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第一章 抛体运动
培优课(一) 平抛运动的规律及应用
1．理解物体做平抛运动的条件．
2．会根据运动的合成与分解分析平抛运动的规律．
1．物体做平抛运动的条件是什么？
提示：初速度水平且只受重力作用．
2．平抛运动的研究方法是什么？
提示：把平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
3．试总结平抛运动问题中时间的求解方法．
4．平抛运动与斜面的结合问题．
跳台滑雪是勇敢者的运动．在利用山势特别建造的跳台上，运动员穿着专用滑雪板，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观，如图所示．请思考：
(1)运动员从斜坡上的A点水平飞出，到再次落到斜坡上的B点，根据斜面倾角可以确定运动员位移的方向还是运动员速度的方向？
提示：位移的方向．
(2)运动员从斜面上的A点水平飞出，到运动员再次落到斜面上，他的竖直分位移与水平分位移之间有什么关系？
如图所示，小球从离地h＝5 m高，离竖直墙水平距离s＝4 m处水平抛出，不计空气阻力，(取g＝10 m/s2)则：
探究一 平抛运动中的临界问题
(1)若要使小球碰不到墙，则它的初速度应满足什么条件？
(2)若以v0＝8 m/s的初速度向墙水平抛出小球，碰撞点离地面的高度是多少？
如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )
A．1∶1
B．2∶1
C．3∶2
D．2∶3
探究二 平抛运动与斜面
【题后总结】 平抛运动与斜面的综合
(1)常见的有两类情况：
①做平抛运动的物体垂直打在斜面上，此时物体的合速度与竖直方向的夹角等于斜面的倾角．
②物体从斜面上某一点水平抛出以后又重新落在斜面上，此时平抛运动物体的合位移与水平方向的夹角等于斜面的倾角．
答案：A
培优作业(一)
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第二章 匀速圆周运动
培优课(二) 圆周运动中的临界问题
1．掌握圆周运动的分析方法．
2．会分析水平面内的圆周运动的临界问题．
3．会分析竖直面内的圆周运动的临界问题．
一、匀速圆周运动问题的分析思路
1．如图所示，圆盘上物体随圆盘一起匀速转动；在光滑漏斗内壁上，小球做匀速圆周运动．请思考：
它们运动所需要的向心力分别由什么力提供？
提示：静摩擦力；重力和支持力的合力．
2．归纳总结
(1)解题思路：凡是做匀速圆周运动的物体一定需要向心力．物体所受外力的合力充当向心力，这是处理该类问题的理论基础．
(2)解题步骤：
①明确研究对象：在处理圆周运动问题时，如果涉及两个或两个以上的物体时，首先得明确研究对象，这是研究问题的关键．
二、圆周运动中的临界问题
做圆周运动的物体在某些特定位置上，存在着某一速度，若物体的实际速度小于(或大于)这个速度，物体就不能再继续做圆周运动了，即临界速度，此时物体的受力必满足特定的条件，也就是临界条件．此类问题常出现在竖直平面内、斜面上或水平面上的圆周运动等变速圆周运动中，遇到有关圆周运动的临界问题时，首先应判断属于哪一类情况，再通过受力分析来确定临界状态和临界条件，然后灵活运用圆周运动规律求解．
(2)归纳总结
水平面内的圆周运动的临界问题
通常碰到较多的是如下一些类型：
①与绳的弹力有关的临界问题：此问题要分析出绳子恰好无弹力这一临界状态下的角速度(或线速度)等．
②与支持面弹力有关的临界问题：此问题要分析出恰好无支持力这一临界状态下的角速度(或线速度)等．
③因静摩擦力而产生的临界问题：此问题要分析出静摩擦力为零或最大时这一临界状态下的角速度(或线速度)等．
2．竖直平面内圆周运动的临界问题
物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理中只研究物体通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态，下面对临界问题进行简要分析．
(1)没有物体支撑的小球(绳不可伸长，圆轨道内侧光滑)，在竖直平面内做圆周运动通过最高点的情况，如图所示．
(2)有物体支撑的小球(小球固定在轻杆上或小球沿内壁光滑的圆管运动)在竖直平面内做圆周运动的情况，如图所示．
如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
【题后总结】 当某个力突然变为零时，对应物体会出现相应的临界状态，如绳子突然断裂、支持物的作用力突然变化、静摩擦力充当向心力时突然消失或达到最大值等．通过受力分析来确定临界状态和临界条件，是较常用的解题方法．
答案：D
答案：C
培优作业(二)
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第三章 万有引力定律
培优课(三) 万有引力定律的综合应用
1．理解重力与万有引力的关系，并会进行有关的计算．
2．熟练应用万有引力定律分析天体和卫星的运行问题．
一、万有引力与重力的关系
1．地球表面的物体随地球自转时重力和万有引力有何关系？
提示：重力是万有引力的一个分力．
2．在地球的两极和赤道上重力与万有引力间满足什么关系？
3．若不考虑地球的自转，地球表面的物体，在两极和赤道上所受重力有何特点？
提示：物体在地球上任何位置所受的重力等于万有引力．
二、利用万有引力定律分析天体或卫星的运行规律其基本思路是什么？
四、归纳总结
同步卫星、近地卫星和赤道上的物体，其受力和运动具有什么特点？其运动量如a、T、v、ω的大小有何关系？
提示：
同步卫星 近地卫星 赤道物体
特点 运行周期和地球自转周期相同的卫星，它与地球保持相对静止，总是位于赤道的正上方 轨道在地球表面附近的卫星，计算时轨道半径可近似取地球半径 静止在地球赤道的表面上，随地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，与地球相对静止
同步卫星 近地卫星 赤道物体
相同点 (1)三者都在绕地轴做匀速圆周运动，向心力F与地球的万有引力有关．
(2)同步卫星与赤道上物体的运行周期相同：T＝24 h．
(3)近地卫星与赤道上物体的运行轨道半径相同，r＝R0(R0为地球半径)．
同步卫星 近地卫星 赤道物体
不同点 轨道半径 r同＞r近＝r赤
向心力 向心力不同：同步卫星和近地卫星绕地球运行的向心力完全由地球对它们的万有引力来提供，赤道物体的向心力由万有引力的一个分力来提供，万有引力的另一个分力提供赤道物体的重力．
向心加速度 a近＞a同＞a赤
周期 T同＝T赤＞T近
线速度 v近＞v同＞v赤
角速度 ω同＝ω赤＜ω近
【题后总结】 分析此类问题不能想当然认为重力等于万有引力，只有不考虑星球的自转时，在赤道上重力才等于万有引力．
答案：BC
【题后总结】 (1)对于双星模型问题，要求能够根据题意，建立“双星”物理模型，结合万有引力定律和牛顿第二定律，列出动力学方程并联立求解．
(2)三星问题的分析与求解
宇宙中存在一些离其他恒星较远(可忽略其他星体对它们的引力作用)的三颗星组成的三星系统．已观测到稳定的三星系统主要有两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R1的圆轨道上的运动；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运动．如图甲和图乙所示(设每颗星体的质量均为m)．
我国“神舟八号”飞船在太空中与“天宫一号”交会对接——这使我国成为世界上第三个掌握空间交会对接技术的国家．关于飞船与“天宫一号”对接问题，下列说法正确的是( )
A．先让飞船与“天宫一号”运行在同一轨道上，然后让飞船加速，即可实现对接
B．先让飞船与“天宫一号”运行在同一轨道上，然后让飞船减速，即可实现对接
C．先让飞船进入较低的轨道，然后对其进行加速，即可实现对接
D．先让飞船进入较高的轨道，然后对其进行加速，即可实现对接
【题后总结】 要明确实现飞船对接的原理，当飞船点火加速时，飞船将做离心运动，但环绕速度将减小，相反当飞船制动减速时，飞船将做向心运动，进入较低轨道，环绕速度变大．
3．(2016·天津卷)我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发生“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是( )
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
解析：若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，飞船加速会进入较高的轨道，空间实验室减速会进入较低的轨道，都不能实现对接，选项AB错误；要想实现对接，可使飞船在比空间实验室半径较小的轨道上加速，然后飞船将进入较高的空间实验室轨道，逐渐靠近空间站后，两者速度接近时实现对接，选项C正确，选项D错误．
答案：C
培优作业(三)
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第四章 机械能和能源
培优课(四) 功和功率
1．理解公式W＝Flcos α的意义及适用条件．
2．掌握求变力功的方法．
3．会分析机车运动的两种方式．
一、功
1．功的公式W＝Flcos α的适用条件是什么？
提示：该公式只能用来求恒力功．
2．怎样理解正功和负功的意义？
提示：力对物体做正功说明该力是动力；做负功是阻力．
3．静摩擦力做功有何特点？举例说明．
提示：静摩擦力可以做正功、也可以做负功，还可以不做功．
4．滑动摩擦力做功有何特点？举例说明．
提示：滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
5．一对作用力与反作用力做功有何特点？举例说明．
提示：一对作用力与反作用力可以都做正功、可以都做负功、可以一个力做功、一个力不做功．
3．图像法：若作用在物体上的力只是大小变化，而方向始终与位移在同一直线上，可以将力随位移变化的关系描绘在F－l图像上，则图线与坐标轴围成的图形的面积就表示力F对物体所做的功，如图甲、乙所示．这与运动学中由v－t图像求位移原理相同．
4．等效转换法：在某些情况下，通过等效转换可以将变力做功转换成恒力做功，然后可以用公式W＝Flcos α求解．如图，用大小不变的力F拉绳子时，绳子对物体的拉力FT为变力，FT对物体做的功不能用公式直接计算．但力FT对物体做的功与力F对绳子做的功相等，可将计算绳子对物体做功的问题等效转换为求力F做功的问题．
2．机车起动的两种情况
(1)机车以恒定功率启动时，试分析v、F、a的变化情况．
提示：
(2)机车以恒定的加速度启动时，试分析v、P、F的变化情况．
提示：
【题后总结】 该题求变力功的方法只适用于力与位移的方向相同．其中方法一只限于力的方向不变，大小随位移按线性规律变化．
培优作业(四)
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第四章 机械能和能源
培优课(五) 动能定理的应用
1．理解动能定理的意义．
2．掌握利用动能定理分析问题的基本方法．
3．会用动能定理求变力的功．
一、动能
1．动能的表达式是什么？
2．同一物体动能变化、速度是否一定变化？速度变化动能是否一定变化？
提示：动能变化速度一定变化，速度变化动能不一定变化．
二、动能定理
1．写出动能定理的表达式．
2．怎样求合外力的功？你能想出几种方法？
提示：利用功的公式W＝Flcos α或先求各力的功再求代数和；若功率恒定也可利用W＝Pt来求．
3．根据动能定理表达式中涉及到的物理量，能否求变力的功？
提示：可以．可求动能的变化量间接求出变力的功．
三、应用动能定理的优越性
1．由于动能定理反映的是物体在两个状态间动能的变化与其所受的外力做功的量值关系，所以对由初始状态到终了状态这一过程中物体的运动性质、运动轨迹、做功的力是恒力还是变力等诸多因素不必加以考虑，即应用动能定理不受这些问题的限制．
2．用牛顿运动定律解题时，涉及的有关的物理量比较多，如F、m、a、x、v、t等，同时对运动过程中的细节问题也要充分关注，而用动能定理解题时所涉及的物理量就只有F、x、m、v，它不需要了解运动的具体过程，而只考虑始、末两个状态的动能和外力所做的功，因此可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理．
【题后总结】 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动；既适用于恒力做功，也适用于变力做功．力可以是各种性质的力，既可以是同时作用，也可以是分段作用，只要能够求出作用过程中各力做功的多少和正负即可．这些正是动能定理解题的优越性所在．
质量为3 000 t的火车，以额定功率自静止出发，所受阻力恒定，经过103 s行驶12 km达最大速度vmax＝72 km/h，求：
(1)列车的额定功率；
(2)运动中所受阻力．
【题后总结】 机车以恒定功率启动时，其牵引力是变力，不能直接应用牛顿第二定律或功的公式．这时可利用W＝Pt求牵引力的功．
3．某物体在竖直方向上的力F和重力作用下，由静止向上运动，物体动能随位移变化图像如图所示，已知O～h1段F不为零，h1～h2段F＝0，则关于功率下列说法正确的是( )
A．O～h2段，重力的功率一直增大
B．O～h1段，F的功率可能先增大后减小
C．O～h2段，合力的功率可能先增大后减小
D．h1～h2段，合力的功率可能先增大后减小
解析：根据物体动能随位移变化图像可知，动能先增大后减小，物体的速度先增大后减小，O～h2段，重力的功率先增大后减小，选项A错误．O～h1段，动能先增大后减小，则合力先向上后向下，则拉力一直减小到0，速度先增大后减小，故拉力F的功率可能先增大后减小，选项B正确．O～h2段，整个过程合力的功率为0有三处，其中一处是动能最大时合力为0，因此，合力的功率，可能先增大后减小，再增大再减小，选项C错误．h1～h2段，合力即为重力，物体速度减小，合力的功率减小，选项D错误．
答案：B
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第四章 机械能和能源
培优课(六) 机械能守恒定律的应用
1．理解机械能守恒的条件．
2．会分析判断某物体或某一系统机械能是否守恒．
3．会用机械能守恒定律解决圆周运动问题．
一、机械能守恒定律
1．机械能守恒定律成立的条件是什么？
提示：只有重力或弹力做功．
(2)把重物或弹簧看作一个系统，其机械能守恒吗？
提示：守恒
2．如图所示，弹簧上端固定，下端连接一重物，从弹簧处于原长时由静止释放重物．
(1)重物向上或向下运动的过程中，重物的机械能守恒吗？
提示：不守恒
3．如图所示，A、B间及B与地面之间均光滑，A自B的上端自由下滑．
(1)A沿B下滑的过程中，A的机械能守恒吗？
提示：不守恒
(2)A沿B下滑的过程中，A和B组成的系统机械能守恒吗？
提示：守恒
4．归纳
(1)从能量特点看，系统内部只发生动能和势能的相互转化，无其他形式能量(如内能)之间转化，系统机械能守恒．
(2)从做功角度来看，只有重力做功或系统弹力做功，系统机械能守恒．
(3)机械能守恒定律的不同表达式：
表达式 物理意义
从不同
状态看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化
角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移
角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
二、机械能守恒定律和动能定理的比较
规律
内容 机械能守恒定律 动能定理
表达式 E1＝E2
ΔEk＝－ΔEp
ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk
应用范围 只有重力或弹力做功时 无条件限制
【题后总结】 求解这类题目时，一是注意零势能点的选取应尽可能使表达式简化，本题如选链条全部滑出斜面时最低点为重力势能的零点，则初始势能比较麻烦，零势能点一旦选定就不能变了；二是灵活选取各部分的重心．整根链条的重心不好确定，则把链条分为两部分，分别确定重心及重力势能，最后刚好滑出桌面时的势能选整根链条的重心就方便了．
1．如图所示，总长为L的光滑匀质铁链，跨过一光滑的轻质小定滑轮，开始底端相齐，当略有扰动时某一端下落，则铁链脱离滑轮的瞬间，其速度为多大？(滑轮半径可忽略不计)
【题后总结】 机械能守恒定律的表达式有多种，具体选用哪一种要视情况而定；对单个物体而言，如果机械能守恒，则除了可应用机械能守恒定律以外，也可以选用动能定理．
【题后总结】 机械能守恒定律和动能定理的应用
(1)无论直线运动还是曲线运动，条件合适时，两规律都可以应用，都要考虑初、末状态，都不需要考虑所经历过程的细节．
(2)能用机械能守恒定律解决的问题一般都能用动能定理解决；能用动能定理解决的问题不一定都能用机械能守恒定律解决．
(3)动能定理比机械能守恒定律应用更广泛、更普遍．
培优作业(六)
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