辽宁省沈阳市第八十三中学2022-2023学年高一上学期期初考试数学试卷（含答案）

2022-2023学年度上学期高一期初考试试题
数 学
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．在数轴上与原点距离不大于3的点表示的数的集合是 （ ）
A．或 B． C． D．
3．若为实数，且，则下列命题正确的是 （ ）
A． B． C． D．
4．关于，的方程组的解集，不正确的说法是 （ ）
A．当时解集是空集 B．必定不是空集
C．可能是单元素集合 D．当时解集是无限集
5．已知关于的不等式的解集为，则的最大值是 （ ）
A． B． C． D．
6．在2022年北京冬奥会冰雪项目中，小将苏翊鸣荣获单板滑雪男子大跳台金牌.李先生由于当天有事，错过了观看苏翊鸣夺冠的高光时刻.赛后，他向当天观看比赛的甲 乙 丙 丁四名观众询问了比赛情况，甲说：“2号或3号选手获得金牌”，乙说：“1号和3号选手都没有获得金牌”，丙说：“3号选手获得了金牌”，丁说：“2号选手获得金牌”.若这四名观众中有2人说的与实际赛况不符，则小将苏翊鸣是 （ ）
A．1号选手 B．2号选手 C．3号选手 D．4号选手
7．若集合，，若，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
8． 若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列命题为真命题的是 （ ）
A．， B．“”是“”的必要而不充分条件
C．若x，y是无理数，则是无理数 D．设全集为R，若，则
10．设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的值可以是 （ ）
A． B． C． D．
11．若，，，则对一切满足条件的恒成立的有 （ ）
A． B． C． D．
12．以下四种说法中，正确的是 ( )
A．关于的方程的解集为
B．、是方程的两根，则
C．设方程的解集为，则方程的解集为
D．方程组的解为坐标的点在第二象限
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。试题中包含两个空的，第一个空2分，第二个空3分全部答对的给5分．
13．命题“”的否定是_________，它是_____（真或假）命题.
14．已知实数、满足，，则的取值范围为______．
15．若关于的不等式的解集不是空集，则实数的取值集合是___________.
16．我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和， ，则是的更为精确的近似值．已知，试以上述 的不足近似值和过剩近似值为依据，那么使用两次“调日法”后可得 的近似分数为 ________ ．
四、解答题（总共70分）解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．
17．(10分）已知全集，集合，．
(1)若且，求实数的值；
(2)设集合,若的真子集共有个，求实数的值．
18．（12分）请选择适当的方法证明.
(1)已知，，且，证明：；
(2)已知，，，证明：a，b中至少有一个不小于0.
19．（12分）已知 是一元二次方程的两个实数根.
(1)若 均为正根，求实数k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得成立？若存在，求出k的值；若不能存在，请说明理由.
20．（12分）已知.
（1）当时，求关于的不等式大于0的解集；
（2）若不等式的解集为，求实数，的值.
21．（12分）已知恒成立．
(1)求的取值范围；
(2)解关于的不等式.
22．（12分）设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点P，设.
（1）用x的代数式表示y,并写出x的取值范围；
（2）求的最大面积及相应x的值.
答案
1-8 DBDAD CAC 9.ABD 10.ABC 11.AC 12.BCD
13. ；假
14.
15.
16.
17．（1）解：因为，，
因此，.若，则或，解得或．
又，所以...............................................................................................................5分
（2）解：，，
当时，，此时集合共有个真子集，不符合题意，
当时，，此时集合共有个真子集，符合题意，
综上所述，...........................................................................................................10分
18．(1)方法一（做差法）：
因为，
，因为且，，所以，
所以，得证
方法二（综合法）：因为，，且，
所以，，所以，展开得：，
所以，即，得证............................................6分
(2)（反证法）假设a b都小于0，即，，则有，
因为，，，则，
这与假设所得相矛盾，因此，假设不成立.所以，a b中至少有一个不小于0.
...........................................................12分
19．(1)由题意，一元二次方程有两个正根 故
解得：.......................................................................................6分
(2)由题意，当，即时，有
解得：，与矛盾
故不存在实数k，使得成立............................................12分
20．（1）当时，.∴不等式为，解得，
∴所求不等式的解集为.................................................................6分
（2）∵，∴，
∴是方程的两根，
∴，解得...................................................................12分
21．(1)解：因为恒成立．①当时，恒成立，合乎题意；
②当时，则，解得.综上所述，..............................4分
(2)解：由得.
①当时，即当时，原不等式的解集为；
②当时，即当时，原不等式的解集为；
③当时，即当时，原不等式的解集为............................10分
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为...............................................................12分
22．（1）如图，∵，由矩形的周长为，可知.设，则，
，，，，
.
在中，由勾股定理得，即，
解得，所以.即...............5分
（2）的面积为.
由基本不等式与不等式的性质，得，................10分
当且仅当时，即当时，的面积最大，面积的最大值为.
................................................12分