高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第三章——3指数函数B（含解析）

一、单选题
1．若实数，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知（为常数）为奇函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若，，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数，如果对于任意，存在，使得，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，5] B． C．[2，3] D．
6．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．，则实数a的取值范围是
B．恒成立，则实数a的取值范围是
C．
D．，则实数a的取值范围是
8．已知实数，满足等式，则下列不等式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．设不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是_______．
10．已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．
11．已知函数是R上的奇函数，且的图象关于对称，当时，，计算＝________．
12．已知函数，设，若，则的取值范围是__________．
四、解答题
13．已知函数的图象经过点，
(1)求a的值；
(2)求函数的定义域和值域；
(3)判断函数的奇偶性并证明．
14．设函数．
（1）若，求的值；
（2）若，设，求在上的最小值．
15．已知函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）求函数，，的值域．
16．已知函数（，a为常数）是定义在R上的奇函数．
(1)求函数;
(2)用单调性定义证明函数是R上的增函数;
(3)若函数满足，求实数x的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】由指数函数的性质可知是上的增函数；根据题意可知，即，再根据函数的单调性，可得，由此即可得到结果．
【详解】令，由于，均为上的增函数，所以是上的增函数．
因为，所以，即，所以，所以．
故选：C．
2．A
【分析】由奇函数的定义列方程求出的值，再判断函数的增减性，从而利用函数的单调性可求得答案
【详解】因为函数为奇函数，
所以，
，得
所以，
任取，则，
则，
所以，，则函数为上的增函数，
由，解得.
故选：A.
3．A
【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性比较出之间的大小关系.
【详解】因为在上单调递减，所以，即，
又因为在上单调递增，所以，即，
所以，
故选：A.
【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数当时在上单调递增.
4．B
【分析】根据指数函数、二次函数的单调性结合复合函数单调性的“同增异减”求解.
【详解】令，
则是单调递增函数，
当时，是增函数；当时，是减函数，
由复合函数单调性可知，
当时，单调递增，
故选：B
5．A
【解析】利用的奇偶性及指数函数的单调性求出当时的值域A，由二次函数的单调性求出在上的值域B，由题意知，列出不等式组求解即可.
【详解】当时，，
因为是定义在上的奇函数，
所以，当时，，记，
，对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
即当时，，记，
对于任意，存在，使得等价于，
所以，解得.
故选：A
【点睛】结论点睛：本题考查函数方程（不等式）恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
6．C
【解析】分析出函数为上的奇函数，且该函数在上为增函数，进而可得出函数为上的增函数，由化简可得出对任意的恒成立，由此可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】对任意的，，所以，函数的定义域为，
由，
可得，
可知函数为奇函数，又由，
当时，函数和单调递增，
任取，则，，可得，即，
所以，函数在上单调递增，则函数在上单调递增，
由于函数在上连续，则函数在上的增函数，
由，有，
有，可得，
由题意可知，不等式对任意的恒成立，
有，解得．
故选：C.
【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.
7．BD
【分析】求出在的值域可判断A B；
求出在的值域，，转化为的值域是值域的子集，可判断C；由在的值域可判断D.
【详解】因为，所以时，，
若，则，故A错误；
若恒成立，则实数a的取值范围是，故B正确；
因为在上单调递增，所以在单调递减，
所以，
，所以的值域是值域的子集，
而的值域是，的值域是，故C错误；
因为在的值域是，所以实数a的取值范围是，故D正确.
故选：BD.
8．AD
【分析】作出函数与函数的图像，分，两种情况求解.
【详解】作出函数与函数的图像，如图，
当时，根据图像得，故A选项正确；
当时，根据图像得，故D选项正确；
故选：AD.
9．
【分析】参变分离可得，再根据指数函数的性质及二次函数的性质求出的取值范围，即可得解.
【详解】解：由，得，
即，
，，
则，
，则，即．
故答案为：
10．
【分析】换元后利用参变分离，最后用基本不等式进行求解.
【详解】由题意得：有解
令
有解，即有解，显然无意义
,当且仅当，即时取等，
故答案为：.
11．1
【分析】利用奇函数及其对称轴求的周期，并由奇函数求上的解析式，进而求得，应用周期性求值即可.
【详解】由题意，且，
∴，即，
∴是周期为4的函数.
令，则，而时，
∴，
∴，即，
而.
故答案为：1
12．
【分析】画出的图象，数形结合求得的范围，将转化为关于的函数，再求函数的值域即可.
【详解】画出函数图象如图所示，
由图象可知要使，
同时成立，
则.
，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：考查指数函数图象的应用，解题的关键是借助函数图象求得参数范围，将式子转化为二次函数的形式.
13．(1)；
(2)的定义域为R ，值域为；
(3)奇函数，证明见解析.
【分析】（1）把函数图象经过的点的坐标代入函数式，计算作答.
（2）利用指数函数的定义，结合不等式性质求解作答.
（3）利用奇偶函数的定义计算判断作答.
(1)
依题意，函数的图象过点，则有，解得，
所以a的值是1.
(2)
由（1）知函数，因，所以的定义域为R，
而，所以的值域为.
(3)
函数是R上的奇函数，
因的定义域为R，且，所以是奇函数.
14．(1)；(2) .
【分析】(1)由可得，两边平方后进行配方可求出的值.
(2)由可求出，从而可得的解析式，由在上单调递增，可设，通过讨论对称轴和区间的三种位置关系，结合二次函数的单调性即可求出函数的最小值.
【详解】(1)解:因为，所以，则，即，
即，因为 ，
因为，所以，即.
(2)因为，整理得，解得或(舍去)，
所以，
在上单调递增，在上单调递减，
则在上单调递增，当时，，当时，，
令，则，对称轴为，抛物线开口向上，
当时，在上单调递增，此时当时，；
当时，在上单调递减，此时当时，；
当时，在先减后增，此时当时，；
综上所述，在上的最小值
【点睛】关键点睛:
本题第二问的关键是利用换元法，通过讨论二次函数对称轴和区间的三种位置关系:对称轴在区间左侧，对称轴在区间内，对称轴在区间右侧，从而确定函数的单调性，进而求出最小值.
15．（1）；（2），．
【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得恒成立，代入可求得答案．
（2）由（1）知函数，得出函数在，上的单调性和值域，令，得，再由二次函数的性质可求得函数的值域．
【详解】解：（1）因为函数为奇函数，所以恒成立．
又，
因为，所以，．
当时，函数，满足，
故；
（2）由（1）知函数，所以函数在，上为增函数，所以可得，．
令，则，．且，
所以，
因为在，上单调递增，在，上单调递减，
所以当时，函数的最大值为，
当时，函数的最小值为，
所以可得，，的值域为，．
16．(1)
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据奇函数的性质得到，即可求出参数的值，即可得到解析式，再代入检验即可；
（2）根据函数单调性的定义进行证明．
（3）利用函数奇偶性和单调性的性质 进行转化求解即可．
(1)
解：因为函数（，a为常数）是定义在R上的奇函数，所以，即，解得，所以，则满足条件，故，所以
(2)
证明：设，且，
，
，
，，
则，
即，即在上为增函数．
(3)
解：由得，
在上为增函数，
，即，
得，
解得或，
即实数的取值范围是．
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