数学北师大版（2019）必修第一册5.1.2利用二分法求方程的近似值 教案

5.1.2利用二分法求方程的近似值
【教学目标】
重点、难点
重点：理解二分法的原理及其适用条件 ；
难点：掌握二分法的实施步骤 ；
学科素养
引导学生在思考和解决问题的过程中获得新知，更加有效地进行数学学习，培养数学能力
【知识清单】
知识点一二分法的原理
思考 上节课，我们已经知道 f ( x ） ＝ ln x ＋ 2 x － 6 的零点在区间 ( 2 ， 3 ） 内，如何缩小零点所在区间 （ 2 ， 3 ) 的范围
答案 ① 取区间 （ 2 , 3 ) 的中点 2.5.
② 计算 f ( 2 . 5 ) 的值 ， 用计算器算得 f ( 2 . 5 ） ≈ － 0.084. 因为 f ( 2 . 5 ） · f ( 3 ） <0 ， 所以零点在区间 ( 2 .5 , 3 ) 内 ．
二分法的概念 ：
对于在区间 ［ a ， b ] 上连续不断且 f （ a ) · f （ b ) <0 的函数 y ＝ f ( x ) ， 通过不断地把函数 f （ x ） 的零点所在的区间 一分为二 ， 使区间的两个端点 逐步逼近零点 ， 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 ．
由函数的零点与相应方程根的关系 , 可用二分法来求 方程的近似解 ．
知识点二用二分法求函数 f ( x ） 零点近似值的步骤
给定精确度 ε ， 用二分法求函数 f ( x ） 零点近似值的步骤 ：
( 1 ) 确定区间 ［ a , b ] ， 验证 f ( a ) · f ( b ） 〈 0 ， 给定精确度 ε ；
（ 2 ） 求区间 （ a ， b ) 的中点 c ;
( 3 ) 计算 f ( c ）；
① 若 f （ c ) ＝ 0 , 则 c 就是函数的零点 ；
② 若 f ( a ） · f （ c ) <0 ， 则令 b ＝ c （ 此时零点 x 0 ∈ ( a ， c ) ）；
③ 若 f ( c ) · f （ b ） 〈 0 ， 则令 a ＝ c ( 此时零点 x 0 ∈ （ c , b ) ）．
( 4 ) 判断是否达到精确度 ε ： 即若｜ a － b | 〈 ε ， 则得到零点近似值 a （ 或 b ）； 否则重复 ( 2 ）～ ( 4 ）．
知识点三精确度与运算次数
思考 1 “ 精确到 0 .1 " 与 “ 精确度为 0 . 1 ” 一样吗？
答案 不一样 ． 比如得数是 1.25 或 1.34 ， 精确到 0 .1 都是通过四舍五入后保留一位小数得 1 .3. 而 “ 精确度为 0.1 ” 指零点近似值所在区间 （ a ， b ) 满足 | a － b ｜ <0 . 1 ， 比如零点近似值所在区间 ( 1 .25 , 1.34 ）． 若精确度为 0.1 , 则近似值可以是 1 .25 ， 也可以是 1.34.
思考 2 如果给定零点所在的初始区间 ［ a , b ] 与精确度 ε ，如何估算二分次数
【经典例题】
例1下列函数中，不能用二分法求零点的是 ( 　　 )
　例2试判断方程 x 3 ＋ 3 x － 5 ＝ 0 在区间 (0,3) 内是否有实数解？若有，求出该解的近似值 ( 精确到 0.01) ．
例3　在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发 生了故障，这是一条 10 km 长的线路，如何迅速查出故障所在？
如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多，每查一点要爬一次电线杆子， 10 km 长，大约有 200 多根电线杆子呢！想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？
【课堂达标】
1．在用二分法求方程3x+3x-8=0在（1，2）内近似根的过程中，已经得到f（1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（ ）
A．(1,1.25) B．(1.25,1.5) C．(1.5,2) D．不能确定
2．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.4 B．1.3 C．1.2 D．1.5
3．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5
4．某同学用二分法求方程在x∈（1，2）内近似解的过程中，设
，且计算f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，则该同学在第二次应计算的函数值为
A．f（0.5） B．f（1.125）
C．f（1.25） D．f（1.75）
5．用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：f（1）＝–2，f（1.5）＝0.625，f（1.25）≈–0.984，f（1.375）≈–0.260，关于下一步的说法正确的是（ ）
A．已经达到精确度的要求，可以取1.4作为近似值
B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值
C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）
D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.3125）
6．下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是( )
A． B．
C． D．
7．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
A． B． C． D．
8．利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：
0.2
0.6
1.0
1.4
1.8
2.2
2.6
3.0
3.4
…
1.149
1.516
2.0
2.639
3.482
4.595
6.063
8.0
10.556
…
0.04
0.36
1.0
1.96[学
3.24
4.84
6.76
9.0
11.56
…
那么方程的一个根位于下列区间 （ ）
A．（0.6，1.0） B．（1.4，1.8） C．（1.8，2.2） D．（2.6，3.0）
9．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)
A．x1 B．x2
C．x3 D．x4
10．下列函数的图象均与轴有交点，其中不宜用二分法求交点横坐标的是（ ）．
A． B． C． D．
11．下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是（ ）
A． B．
C． D．
12．用二分法研究函数的零点时，第一次经计算，，可得其中一个零点 ，第二次应计算 ，以上横线应填的内容依次为（ ）
A． B．
C． D．
13．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是________．
试卷第1页，总3页
【能力提升】
15．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈－0.029
f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)
16．2015年5月12日15：05尼泊尔发生了7.5级地震地震发生后，停水断电，交通受阻.已知A地到B地的电话线路发生故障（假设线路只有一处发生故障），这是一条长的线路，每隔有一根电线杆，如何迅速查出故障所在？
17．利用计算器，求方程的近似解（精确度为0.1）.
18．求函数的一个正零点的近似值（精确度小于0.1）．
【参考答案】
【经典例题】
例1【答案】　 B
【方法总结】 　用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则：
(1) 需依据图像估计零点所在的初始区间 [ m ， n ] ( 一般采用估计值的方法完成 ) ．
(2) 取区间端点的平均数 c ，计算 f ( c ) ，确定有解区间是 [ m ， c ] 还是 [ c ， n ] ，逐步缩小区间的 “ 长度 ” ，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
　例2【解】 　 设函数 f ( x ) ＝ x 3 ＋ 3 x － 5 ，由于 f (0) ＝－ 5<0 ， f (3) ＝ 31>0 ，因此 f (0)· f (3)<0 ，所以 f ( x ) 在 (0,3) 内至少存在一个零点，即原方程在 (0,3) 内必有实数解．
以下用二分法求方程在 (0,3) 内的近似解．
由于 f (1) ＝－ 1<0 ， f (2) ＝ 9>0 ，所以方程的解又必在区间 (1,2) 内，故可取区间 (1,2) 为计算的初始区间．用二分法逐次计算，将方程的解所在的区间依次求出，列表如下：
计算次数 左端点 右端点
1 1 2
2 1 1.5
3 1 1.25
4 1.125 1.25
5 1.125 1.187 5
6 1.125 1.156 25
7 1.140 625 1.156 25
8 1.148 437 5 1.156 25
9 1.152 343 75 1.156 25
10 1.152 343 75 1.154 296 875
由上表可知，区间 [1.152 343 75,1.154 296 875] 中的每一个数都精确到 0.01 ，都等于 1.15 ，所以 1.15 就是方程精确到 0.01 的近似解．
例3【解】 　 如图．
他首先从中点 C 查，用随身带的话机向两端测试时，若发现 AC 段正常，断定故障在 BC 段，再到 BC 段中点 D ，这次发现 BD 段正常，可见故障在 CD 段，再到 CD 中点 E 来查．这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过 7 次查找，即可将故障发生的范围缩小到 50 ～ 100 m 之间，即一两根电线杆附近．
【课堂达标】
1．B
【解析】
【分析】
直接利用二分法判断.
【详解】
∵f（1）＜0，f（1.5）＞0，
∴在区间（1，1.5）内函数存在一个零点
又∵f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，
∴在区间（1.25，1.5）内函数存在一个零点，
由此可得方程的根落在区间（1.25，1.5）内，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二分法求方程的近似解，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
由表格中参考数据可得，，结合题中要求精确到0.1可得答案．
【详解】
由表格中参考数据可得，，
又因为题中要求精确到0.1，
所以近似根为 1.4
故选：A．
【点睛】
本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．在利用二分法求区间根的问题上，如果题中有根的精确度的限制，在解题时就一定要计算到满足要求才能结束．
3．C
【解析】
【分析】
由表中参考数据可得，，，又精确度为，由二分法定义即可得答案.
【详解】
由表中参考数据可得，，，
所以，由二分法定义得零点应该存在于区间内，又
精确度为，且，故方程的一个近似根为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查了用二分法求方程的近似解问题，属于基础题.
4．C
【解析】
【分析】
先根据题目已知中的函数值，确定根的分布区间，再结合二分法的原理，可以求出
该同学在第二次应计算的函数值.
【详解】
∵f（1）<0，f（2）>0，f（1.5）>0，∴在区间（1，1.5）内函数f（x）＝3x+3x–8存在一个零点，该同学在第二次应计算的函数值1.25，故选C．
【点睛】
本题考查了二分法的步骤，零点存在定理，考查了数学运算能力.
5．C
【解析】
【分析】
根据已知能的特殊函数值，可以确定方程的根分布区间，然后根据精确要求选出正确答案.
【详解】
由由二分法知，方程的根在区间区间（1.375，1.5），没有达到精确度的要求，应该接着计算f（1.4375）．故选C．
【点睛】
本题考查了二分法的应用，掌握二分法的步骤是解题的关键.
6．D
【解析】
【分析】
根据零点左右附近，函数值必须改变符号，可以选出答案.
【详解】
根据零点存在定理，对于D，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点，故选D．
【点睛】
本题考查了零点存在定理，考查了数形结合能力.
7．B
【解析】
【分析】
二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解，观察图象可得结果.
【详解】
二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解.
而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点.
另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点.
根据二分法的理论依据选项B不能用二分法求图中函数零点，
故选：B.
【点睛】
本题考查二分法求函数零点，关键是理解零点两侧函数值的正负问题，是基础题.
8．C
【解析】
构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C
点睛：判断函数零点(方程的根)所在区间的方法
(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．
(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断．
(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．
9．C
【解析】
观察图象可知：点x3的附近两旁的函数值都为负值，∴点x3不能用二分法求，故选C.
10．C
【解析】
【分析】
根据利用二分法求函数与轴交点的横坐标，该函数的零点必须是变号零点，简单判断可得结果.
【详解】
由题可知：利用二分法求函数与轴交点的横坐标该函数的零点必须是变号零点，
所以根据这个条件可知，不宜用二分法求交点横坐标的是选项C
故选：C
【点睛】
本题考查利用二分法求函数零点的条件，熟悉使用二分法的条件，属基础题.
11．B
【解析】
【分析】
直接根据图象分析，只有变号的零点才可以分二分法求解，即可得到答案；
【详解】
B选项中的零点不是变号零点，
该零点不宜用二分法求解，
故选：B.
【点睛】
本题考查二分法求函数零点的理解，考查数形结合思想，属于基础题.
12．A
【解析】
【分析】
首先应结合零点定理判断函数零点的所在区间，然后用二分法的思想将区间逐次减半．即可获得问题解答．
【详解】
由题意可知：对函数，，，且函数在区间上连续，可得其中一个零点，使得，
根据二分法的思想可知在第二次计算时应计算，
所以答案为：，．
故选：．
【点睛】
本题考查的是二分法研究函数零点的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力．值得同学们体会和反思．
13．1.5,1.75,1.875,1.812 5
【解析】
第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．
14．5
【解析】
因为区间的长度为2，所以第一次等分后区间长度为1，第二次等分后区间长度为0.5，……第四次等分后区间长度为0.125<0.2，第五次等分区间后区间长度为0.0625<0.1，所以需要将区间等分5次.
故答案为5.
【能力提升】
15．1.56
【解析】
注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.
16．见解析.
【解析】
【分析】
先画出线路图,从中点开始排查,可排除一半,利用二分法的思想,再找这一半的中点,以此类推,即可快速排查故障所在
【详解】
如图,
可首先从中点C开始检查,若段正常，则故障在段；再从段中点D检查,若段正常,则故障在段；再从段中点E检查,……如此这般,每检查一次就可以将待查的线路长度缩短一半,经过7次查找,将故障范图缩小到之间,即可迅速找到故障所在
【点睛】
本题考查二分法在实际中的应用
17．一个近似解为1.625，另一个近似解为4.4375.
【解析】
【分析】
先画出的图象可判断方程有一根在,设为,再求得,缩小范围至,进而依次类推,根据二分法的原则,最后根据精确度确定方程的近似解
【详解】
设,作出函数的草图如图所示,通过观察函数的草图得,
,,
所以方程有一根在内,设为,
因为,
所以,
又因为,
所以,
由,则,
由,则，
由于,
所以方程的一个近似解为1.625,
用同样的方法,可求得方程的另一个近似解为4.4375
【点睛】
本题考查利用二分法求方程的近似解,考查计算器的应用
18．1.6875
【解析】
【分析】
利用二分法求方程的近似解即可求解.
【详解】
由于，故可取区间作为计算的初始区间．
用二分法逐次计算，列表如下：
零点所在区间 区间中点横坐标 中点对应的函数值 取中点作为近似值时误差小于的值
0.5
0.25
0.125
0.0625
由上表的计算可知，可取1.6875作为所求函数的一个正零点的近似值．
【点睛】
本题考查了二分法求方程的近似解，需掌握求解的步骤，属于基础题.