数学北师大版（2019）必修第一册3.3.2指数函数的图象和性质（2）教案

第三章　指数运算与指数函数
第3节　指数函数
3.3.2指数函数的图象和性质（2）
上一节学习了指数函数的图象和基本性质，本节将进一步研究指数函数的性质及应用，特别是函数图象变换和简单的复合函数问题，进一步深化学生对指数函数概念、图象和性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，提高分析和解决函数的综合性问题的能力。
(1)知识目标：
进一步掌握指数函数的图象和性质；掌握指数型函数的图象变换方法；利用指数函数的性质解决简单的复合函数问题。
(2)核心素养目标：
通过指数函数图象和性质的应用，使学生感悟函数思想方法在解决相关数学问题中的重要作用，提高学生的数学抽象和逻辑推理能力。
(1) 指数函数的图象和性质的综合应用；
(2) 指数型函数的图象变换、简单的复合函数问题。
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1、指数函数的性质：
图象
性质 （1）定义域：
（2）值域：
（3）过定点
（4）当时 当时 （4）当时 当时
（5）在上是增函数， 当时， 当时 （5）在上是减函数， 当时， 当时
2、函数图象的变换
指数函数与的图象间的关系
在同一坐标系中作出两个函数的图象，如图：
函数与函数的图象关于轴对称，即函数与函数的图象关于轴对称。
注意：
常见的几种函数图象变换：
①函数的图象函数的图象
函数的图象函数的图象；
②函数与函数的图象关于轴对称
函数与函数的图象关于轴对称；
③函数的图象是函数的图象原轴上方的部分不变，将轴下方的部分对称到轴上方，
函数的图象是函数的图象原轴右侧的部分不变，去掉原轴左侧的部分，再将原轴右侧的部分对称到轴左侧.
例4.求下列函数的值域：
（1）； （2）；
解： (1) 指数函数在上单增，，∴函数的值域
(2) 指数函数在上单减，∵，∴，
∴函数当时，值域.
例5.比较下列各题中两个数的大小：
（1） （2）；
解： (1)由指数函数的性质，底数，，即
底数,，即，∴
(2) 由指数函数的性质，底数，
底数,，∴
注意：
指数式的大小比较，一般先将底数（或指数）变成相同，再利用指数函数的单调性进行比较，如果无法同底数或同指数，一般通过中间式或中间量（如0、1等）进行比较。
例6.已知，比较和的大小，并说明理由.
解：设函数
若，则函数单增，，则
若，
若，则函数单减，，则
思考讨论（综合练习）
(1)求函数在区间上的值域；
(2)已知函数.
①若函数的图象如图1，求的值；
②若函数的图象如图2，求的取值范围；
③在①中，若有且仅有一个实数解，求的取值范围.
提示：(1)函数即为
设，∵∴，
函数，
当即时，，当即时，
所以函数的值域为.
(2) ①由图知，函数图象过点
得，即；
②由图知，函数单减，故
又，得，即；
③由①得函数的图象如图，则有且仅有一个实数解
得或.
三、课堂练习
教材P89，练习.
四、课后作业
教材P89，习题3-3：A组第1、2、7，B组第4、5、6题.
利用函数的性质解决方程、不等式等问题，是函数思想的重要应用，指数函数的图象有别与初中学习的函数图象，熟练掌握指数函数两种情况的图象和性质，是解决复合函数问题的基础。