高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第三章——2指数幂的运算性质B（含解析）

一、单选题
1．已知函数f（x）满足：对任意的，若函数与图像的交点为，则的值为（ ）
A．0 B．2n C．n D．-n
2．某食品的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：℃）满足函数关系（为自然对数的底数，、为常数），若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（ ）小时
A．22 B．23 C．24 D．33
3．化简(其中，)的结果是（ ）
A． B． C． D．
4．已知正数，满足，则的最小值为（ ）
A．8 B．12 C． D．
5．已知，，，则的最小值是（ ）.
A．3 B． C． D．9
6．已知定义在R上的函数满足：，，当时，，其中e是自然对数的底数，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．若函数对任意的，均有，则称函数具有性质P，则下列判断正确的有（ ）
A．函数具有性质P
B．函数具有性质P
C．函数具有性质P，若，则
D．函数具有性质P，若，则
8．已知实数a满足，下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
10．已知函数是奇函数，则实数a的值为__________．
11．已知函数的图象关于点成中心对称，则点的坐标为________．
12．已知常数，函数的图象经过点、，若 ，则___
四、解答题
13．（1）已知，求的值；
（2）已知，，求的值．
14．已知函数．
（1）计算；；的值；
（2）结合（1）的结果，试从中归纳出函数的一般结论，并证明这个结论；
（3）求的值．
15．（1）已知，化简.
（2）设，，，求的值.
16．（1）不查表计算：；
（2）已知，，试用表示.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根图象的对称性可得的值.
【详解】因为任意的，故的图象关于对称.
又，
设，则的定义域为且，
故为奇函数，故其图象关于原点对称，而，
故图像关于对称.
故函数与图像的诸交点关于对称，
不妨设，则，
且，其中，
故，所以，
故，
故选：C.
2．C
【详解】由题意可得：，解得：
∴
∴该食品在33℃的保鲜时间是24小时
故选C
3．C
【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂，再借助幂的运算法则计算即得.
【详解】因，，所以.
故选：C
4．B
【分析】可通过已知条件，先找到与的等量关系，然后把等量关系带入要求的式子，消掉，从而得到关于的两项乘积为定值的和的关系，然后再使用基本不等式完成求解.
【详解】由已知，，均为正数，，故，即，所以，当且仅当时等号成立.
故选：B.
5．B
【分析】由已知结合指数与对数的运算性质可得，从而，展开后利用基本不等式可得解．
【详解】，，，
所以，即，
所以，
则，
当且仅当且即，时取等号，
则的最小值是．
故选．
【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及利用基本不等式求解最值，要注意应用条件的配凑．
6．D
【解析】求出函数的周期，结合已知条件以及时，可得结果.
【详解】由已知可知，
，即，
所以函数是一个以4为周期的周期函数，
又因为当时，，
所以，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：通过函数的奇偶性和对称性求出函数的周期性是解题的关键.
7．AC
【解析】A. 由指数运算判断；B.利用特殊值，取判断；C. 采用反证法，假设存在有，且i为最小的值，则，根据推理；D. 举例判断.
【详解】A. 因为，所以函数具有性质P ，故正确；
B.当时，，故错误；
C. 假设存在，有，且i为最小的值，则，因为，则，则，与矛盾，所以对任意，当时， 均有，则，故正确；
D. 如，x为有理数时，为有理数，则 ，x为无理数时，为无理数，，具有具有性质P，且，而，故错误；
故选：AC
【点睛】关键点点睛：对的理解和变形为是解决本题的关键.
8．ACD
【分析】由结合完全平方公式分别求出各个选项式子的值，即可判断正误．
【详解】,，，故选项A正确;
，，故选项B错误;
,，故选项C正确;
,且
，，，故选项D正确.
故选：ACD
9．
【分析】根据指数函数，二次函数及复合函数的单调性求解即可；
【详解】解：因为是R上的增函数，在上单调递减，
所以，根据复合函数单调性，要使在上单调递减，需，解得，
所以，实数的取值范围是．
故答案为：
10．1
【分析】根据奇函数的定义即可求解；
【详解】因为函数是奇函数，所以，
即，化简整理，得，即，
所以，解得.
所以实数a的值为.
故答案为：.
11．．
【分析】设，可知上任意一点关于的对称点也在上，由此可整理得到的表达式，利用表达式相同可构造方程组求得，由此得到结果.
【详解】设，图象上任意一点，
则点关于点的对称点也在上，
，即，
，
与为同一个表达式，
，解得：，点的坐标为.
【点睛】思路点睛：本题考查函数图象对称中心的求解，解决此类问题可通过设点的方式，根据对称的特点可知其关于对称中心对称的点也在函数图象上，由此构造方程求得对称中心.
12．；
【分析】首先将点代入函数，并且变形为，，两式相乘并结合已知条件即可求解.
【详解】由条件可知，得 ①
，得 ②
①②得，
，又，得.
故答案为：
13．（1）18；（2）.
【分析】（1）由题可得，结合条件及指数幂的运算法则即得；
（2）由题意化简所给的代数式，再结合条件即求.
【详解】（1）
．
（2）∵，，
∴原式
．
14．（1）1；1；1；（2）对任意实数都有，证明见解析；（3）1010.
【分析】（1）直接根据解析式计算即可；（2）观察（1）中式子得出一般规律，再代入计算即可验证；（3）通过观察结论式，对所求式首尾配凑即可.
【详解】（1）；
；
．
（2）对任意实数都有．
证明：由得：．
（3）由（2）知，，倒序相加得：
．
15．（1）；（2）8
【分析】（1）用完全平方公式将根式内多项式配方，再根据指数运算化简；
（2）观察题中式子的特点，令，，将用表示出来，简化运算.
【详解】（1）由，得，
∴.
（2）令，，则
，，
，
.
∴.
【点睛】本题考查了指数幂的运算，考查了学生的分析观察能力，运算能力，属于中档题.
16．（1）1；（2）.
【解析】（1）利用对数的运算法则和指数幂的性质，即可化简得出结果；
（2）利用指对数的互化以及对数的运算法则，即可求出结果.
【详解】解：（1）
；
（2）由题可知，，由得，
，
即.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用对数的运算法则、以及指数幂的性质和指对数的互化进行化简求值，熟练运用对数的运算公式和指数幂的运算是解题的关键，考查化简运算能力.
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