高中数学北师大版（2019）必修第一册节节测第四章——2对数的运算A（含解析）

一、单选题
1．已知，且，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．9
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足.其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是(当较小时， )
A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27
5．已知x∈（e﹣1，1），令a＝lnx，b，c＝elnx，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜a＜b D．c＜b＜a
6．已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题
7．(多选)下列式子中成立的是(假定各式均有意义)（ ）
A．logax·logay＝loga(x＋y) B．
C．＝loga D．＝logax－logay
8．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．函数中最小值为
C．若，则
D．若，则
三、填空题
9．函数的最小值为______．
10．若，则___________；
11．___________.
12．已知是定义在上的函数，对任意实数都有，且当时，，则______．
四、解答题
13．计算：．
14．（1）；
（2）.
15．计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
16．（1）已知且，求证：.
（2）已知a，b，，且，求证：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】将指数形式转化为对数形式，代入到题设条件中，即可求得参数值.
【详解】由题知，，，
则，
则
故选：C
2．B
【分析】指数式化为对数式求，再利用换底公式及对数运算性质变形.
【详解】，
，
．
故选：B．
3．D
【分析】根据分段函数解析式及对数的运算法则计算可得.
【详解】解：因为，
所以
.
故选：D
4．C
【解析】根据题意，代值计算，即可得，再结合参考公式，即可估算出结果.
【详解】根据题意可得：
可得，解得，
根据参考公式可得，
故与最接近的是.
故选：C.
【点睛】本题考查对数运算，以及数据的估算，属基础题.
5．A
【分析】根据为增函数,可得,根据为递减函数,可得,根据对数恒等式可得.
【详解】因为,且为增函数,所以,
因为且为递减函数,所以,
,
所以.
故选:A
【点睛】本题考查了根据对数函数和指数函数的性质比较大小,关键是找中间值进行比较,属于基础题.
6．B
【分析】根据题意，求得的周期，结合已知函数解析式，即可代值求得结果.
【详解】因为是定义在上的奇函数，故可得，
又 为偶函数，故可得，
则，故以为周期；
故.
故选：.
7．BC
【分析】利用对数的运算性质逐一判断即可.
【详解】A，由对数的运算可得logax·logayloga(x＋y)，错误；
B，根据换底公式可得，正确；
C，由对数的运算可得＝loga，正确；
D，，错误.
故选：BC
8．AC
【分析】根据不等式的性质判断A，根据对数函数的性质判断B，D，根据基本不等式判断C.
【详解】由可得，所以，A对，
当时，函数的函数值为-10，故B错，
当时，，所以，C正确，
取，则，D错，
故选：AC.
9．##-0.125
【分析】化简函数为，，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数
，
令，可得，
当时，，即函数的最小值为.
故答案为：.
10．6
【分析】首先利用换底公式表示，再代入求值.
【详解】由条件得，所以.
故答案为：
11．
【分析】根据对数的换底公式以及运算性质即可求出．
【详解】．
故答案为：．
12．##
【分析】根据函数的周期性，结合已知函数解析式，代值计算即可.
【详解】因为，则，故可得，
故的一个周期为，则，
对，令，故可得.
即.
故答案为：.
13．
【分析】利用对数的运算性质化简，得答案．
【详解】原式
．
【点睛】本题考查对数的运算性质，关键是熟记运算性质，是基础的计算题．
14．（1）；（2）
【分析】（1）直接由分数指数幂的运算性质计算即可；
（2）根据对数恒等式及对数的运算性质计算可得；
【详解】解：（1）
；
（2）
【点睛】本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，考查计算能力．
15．（1）；（2）.
【分析】直接利用指数和对数的运算性质和法则求解.
【详解】（1），
，
.
（2），
，
【点睛】本题主要考查指数和对数的运算性质和法则，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）设，求出、、、、、，代入要证等式的两边变形可证不等式成立；
（2）设，将指数式化为对数式，然后分别对等式两边进行化简可证不等式成立.
【详解】（1）设，则，，，，，.
又，
所以要证等式的左边，
右边，
故左边=右边，等式成立.
（2）设，由对数定义得，，，
则，
而，所以.
答案第1页，共2页
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