高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第四章——2对数的运算B（含解析）

一、单选题
1．科学记数法是一种记数的方法.把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中，.当时，.若一个正整数的15次方是11位数，那么这个数是（ ）（参考数据：，）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．设，，则
A． B． C． D．
3．已知函数，则（ ）
A．16 B． C． D．
4．若非零实数，，满足，则（ ）
A． B．
C． D．
5．若log2x log34 log59=8，则x=
A．8 B．25
C．16 D．4
6．若，则（ ）
A．2 B．2或0 C．0 D．或0
二、多选题
7．若，，则（ ）
A． B．
C． D．
8．下列函数中，存在实数a，使函数为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．若函数是幂函数，且其图像过点，则的单调递增区间为___________.
10．已知定义域为的奇函数，当x>0时，有，则______．
11．已知定义在上的函数满足，当时，，则__________.
12．已知，则______．
四、解答题
13．设函数（，且）是定义域为的奇函数，且的图象过点．
（Ⅰ）求和的值；
（Ⅱ）若，，求实数的取值范围；
（Ⅲ）是否存在实数，使函数在区间上的最大值为．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
14．已知函数是偶函数．
(1)求k的值．
(2)若函数，，是否存在实数m使得的最小值为0？
若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
15．（1）已知，求的值；
（2）计算：．
16．求值：
(1)log43 log92
(2)设，为方程的两个根，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】根据题意可得，再结合参考数据得，即可得出.
【详解】由题意可设，
因为正整数的15次方是11位数，所以，所以，
因为，所以，所以，
则，则，
所以，所以正整数为5.
故选：B.
2．D
【解析】先根据已知求出，再求的值.
【详解】 ， ，则.
故选D
【点睛】本题主要考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3．C
【分析】根据分段函数解析式先求出，再求即可得解.
【详解】因函数，于是得，
所以.
故选：C
4．A
【分析】将指数式换成对数式，由换底公式化简可判断.
【详解】由已知，得，
得，，，
所以，，，
而，所以.
故选：A．
5．B
【分析】由换底公式将原式化为： =8，进而得到lgx=2lg5=lg25.
【详解】∵log2x log34 log59=8，∴ =8，∴lgx=2lg5=lg25，∴x=25．
故选B．
【点睛】对数化简的原则:（1）尽量将真数化为“底数”一致的形式；（2）将同底的多个对数的和（差）合成积（商）的对数；（3）将积（商）的对数分成若干个对数的和（差）．对数的换底公式:.
6．C
【分析】根据对数运算法则可知，且，，，
化简得，再化简求值.
【详解】依题意，，，，或，，，，，（舍去），，．
故选C
【点睛】本题考查对数的运算法则，以及化简计算，属于基础题型.
7．ACD
【分析】利用指对数的运算性质及其关系求出、、，结合对数函数的单调性判断各选项的正误.
【详解】由题设，，即，A正确；
，即，B错误，D正确；
由，则，C正确；
故选：ACD
8．ACD
【分析】根据函数的奇偶性的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，当时，函数的定义域为，关于原点对称，
又由，
即，所以函数为奇函数，所以A正确；
对于B中，因为函数为偶函数，所以函数不可能是函数，
即不存在实数，使得函数为奇函数，所以B不符合题意；
对于C中，由函数定义域为，关于原点对称，
又由，即，解得，所以C符合题意；
对于D中，当时，函数，
其定义域为，关于原点对称，
又由，即，
所以函数为奇函数，所以D正确；
故选：ACD.
9．
【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，先求出函数的解析式，再根据复合函数的单调性即可得结论.
【详解】函数是幂函数，且其图象过点，
，且，求得，，可得，
则函数，
令，解得：或，且的对称轴是，
故函数在递增，
故答案为：.
10．0
【分析】利用奇函数性质结合给定的分段函数分别求出的值，再探求周期性计算作答.
【详解】上的奇函数，则有，而当x>0时，有，
于是有，，，
因，，则有，，
所以.
故答案为：0
11．##1.2
【分析】根据题意确定2是函数的一个周期，据此将的自变量化简到区间内，再利用指数和对数的运算性质计算，可得答案.
【详解】∵是定义在上的函数，且满足，
则2是函数的周期，
故,
当时,，而 ，
所以，
故答案为： .
12．
【分析】根据对数的定义和运算法则即可求解．
【详解】由可得
所以，，
所以，
故答案为：
【点睛】本题主要考查对数的运算法则的应用，考查了学生的计算能力，属于中档题．
13．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）根据为上的奇函数，可得，代入求解得的值，再检验得到的值是否符合题意；根据函数过点，求出；（Ⅱ）利用定义法判断的单调性，再根据对一切恒成立，得到关于的不等式，利用恒成立思路求解；（Ⅲ）再令，根据是单调递增函数，得的范围，然后得到，再利用二次函数的最值求解的值.
【详解】（Ⅰ）是定义域为上的奇函数，
，且，所以，
，经检验知符合题意，
函数的图象过点，，得
解得：或，因为且，
，
（Ⅱ）由（1）得，
由，得，
为奇函数，，
为上的增函数，
对一切恒成立，即对一切恒成立，
故，解得.
（Ⅲ），
设，则，
，，记，
∴则函数在有最大值为，
（i）若对称轴，
，不合题意.
（ii）若对称轴，
，
综上所述：故存在实数，使函数在上的最大值为.
14．(1)
(2)存在，m的值为
【分析】（1）根据偶函数的定义求解；
（2）求出的表达式，用令，则，化函数为二次函数，由二次函数的性质求解．
（1）
∵函数是偶函数，
∴，即，
∴，∴；
（2）
假设存在满足条件的实数m．
由题意，可得，．
令，则，．
令，．
∵函数的图象开口向上，对称轴为直线，
∴当，即时，，解得；
当，即时，
，解得（舍去）；
当，即时，
，解得（舍去）．
综上，存在实数m使得的最小值为0，此时实数m的值为．
15．（1）；（2）.
【分析】（1）把已知式平方求得，再平方求得，然后把平方后利用已知求得值，代入后可得结论；
（2）应用对数恒等式和对数的运算法则计算．
【详解】（1）因为，两边平方，得，即，所以．又，可得．所以．
（2）原式．
16．(1)
(2)
【分析】（1）由对数的换底公式、幂的运算法则计算；
（2）由韦达定理得，，利用因式分解变形，结合完全平方公式计算可得．
（1）
log43 log92．
（2）
因为．
而，为方程的两个根，所以，．
所以，，且由，
可得，所以，
所以原式．
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