数学北师大版（2019）必修第一册5.1方程解的存在性及方程的近似解 教案

第1节　方程解的存在性及方程的近似解
5.1.1利用函数性质判定方程解的存在性
本部分内容是在学生学习了函数的定义、性质、图像、性质都已经熟悉的基础上，进一步研究函数与其他数学知识的有机联系，这里结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理(逻辑推理)，集中研究的是判定方程实数解的存在性，运用函数来解决实际问题。
(1)知识目标：
理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。
(2)核心素养目标：
通过具体实例，感受数学的应用价值，养成严谨治学的态度和积极探索的精神。
重点：理解函数零点的意义，能够判定方程解的存在性。
难点：方程实数解的存在区间的求解。
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一、知识引入
函数零点：我们把函数y=f(x)的图像与横轴交点的横坐标称为这个函数的零点。函数y=f(x)的零点可以理解成方程f(x)=0的解。
你能从函数y=f(x)图像中找到函数零点吗？
依据定义找到函数零点： -1,1,3。
观察上述三个函数图像中零点附近的图像你能得什么结论吗？
零点附近的图像是从上到下或者从下到上地穿过x轴。（零点即交点）
零点两侧的附近区间内自变量x对应的函数值一正一负。（即f(a)f(b)﹤0）
此类零点称为变号零点。
作出函数图像确定函数有没有零点？
能否用上述结论中f(a)f(b)﹤0来判断函数有零点？
得出结果：函数没有零点，用f(a)f(b)﹤0判断零点必须是在连续区间（a,b）上。
零点的判断方法：
（1）几何法：函数y=f(x)图像与x轴交点横坐标，即有几个交点就有几个零点。
（2）代数法：零点存在定理
函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续的。
满足f(a)f(b)﹤0
则函数f(x)在区间(a,b)上至少一个零点。
如何判定函数f(x)在区间(a,b)上有唯一零点？引导学生在上述基础上加入单调性，来确定唯一零点。
二、例题解析
例1 方程3x-x2=0在区间[-1,0]内有没有解？为什么？
解 设函数f（x）=3x-x2在区间[-1，0]上连续，
又∵f（-1）=3-1-（-1）2=-2/3＜0，f（0）=1-0=1＞0，
∴函数f（x）=3x-x2在区间[-1，0]上有零点；
∴方程f（x）=0在区间[-1，0]内有实数解。
例2 判定方程（x-2）（x-5）=1有两个不相等的实数根，且一个根大于5，另一个根小于2.
解 设函数f(x)=(x-2)(x-5)-1，
∵f(2)=f(5)=-1＜0，且f(0)=9＞0，f(6)=3＞0，
∴f(x)在(0，2)和(5，6)内都有零点，
又f(x)为二次函数，
故f(x)有两个相异实根，且一个大于5、一个小于2.
例3 求证：对于任意一条封闭的曲线都存在外切正方形。
三、课堂练习
教材P130，练习1、2、3
四、课后作业
教材P132，习题5-1：A组1、2
已知函数有零点(方程有根)求参数的方法
1.直接法:根据题设条件构建关于参数的不等式(组),通过解不等式(组)确定参数的取值范围.
2.数列结合法:先对f(x)的解析式变形,将f(x)=0转化为h(x)=g(x)(h(x),g(x)的图象易画出),在同一平面直角坐标系中画出函数h(x),g(x)的图象,然后利用数形结合思想求解.
5.1.2利用二分法求方程的近似解
本部分内容是在学生学习了判定方程实数解的存在性，运用二分法来求方程的近似解问题，能够借助计算器用二分法求方程的近似解。
(1)知识目标：
理解利用二分法求方程近似解的原理； 能够借助计算器用二分法求方程的近似解。
(2)核心素养目标：
通过具体实例，感受数学的应用价值，养成严谨治学的态度和积极探索的精神。
重点：能够借助计算器用二分法求方程的近似解.
难点：利用二分法求方程近似解时近似解所在范围的判断.
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知识引入
我们现在讨论方程f(x)=0近似解的求法：
函数y=f(x)图像在(a,b)上是连续的。
满足f(a)f(b)﹤0，则函数f(x)在区间(a,b)上至少一个零点。
新课讲解
用二分法求近似解的基本步骤：
确定解所在的区间，使得；
取区间的中点；计算：
若，则是方程的解，计算终止.
若 则解必在区间内，取；
否则，解必在区间内，取；
得到新区间，长度是的一半，如此继续下去，进行次后，得到一组不断缩小的区间，直到达到给定的精确度为止.
例4. 求方程2x3+3x-3=0的一个近似解（精确度为0.01）
分析：（1）怎样得到方程近似解所在的大概范围？
（2）怎样才算达到题目要求的精确度0.01？
由学生共同活动得到方程的近似解为 0.74
课外问题延伸：关于解的个数问题
小结：
（1）通过作图或进行估算的方法得到方程解的大致范围；
（2）用二分法求方程的近似解到达要求的精确度为止.
三、课堂练习
教材P132，练习1
四、课后作业
教材P132，习题5-1：A组3，B组1
由于学生对计算器的使用还不熟悉，好多学生手头上还没有计算器，没有让学生由头到尾完整的解决一个问题，这里反应了本节课学生动手上还不够。 新课改要求数学课上要注重培养学生数学有用意识和数学文化。数学是来源于生活的，新课程下的高中数学教学在不断的创新中不断完善，在这样的新的课程下，我应不断的思考与总结，作为一个年轻教师，虚心向老教师学习，使我真正掌握怎么去上课，怎么去辅导学生，怎么去处理教材。
二分法的步骤的记忆口诀：
定区间,找中点,中值计算两边看;
同号去,异号算,零点落在异号间;
周而复始怎么办 精确度上来判断.
二分法在实际生活中经常用到.如在平时的线路故障、气管故障等检查中,可以利用二分法较快地得到结果.还可用于实验设计、资料查询等方面.用二分法解决实际问题时应考虑的两个问题:一是转化成函数的零点问题;二是逐步缩小考察范围,逼近问题的解.