高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第三章——1指数幂的拓展B（含解析）

一、单选题
1．已知x5=–243，那么x=
A．3 B．–3
C．–3或3 D．不存在
2．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是（ ）
A．（） B．
C．（） D．（）
3．不等式的解为
A． B． C． D．
4．函数(，且)在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
6．化简（其中）的结果是
A． B． C． D．
二、填空题
7．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．
8．以下命题，正确的是__________
①函数和为同一函数
②如果函数在区间内满足，那么函数在区间内有零点
③由实数组成的集合，至多有2个元素
④函数的减区间为
9．设，且，求=_________.
10．__________．
三、解答题
11．已知函数．若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
12．阅读材料，解决问题：
化简：．由于题目没有给出x的取值范围，所以要分类讨论，．
令，，令，得；
∴的零点值为3，的零点值为，在数轴上标出3和的点，数轴被分成三段，即，，；
当时，原式；当时，原式=5；当时，原式．
(1)求和的零点值；
(2)化简：．
(3)求方程：的整数解．
13．化简或求下列各式的值．
（1）；
（2）（lg5）2+lg5 lg20+．
14．（1）化简求值；
（2）如图，在中，，，为边的中线，为的重心，用，表示向量．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据根式的意义可知x=，利用根式性质化简即可.
【详解】∵x5=–243，∴x=．故选B．
【点睛】本题主要考查了根式，根式的性质，属于中档题.
2．C
【分析】利用分数指数幂与根式的互化公式逐个判断即可.
【详解】A中，（），故A错误；
B中，，故B错误；
C中，（），故C正确；
D中，（），故D错误．
故选：C．
3．B
【分析】将不等式化为，再利用函数的单调性即可解出．
【详解】等价于
∴
解得．故选B．
【点睛】本题主要考查分数指数幂与根式的转化，以及幂函数单调性的应用．
4．B
【分析】根据给定条件令，再借助二次函数单调性结合复合函数单调性分类讨论作答.
【详解】令，则原函数转化为，其图象的对称轴为直线，
若，则在上单调递增，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得，与矛盾，
若，则在上单调递减，且，因为原函数在区间上单调递增，于是得，解得或，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
5．D
【分析】因为,则,可得,即可计算的值.
【详解】
.
故选:D.
【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的转化与化简,属于基础题.
6．C
【分析】根据分数指数幂化简即可.
【详解】=,选C.
【点睛】本题考查分数指数幂运算,考查基本求解能力,属基础题.
7．
【分析】根据指数函数，二次函数及复合函数的单调性求解即可；
【详解】解：因为是R上的增函数，在上单调递减，
所以，根据复合函数单调性，要使在上单调递减，需，解得，
所以，实数的取值范围是．
故答案为：
8．③
【分析】对①利用同一函数的定义判断；对②利用零点存在性定理分析判断；对③利用根式的化简判断；对④利用复合函数的单调区间的求法判断得解.
【详解】①函数和不是同一函数，因为两个函数的定义域不同，前者的定义域是R,后者的定义域是，所以该命题是错误的；
②如果函数在区间内满足，那么函数在区间内不一定有零点，因为函数可能不连续，所以该命题是错误的；
③由实数组成的集合，至多有2个元素，是正确的，所以该命题是正确的；
④函数是一个复合函数，函数的定义域为，
函数的减区间为，函数是增函数，所以函数减区间为，所以该命题是错误的.
故答案为③
【点睛】本题主要考查同一函数的判定，考查零点存在性定理，考查根式的化简，考查复合函数的单调区间的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．
【分析】可对左右同时平方，结合平方关系即可求解
【详解】对左右同时平方得
同时由可判断，则，
故答案为
【点睛】本题考查利用整体法求解表达式数值，和的平方与差的平方的关系，可简单记为：
10．100
【详解】原式
．
11．
【分析】由令，可知，则对任意，恒成立，等价于，，恒成立，即只需．讨论与、的大小关系，即可得到在的单调性，即可求出的最小值，即可求出答案.
【详解】．
令，则．
易知为增函数，则当时，．
令，，
则只需．
当，即时，在上单调递增，所以，解得，与矛盾，舍去；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，解得；
当，即时，在上单调递减，所以，解得，与矛盾，舍去．
综上，实数的取值范围是．
12．(1)，
(2)答案见解析
(3)，，，，，，
【分析】（1）令，，求出的值即可．
（2）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得．
（3）利用零点分段法分类讨论，分别计算可得．
（1）
解：可令和，
解得和，∴，分别为和的零点值．
（2）
解：
当时，
，
原式
当时，
，
原式
当时，
，，
原式
（3）
解：当时，
∴，
∴方程左边；
当时，∴，
∴方程左边；
当时，∴，，
∴方程左边，
∴，
∴整数解为：，，，，，，．
13．（1）；（2）2
【分析】（1）进行分数指数幂的运算即可； （2）进行对数的运算即可．
【详解】（1）原式=；
（2）原式=lg5（lg5+lg20）+lg4=2（lg5+lg2）=2．
【点睛】本题主要考查分数指数幂和对数的运算，考查对数的换底公式．意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.
14．（1）2；（2）.
【分析】（1）直接利用对数和根式的运算性质化简求值即可；
（2）利用向量的加法及数乘运算由可得解.
【详解】（1）解：原式
（2）解：∵，则
∴而
∴.
【点睛】本题主要考查了根式及对数的运算性质及向量的加法及数乘运算，属于基础题.
答案第1页，共2页
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