高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第四章——1对数的概念B（含解析）

一、单选题
1．已知是奇函数，且当时，.若，则（ ）
A．2 B．-2 C．-3 D．3
2．已知函数的定义域为，为偶函数，对任意，，当时，单调递增，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．若，，则（ ）
A．3 B． C． D．
4．碳测年法是由美国科学家马丁·卡门与同事塞缪尔·鲁宾于年发现的一种测定含碳物质年龄的方法，在考古中有大量的应用放射性元素的衰变满足规律（表示的是放射性元素在生物体中最初的含量与经过时间后的含量间的关系，其中（为半衰期）．已知碳的半衰期为年，，经测量某地出土的生物化石中碳含量为，据此推测该化石活体生物生活的年代距今约（结果保留整数，参考数据）（ ）
A．年 B．年 C．年 D．年
5．若log2x=3,则x=
A．2 B．3 C．8 D．9
6．若正数a、b满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知，则a，b满足（ ）
A． B． C． D．
8．设表示不超过的最大整数，如，，给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．若，则
B．
C．若，则可由解得的范围为
D．定义在上的奇函数的值域为则函数的值域为
三、填空题
9．设函数，则满足的实数a的取值集合为__________.
10．设，满足，则的最小值为__________.
11．如图，矩形的三个顶点分别在函数，，的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点的纵坐标为2，则点的坐标为______.
12．著名数学家、物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为θ1 ℃，空气温度为θ0 ℃，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt.若常数k＝0.05，空气温度为30 ℃，某物体的温度从90 ℃下降到50 ℃，大约需要的时间为________分钟.(参考数据：ln 3≈1.1)
四、解答题
13．已知函数.
(1)若时，求满足的实数的值；
(2)若存在，使成立，求实数的取值范围.
14．若函数，求函数的值域．
15．已知函数的图象过点与点.
（1）求，的值；
（2）若，且，满足条件的的值.
16．求下列各式中x的值：
(1)log3(log2x)＝0；
(2)log2(lg x)＝1；
(3)；
(4)．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】由是奇函数且，则，代入已知的的解析式，求得的值.
【详解】由是奇函数且，则，
则，得得，得.
故选：C.
【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，指数对数恒等式的应用，属于中档题.
2．B
【分析】由已知得函数关于对称，函数在为减函数，将原不等式等价于，解之可得答案.
【详解】解：因为函数的定义域为，为偶函数，所以，所以函数关于对称.
因为函数在为增函数，所以函数在为减函数.不等式等价于，
即或，令得到：或.
当时，无解.
当时，，解得：，
即，.
故选：B.
3．B
【解析】将化简可得，令，则，根据函数的单调性可得，即可得结果.
【详解】由，可得，则，
令，则.
又因为在上单调递增，
所以，即，则.
故选：B.
【点睛】本题考查指数、对数之间的转化关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力，属于中档题.
4．C
【分析】利用取对数，结合题中所给的数据进行求解即可.
【详解】由题意知：，把数据代入得：
故选：C．
【点睛】方法点睛：指数方程可以通过取对数进行求解.
5．C
【分析】根据指数式与对数式关系转化求解.
【详解】因为log2x=3,所以选C.
【点睛】本题考查指数式与对数式相互关系，考查基本求解能力.
6．A
【分析】令，将对数式转化为指数式，利用指数幂的运算法则即可求解.
【详解】解：令，
则，
所以 .
故选：A.
7．ACD
【分析】由对数与指数的互换公式可得，由作差法结合对数的换底公式可判断选项A，由对数运算可判断B；由均值不等式结合由选项B推出的结论可判断选项C,D.
【详解】由，则，则，
所以，所以A正确；
，所以B不正确；
由，因为，故等号不成立，则，故C正确；
因为，故等号不成立，故D正确.
故选：ACD.
8．BCD
【解析】A. 取判断；B. 利用对数值和的含义求解判断；C.由，得到，再根据的含义求解判判断； D.分， ， ，再根据的含义求解判判断.
【详解】A. 当时，，故错误；
B. 因为，，所以，故正确；
C.当时，，，则，所以，解得，所以的范围为，故正确；
D.因为定义在上的奇函数的值域为，所以的值域为，当时，，则，所以，当时，，则，所以，当时，，则，所以，所以的值域为，故正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题关键是对的含义的理解，要分讨论求解应用.
9．或
【解析】由知，当时，，当时，.令，对进行分类讨论，结合分段函数解析式，求出的值，再进一步求出.
【详解】当时，，
当时，
令，
若，，与已知解析式相符，
，即；
若，则
由，得或，
当时，，；
当时，，.
故答案为：或.
【点睛】本题考查了求分段函数的自变量的问题，考查了分类讨论思想，注意解题过程中分类讨论标准的适当选取，做到不重不漏.
10．
【解析】令，将用表示，转化为求关于函数的最值.
【详解】，令，
则
，
，
当且仅当时等号成立.
故答案为:.
【点睛】本题考查指对数间的关系，以及对数换底公式，注意基本不等式的应用，属于中档题.
11．
【分析】先利用已知求出的值，再求点D的坐标.
【详解】由图像可知，点在函数的图像上，所以，即.
因为点在函数的图像上，所以，.
因为点在函数的图像上，所以.
又因为，，
所以点的坐标为.
故答案为
【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
12．22
【分析】解方程50＝30＋(90－30)e－0.05t即得解.
【详解】解：由题知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50，
∴50＝30＋(90－30)e－0.05t，
∴e－0.05t＝，
∴－0.05t＝ln ，
∴0.05t＝ln 3，
∴t＝＝20×ln 3≈22.
故答案为：22
13．(1)
(2)
【分析】（1）由已知，，令，则，解得或（舍），再回代解方程即可;
（2）将原问题转化为存在，使得，只需求出函数的最小值即可，再利用换元法求的最小值.
(1)
由题意可得
令，则
解得或（舍去）
此时：
(2)
由，得
令，由得
令，
可得在上单调递增，可得
所以
综上：的取值范围为
14．
【分析】先利用的定义域求出的定义域，然后令，整理出，接着利用二次函数的性质求解即可
【详解】解：因为函数的定义域为，
所以函数中的需满足，解得，所以，
令，
因为，
所以，，
当时，当时，，
利用二次函数的性质可得函数的值域为
15．（1），；（2）.
【分析】(1)由给定条件列出关于，的方程组，解之即得；
(2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答.
【详解】（1）由题意可得，解得，，
（2）由（1）可得，而，且，
于是有，设，，
从而得，解得，即，解得，
所以满足条件的.
16．（1）x＝2；（2）x＝100；（3）；（4）．
【分析】根据对数的性质或对数恒等式求解即可得到结果．
【详解】(1)∵ log3(log2x)＝0，
∴ log2x＝1.
∴ x＝21＝2．
(2)∵ log2(lg x)＝1，
∴ lg x＝2，
∴ x＝102＝100．
(3)由题意得．
(4)由题意得．
【点睛】本题考查和对数恒等式的应用，考查计算能力和变形能力，属于基础题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页