数学北师大版（2019）必修第一册6.4.1样本的数字特征 教案

6.4.1样本的数字特征
【教学目标】
重点、难点
重点：样本众数、中位数、平均数的意义及求法，实际问题中三数的应用。
难点：样本频率分布直方图中众数、中位数、平均数的求法，实际问题中三数的应用
学科素养
通过对有关数据的收集、整理、分析、判断培养学生“实事求是”的科学态度。
【知识清单】
1 、 由频率分布直方图估计众数、中位数、平均数
佔计众数：频率分布直方图面积最大的长方形的横轴中点数字.（最高矩形的中点）
估计屮位数：屮位数把频率分布直方图分成左右两边面积相等.
估计平均数：频率分布直方图屮每个小矩形的面积乘以小矩形底边屮点值的和.
2．频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．
(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
3．茎叶图的优点
用茎叶图表示数据有两个突出的优点：
一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；
二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．
4．样本方差与标准差
设样本的元素为x1，x2，…，xn，样本的平均数为，
(1)样本方差：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]．
(2)样本标准差：
s＝
【经典例题】
【例题】 某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是 0.30 ， 0.40 ， 0.15 ， 0.10 ， 0.05.
求：高一参赛学生的成绩的众数、中位数 .
【课堂达标】
1．以下是人数相同的四个班级某次考试成绩的频率分布直方图，其中方差最小的是（ ）
A． B．
C． D．
2．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：
得分 3 4 5 6 7 8 9 10
频数 2 3 10 6 3 2 2 2
设得分的中位数为，众数为，平均数为，则（ ）
A． B． C． D．
3．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图1所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（ ）
A．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力
B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值
C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平
D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值
4．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12.设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（ ）.
A． B． C． D．
5．甲、乙两名篮球运动员10场比赛得分的茎叶图如图所示，则甲、乙两名运动员得分数据的中位数之差的绝对值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．某工厂技术人员对三台智能机床生产数据统计后发现，甲车床每天生产次品数的平均数为1.5，标准差为1.28；乙车床每天生产次品数的平均数为1.2，标准差为0.87；丙车床每天生产次品数的平均数为1.2，标准差为1.28.由此数据可以判断生产性能最好且较稳定的为（ ）
A．无法判断 B．甲车床 C．乙车床 D．丙车床
7．如图是某样本数据的茎叶图，则该样本的众数是（ ）
A．4 B．45 C．32 D．5
8．甲、乙、丙、丁四名射击手在选拔赛中的平均环数 及其标准差s如下表所示，则选送决赛的最佳人选应是（ ）.
甲 乙 丙 丁
7 8 8 7
s 2.5 2.5 2.8 3
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．如图是某学校举行的运动会上七位评委为某体操项目打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．84,4.84 B．84,1.6 C．85,1.6 D．85,4
10．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是
A．x1，x2，…，xn的平均数 B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位数
11．在某技能测试中，甲乙两人的成绩（单位：分）记录在如下的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母代替．已知甲乙成绩的平均数相等，那么甲乙成绩的中位数分别为（ ）
A．20 20 B．21 20 C．20 21 D．21 21
12．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的标准差为．下列说法正确的个数为（ ）
①甲队的技术比乙队好； ②乙队发挥比甲队稳定；③甲队的表现时好时坏．
A．0 B．3 C．2 D．1
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13．在某次综合素质测试中，共设有40个考场，每个考场30名考生.在考试结束后，统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图.估计这40个考场成绩的中位数是__________.
14．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为_____．
15．某班数学兴趣小组组织了线上“统计”全章知识的学习心得交流：
甲同学说：“在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和小于1”；
乙同学说：“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会岀现比较‘极端’的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”；
丙同学说：“扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”；
丁同学说：“标准差越大，数据的离散程度越小”.
以上四人中，观点正确的同学是______.
16．如下一组数据：10，12，25，10，30，10，13；则该组数据的中位数与众数的差为_________.
【能力提升】
17．已知一组数据的平均数为4，则的值是_____.
18．若，，…，这20个数据的平均数为，方差为0.21，则，，…，，这21个数据的方差为__________．
19．某种产品的质量按照其质量指标值M进行等级划分，具体如下表：
质量指标值M
等级 三等品 二等品 一等品
现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）记A表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A的概率；
（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；
（3）根据该产品质量指标值M的频率分布直方图，求质量指标值M的中位数的估计值（精确到0.01）
20．某工厂加工产品的工人的年龄构成和相应的平均正品率如下表：
年龄（单位：岁）
人数比例 0.3 0.4 0.2 0.1
平均正品率 85% 95% 80% 70%
（1）画出该工厂加工产品的工人的年龄频率分布直方图；
（2）估计该工厂工人加工产品的平均正品率；
（3）该工厂想确定一个转岗年龄岁，到达这个年龄的工人不再加工产品，转到其他岗位，为了使剩余工人加工产品的平均正品率不低于90%，若年龄在同一区间内的工人加工产品的正品率都取相应区间的平均正品率，则估计最高可定为多少岁？试卷第1页，总3页
【参考答案】
【经典例题】
【例题】 【解析】用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得众数为 65 ，
又因为第一个小矩形的面积为 0.3 ，所以设第二个小矩形底边的一部分长为 x ，
则 x × 0.04=0.2 ，得 x=5 ，所以中位数为 60+5=65.
【课堂达标】
1．B
【解析】
【分析】
根据方差表示的意义选出正确选项.
【详解】
方差表示数据波动性的大小、稳定程度.由频率分布直方图可知：数据越靠近均值，方差越小，所以方差最小的是B选项.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查根据频率分布直方图估计方差的大小，属于基础题.
2．D
【解析】
【分析】
由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可．
【详解】
由图知，众数是；
中位数是第15个数与第16个数的平均值，
由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，
所以中位数是；
平均数是；
∴．
故选：D．
【点睛】
本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题．
3．C
【解析】
【分析】
利用雷达图对每一个选项的命题逐一分析推理得解.
【详解】
对于选项A, 甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题；
对于选项B, 甲的数学建模能力指标值为4，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；
对于选项C,甲的六维能力指标值的平均值为，乙的六维能力指标值的平均值为，因为，所以选项C正确；
对于选项D, 甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题.
故选C
【点睛】
本题主要考查雷达图的识别和平均数的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．B
【解析】
【分析】
根据所给数据，分别求出平均数为a，中位数为b，众数为c，然后进行比较可得选项.
【详解】
，
中位数为，
众数为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查统计量的求解，明确平均数、中位数、众数的求解方法是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
5．B
【解析】
【分析】
根据茎叶图可计算得到甲、乙运动员得分的中位数，由此计算得到结果.
【详解】
由茎叶图可知：甲运动员得分的中位数为；乙运动员得分的中位数为，
中位数之差的绝对值为.
故选：.
【点睛】
本题考查利用茎叶图计算中位数的问题，属于基础题.
6．C
【解析】
【分析】
由平均数、标准差的实际意义即可直接得解.
【详解】
由题意，乙车床每天生产次品数的平均数最小，性能最好，且标准差最小，生产性能最稳定，
所以可以判断生产性能最好且较稳定的为乙车床.
故选：C.
【点睛】
本题考查了平均数、标准差应用，牢记知识点是解题关键，属于基础题.
7．B
【解析】
【分析】
根据茎叶图即可得到答案.
【详解】
由图知：众数为45.
故选：B
【点睛】
本题主要考查根据茎叶图求众数，属于简单题.
8．B
【解析】
【分析】
在射击比赛中，平均环数越高越好，标准差越小说越稳定.
【详解】
平均数反映平均水平大小，标准差表明稳定性．标准差越小，稳定性越好．乙的平均数大并且标准差小，故选乙.
故选：B.
【点睛】
本小题主要考查平均数和标准差的理解.平均数反映平均水平，标准差表示稳定程度，属于基础题.
9．C
【解析】
【分析】
根据所给的茎叶图，看出七个数据，根据分数处理方法，去掉一个最高分93和一个最低分79后，把剩下的五个数字求出平均数和方差．
【详解】
由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分79后，
所剩数据84，84，86，84，87的平均数为；
方差为．
故答案为
【点睛】
茎叶图、平均数和方差属于统计部分的基础知识，也是高考的新增内容，考生应引起足够的重视，确保稳拿这部分的分数．
10．B
【解析】
评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差，故选B.
点睛:众数：一组数据出现次数最多的数叫众数，众数反映一组数据的多数水平；
中位数：一组数据中间的数（起到分水岭的作用），中位数反映一组数据的中间水平；
平均数：反映一组数据的平均水平；
方差：反映一组数据偏离平均数的程度，用来衡量一批数据的波动大小（即这批数据偏离平均数的大小）．在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定．
标准差是方差的算术平方根，意义在于反映一组数据的离散程度．
11．B
【解析】
【分析】
先由题中数据，根据题意，求出，将甲乙的成绩都从小到大排序，即可得出中位数.
【详解】
由题中数据可得：甲的平均数为，
乙的平均数为，
因为甲乙成绩的平均数相等，所以，解得：，
所以甲的成绩为：，其中位数为，
乙的成绩为：，其中位数为.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由茎叶图计算中位数，属于基础题型.
12．B
【解析】
【分析】
根据平均数、方差的知识，对四个说法逐一分析，由此得出正确选项.
【详解】
∵甲队平均数大于乙队的平均数，∴甲队的技术比乙队好，
又∵甲队的标准差大于乙队的标准差，∴乙队发挥比甲队稳定，甲队的表现时好时坏，故①②③都对．
故选：B
【点睛】
本题主要考查平均数、方差在实际生活中的应用，属于基础题.
13．77.5
【解析】
【分析】
根据中位数在左右两侧小矩形的面积相等，即可求出.
【详解】
中位数在左右两侧小矩形的面积相等，
从左边开始前三个小矩形的面积和为，
从左边开始前四个小矩形的面积和为，
故中位数在内，
设中位数为75+x，则，解得，
∴中位数为77.5.
故答案为：77.5.
【点睛】
本题考查由频率分布直方图估计中位数，属于基础题.
14．4
【解析】
【分析】
利用平均数、方差的概念列出关于的方程组，解方程即可得到答案．
【详解】
由题意可得：，
设，，则，解得，
∴
故答案为4．
【点睛】
本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，属于基础题．
15．乙丙
【解析】
【分析】
利用统计的相关知识可逐个判断各同学观点的正误.
【详解】
在频率分布直方图中，各小长方形的面积的总和等于1，故甲的观点错误；
“简单随机抽样因为抽样的随机性，可能会岀现比较‘极端’的样本，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀”，故乙的观点正确，
“扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例”，故丙的观点正确；
“标准差越大，数据的离散程度越大”，故丁的观点错误.
故答案为：乙丙.
【点睛】
本题考查统计的相关知识，属于基础题.
16．2
【解析】
【分析】
由中位数和众数的概念可得数据的中位数和众数，即可得解.
【详解】
由题意，该组数据的中位数为12，众数为10，
所以该组数据的中位数与众数的差为2.
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了数据中位数及众数的求解，牢记知识点是解题关键，属于基础题.
【能力提升】
17．2
【解析】
【分析】
根据平均数的公式进行求解即可．
【详解】
∵数据的平均数为4
∴，即.
故答案为：2.
【点睛】
本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．
18．
【解析】
【分析】
根据平均数与方差的概念，利用公式，准确计算，即可求解．
【详解】
由题意，数据，，…，这20个数据的平均数为，方差为，
由方差的公式，可得，
所以，
所以，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了平均数与方差的概念及应用，其中解答中熟记平均数和方差的计算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题．
19．（1）0.84；（2）61200元；（3）.
【解析】
【分析】
（1）记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，且由频率分布直方图估计,用公式估计出事件A的概率；
（2）由（1）可以求出任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值，任取一件产品是三等品的概率估计值，这样可以求出10000件产品估计有一等品、二等品、三等品的数量，最后估计出利润；
（3）求出质量指标值的频率和质量指标值的频率，这样可以求出质量指标值M的中位数估计值.
【详解】
解：（1）记B表示事件“一件这种产品为二等品”，C表示事件“一件这种产品为一等品”，则事件B，C互斥，且由频率分布直方图估计，
，
又，
故事件A的概率估计为0.84..
（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19，065，
故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16，
从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，
故利润估计为元
（3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，
质量指标值的频率为，
质量指标值的频率为，
故质量指标值M的中位数估计值为.
【点睛】
本题考查了频率直方图的应用，考查了互斥事件的概率、和事件概率的求法，考查了应用数学知识解决实际问题的能力.
20．（1）年龄频率分布直方图见解析；（2）；（3）最高可定为42.5岁
【解析】
【分析】
（1）利用已知数据绘图即可.
（2）直接利用均值公式计算得解.
（3）利用已知及均值公式列方程可得：，解方程即可.
【详解】
（1）该工厂加工产品的工人的年龄频率分布直方图如下
（2）估计该工厂工人加工产品的平均正品率为
（3）因为，，
由，
得，
所以为了使剩余工人加工产品的平均正品率不低于90%，估计最高可定为42.5岁.
【点睛】
本题主要考查了频率分布直方图的绘制，还考查了均值计算公式，考查作图能力及计算能力，属于中档题.