高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第三章——3指数函数C（含解析）

一、单选题
1．已知则的值位于下列哪个区间
A． B． C． D．
2．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则（ ）
A．8 B．10 C．13 D．18
4．定义为中的最大值，设，则的最小值是
A．2 B．3 C．4 D．6
5．已知函数，设（）为实数，且．给出下列结论：
①若，则；
②若，则．
其中正确的是（ ）
A．①与②均正确 B．①正确，②不正确
C．①不正确，②正确 D．①与②均不正确
6．对于给定的正数，定义函数，若对于函数的定义域内的任意实数，恒有，则
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为1 D．的最小值为1
二、多选题
7．［多选题］若关于的方程（且）有解，则的取值可以是（ ）
A． B． C． D．0
8．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，记，，则下列说法正确的是（ ）
A．对于函数，有成立
B．对于函数，存在，使得成立
C．对于函数，有成立
D．若是二次函数，且是空集，则为空集
三、填空题
9．已知函数关于点对称，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为_______.
10．对于函数中的任意有如下结论：
①； ②；
③； ④；
⑤； ⑥.
当时，上述结论正确的是______.
11．设，关于的不等式在区间上恒成立，其中，是与无关的实数，且，的最小值为1.则的最小值______.
12．设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是___________
四、解答题
13．已知函数为定义在R上的奇函数.
（1）求a的值；
（2）判断函数的单调性，并用单调性定义证明；
（3）若关于x的不等式有解，求t的取值范围.
14．已知函数的定义域为，其中为实数．
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
15．已知二次函数，关于x的不等式<0的解集为
(1)求实数m、n的值；
(2)当时，解关于x的不等式；
(3)当是否存在实数a，使得对任意时，关于x的函数有最小值-5.若存在，求实数a值；若不存在，请说明理由
16．已知函数（为常数，且，）．
(1)当时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围；
(2)当为偶函数时，若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】化简,则可得到为函数与函数的两个交点的横坐标,画出图象,易得到,利用对数性质可得,进而得到可行的范围
【详解】由题,因为则,
因为
所以为函数与函数的两个交点的横坐标,如图所示,
所以,则,
显然,即,则
故选：B
【点睛】本题考查指数函数、对数函数的图象的应用,考查数形结合思想
2．C
【分析】依题意可知函数与函数在区间上同增或者同减，则根据同增或同减分两种情况讨论即可.
【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增,
若区间为函数的“稳定区间”，
则函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，即，
所以;
②若两函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即，不等式组无解.
综上所述；.
故选；C.
【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立 ；
（2）恒成立 .
3．D
【分析】分析函数的对称性，再借助对称性的性质计算作答.
【详解】函数定义域为R，且，即点在函数图象上，
，，因此，函数的图象关于点对称，
依题意，不妨令，则点与关于点对称，即且，
所以.
故选：D
【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，，存在常数a，b使得
或者，则函数图象关于点对称.
4．C
【分析】画出函数的图象，如图
由图可知，函数在 处取得最小值，即的最小值为，故选C.
5．A
【分析】令，得到为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设，结合，利用直线的方程得到，进而得到，可判断①正确；②中，不妨设，得到点，利用直线的方程得到，进而得到，可判定②正确.
【详解】令函数，
可得函数为单调递增函数，
又由，即，
所以函数为奇函数，图象关于点对称，如图（1）所示，
①中，因为，且，则，
不妨设，
则点，此时直线的方程为，
可得，
则，
可得，
又由，所以，
即，即，所以①正确；
②中，若，不妨设，则，
不妨设，
则点，此时直线的方程为，
可得，
则，
可得，
又由，所以，
即，即，
所以②正确.
故选：A.
【点睛】方法点拨：令函数，得到函数为递增函数，且为奇函数，求得点和，结合直线和的方程，得出不等式关系式是解答的关键.
6．B
【分析】先根据得到与最值的关系，然后利用换元法求解函数的值域，即可确定的取值范围，则的最值可确定.
【详解】因为，所以由定义知，
因为，所以，则函数的定义域为，
令 ，则 ， ，所以 ，因此 .
故选B.
【点睛】指数型函数值域的求解方法：利用换元法令，求解出的值域即为的取值范围，根据指数函数的单调性即可求解出的值域.
7．BC
【分析】若关于的方程（且）有解，可用换元法，利用分离参数转化方程，配合基本不等式可求出的取值范围，并得到符合范围的选项
【详解】设，若有解，等价于，即有解，换元整理得方程有解
∵，∴，当且仅当时取等号，
∴所以若要有解，需，
∴即，
∴的取值范围是．
故选：BC
8．ACD
【分析】根据“不动点”和“稳定点”的定义逐个分析判断即可.
【详解】对于函数，，故A正确；
对于函数，，，，故B错误；
对于函数，设方程的解为，则，，即，因为函数在R上单调递减，且，所以函数在R上单调递增，且，又因为，所以是方程的唯一解，则，故C正确；
若是空集，则恒成立或恒成立，若恒成立，用代替可得，同理可得，所以无解，即为空集，故D正确.
故选：ACD.
9．
【分析】由得使得不等式一边是参数，另一边是不含关于的式子，分离参数.
【详解】由为奇函数，可得其图像关于对称，
所以的图像关于对称，
由题目可知函数关于点对称，可得，
对任意的，恒成立
恒成立，
即在恒成立，
所以，
令，由，可得，
设，
当时，取得最大值，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】①分离参数法：遇到类似或等不等式恒成立问题，可把不等式化简为或的形式，达到分离参数的目的，再求解的最值处理恒成立问题；
②恒成立问题最终转化为最值问题，而分离参数法，最好之处就是转化后的函数不含参，避免了麻烦的分离讨论.
10．①③⑤⑥
【分析】由函数解析式代入各个结论检验．①②直接代入变形判断，③分类讨论，按的正负分类，④中时，左边的式子就是③中的式子，由③可得，⑤中作差比较，⑥由负指数幂的定义可得．
【详解】由于，
所以，①正确；
，②错误；
当时，，当时，，∴，③正确，
在④中若令，则，④错误，
因为，
，⑤正确，
，⑥正确，
故答案为：①③⑤⑥
【点睛】本题考查指数函数的性质，考查幂的运算法则．问题不难只是内容较多．⑤反映了指数函数的凹凸性，说明指数函数是下凸的函数（凹下去的）．
11．
【分析】化简，结合单调性及题意计算出，的表达式，由的最小值为1计算出结果
【详解】因为，
所以
在上单调递增，
又关于的不等式在上恒成立，
所以，，
因为的最小为1，
所以，
即，
所以，当且仅当，即时取“”，
即的最小值为.
【点睛】本题考查了计算最值问题，题目较为复杂，理清题意，结合函数的单调性求出最值，运用基本不等式计算出结果，紧扣题意是解题关键，考查了学生转化能力
12．
【分析】题目等价于函数与函数在区间上同增或者同减，分别讨论两个函数同增或同减的情况列出不等式可求解.
【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增，
若区间为函数的“稳定区间”，
则函数与函数在区间上同增或者同减，
①若两函数在区间上单调递增，
则在区间上恒成立，即，
所以；
②若两函数在区间上单调递减，
则在区间上恒成立，即，不等式无解；
综上所述：，
故答案为：.
13．（1）；（2）在R上单调递增，证明见解析；（3）.
【分析】（1）根据奇函数的定义得到，利用指数幂的运算化简可求得的值；
（2）先取，然后将通分化简分解因式，并结合指数函数的单调性判定与的大小关系，可证明出在R上的单调性；
（3）利用的奇偶性和单调性将问题转化为有解.根据指数函数的值域求解出的取值范围，从而可求的取值范围.
【详解】（1）因为为奇函数，所以，所以，
所以且，所以，所以，
所以；
（2）在上单调递增，证明如下：
由条件知，任取，
所以
，
又因为，在R上单调递增，
所以且，
所以，所以，
所以在R上单调递增；
（3）有解即有解，
由的奇偶性可知进一步等价于有解，
由的单调性可知进一步等价于有解，
即关于的不等式有解.
，
因为，所以，，
所以的取值范围是，
所以，所以，
即的取值范围是.
14．（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，．
【分析】（Ⅰ）由题意可得对任意都成立，分与讨论即可得出答案.
（Ⅱ）由题意，根据题意可得即可. 令,则,令，．由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可.
【详解】（Ⅰ）由题意，函数的定义域为，
则不等式对任意都成立．
①当时，显然成立；
②当时，欲使不等式对任意都成立，
则，解得．
综上，实数的取值范围为．
（Ⅱ）当时，．
∴当时，．
令．显然在上递增，则．
∴．
令，．
若存在实数满足对任意，都存在，使得成立，则只需．
①当即时，函数在上单调递增．
则．解得，与矛盾；
②当即时，函数在上单调递减，
在上单调递增．则．
解得；
③当即时，函数在上单调递减．
则．解得，与矛盾．
综上，存在实数满足条件，其取值范围为．
【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
15．(1)；
(2)答案见解析；
(3)存在，.
【分析】（1）利用给定条件结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算作答.
（2）分类讨论求解一元二次不等式即可作答.
（3）换元，借助二次函数在闭区间上最值，计算判断作答.
(1)
依题意，不等式的解集是，因此，是关于x的一元二次方程的二根，且，
于是得，解得，
所以实数m、n的值是：.
(2)
当时，由（1）知：，
当时，，解得：或，
当时，解得，
当时，不等式化为：，解得：，
所以，当时，原不等式的解集是，
当时，原不等式的解集是，
当时，原不等式的解集是.
(3)
假设存在实数满足条件，由（1）知，，，
因，则设，函数化为：，显然，
于是得在上单调递减，当时，，
由解得：或（舍去），又，
所以存在实数满足条件，.
【点睛】易错点睛：解含参数的一元二次不等式，首先注意二次项系数是否含有参数，如果有，必须按二次项系为正、零、负三类讨论求解.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）先化简，并判定其单调性、求出值域，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，再利用换元思想和（1）问结论求最值即可确定的取值范围；
（2）先利用函数的奇偶性得到值，利用换元思想和基本不等式确定的范围，再根据方程在给定区间有解进行求解.
（1）
当时，在上单调递增，
∴当时，，
对任意的都有成立，转化为恒成立，即对恒成立，
令，则恒成立，即，
由对勾函数的性质知：在上单调递增，故，
∴的取值范围是.
（2）
当为偶函数时，对xR都有，即恒成立，即恒成立，
∴，解得，则，
此时，由可得：有实数解
令（当时取等号），则，
∴方程，即在上有实数解，而在上单调递增，
∴.
【点睛】关键点点睛：应用转化与化归思想，第一问转化为对恒成立问题求参数范围；第二问由奇偶性求参数，再将问题转化为有实数解求参数范围.
答案第1页，共2页
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