的证明，抽象函数增减性的证明，利用函数的增减性解不等式，整体难度较大
15．（1）0；（2）证明见解析，正周期为24；（3）证明见解析．
【解析】（1）根据为R上奇函数，可得，根据为R上偶函数，可得，进一步可得，所以的一个周期为，根据周期求出结果即可；
（2）根据题意推出，得到函数的一个周期为，再结合的一个周期为，可得，从而可得结果；
（3）充分性：利用可证；必要性：根据可得，再根据和，得到，根据以及二次函数知识可得，即.
【详解】（1）因为满足为R上奇函数，所以，所以，
又因为满足为R上偶函数，所以，所以，
所以有，所以，所以，所以，所以的一个周期为，
所以，
在中令，得，所以，
在中令，得，所以，
所以；
（2）因为，
所以
因为
，
所以，所以函数的一个周期为，
因为，
所以，所以是周期函数，一个正周期为24；
（3）充分性：当时，，
此时，
所以充分性满足；
必要性：因为二次函数的广义周期为，
所以，所以，
所以，
又因为不恒成立，所以，所以，
又因为，且，所以，
因为，所以，
所以，即，也即，
所以必要性满足．
所以：对任意的，，成立的充要条件是．
【点睛】本题考查了由函数的奇偶性推出周期性，考查了利用奇偶性和周期性求函数值，考查了周期函数的定义，考查了新定义，考查了二次函数的图象和性质的应用，考查了充要条件的证明，属于难题.
16．（1）；（2）
【分析】（1）由奇函数的定义可求得解析式；
（2）由分段函数解析式知，函数在上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即时要是增函数，且端点处函数值不小于0.
【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，
当时，，则，
所以，
所以.
（2）若是上的单调增函数，且，则实数满足，解得，
所以实数的取值范围是.
【点睛】方法点睛：本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系，考查学生的分析能力，属于较难题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页