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辽宁省营口地区2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·营口开学考）已知，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2022高二上·营口开学考）已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（ ）
A． B．7 C． D．3
3．（2022高二上·营口开学考）在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为2，则该“堑堵”的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·营口开学考）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022高二上·营口开学考）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，若，，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
6．（2022高二上·营口开学考）如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点60的B点测得塔底位于北偏西45°方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为（ ）（参考数据：）
A．38m B．44m C．40m D．48m
7．（2022高二上·营口开学考）我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底 长方形足 器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体，则其体积约为（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
8．（2022高二上·营口开学考）已知角A，B，C是（非直角三角形）的三个内角，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·营口开学考）已知向量，，，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2022高二上·营口开学考）已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
11．（2022高二上·营口开学考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（ ）
A．外接圆的半径为 B．外接圆的半径为3
C． D．
12．（2022高二上·营口开学考）已知复数满足，复数满足，则的值可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
三、填空题
13．（2022高二上·营口开学考）的共轭复数为 .
14．（2022高二上·营口开学考）已知，则 .
15．（2022高二上·营口开学考）已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则 .
16．（2022高二上·营口开学考）已知向量，，.写出m的一个值： ，使得，此时 .
四、解答题
17．（2022高二上·营口开学考）已知，，.
（1）求；
（2）求在上投影的数量.
18．（2022高二上·营口开学考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且.
（1）求角C的大小；
（2）若D为AB的中点，且，求的周长.
19．（2022·河南模拟）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D是BC的中点.
（1）证明：平面.
（2）求直线AC与平面所成角的正弦值.
20．（2022高二上·营口开学考）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以a，b，c为边长的三个正方形的面积依次为，，，且.
（1）求C；
（2）若，求的取值范围.
21．（2022高二上·营口开学考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，.
（1）求；
（2）求.
22．（2022高二上·营口开学考）如图，在直角梯形ABCD中，，，，沿对角线BD将折至的位置，记二面角的平面角为.
（1）当时，求三棱锥的体积；
（2）若E为BC的中点，当时，求二面角的正弦值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以z在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据复数的乘法求出，从而得到答案.
2．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题意得：，
所以.
故答案为：C
【分析】根据向量的数量积求得，结合向量的模即可求解.
3．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由题意可知，该“堑堵”的表面积为.
故答案为：D.
【分析】 直接利用几何体的表面积公式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】因为为的重心，所以.
为的中点，所以.
故答案为：C.
【分析】由为的重心，所以，为的中点，所以，从而得到答案.
5．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】在中，由，
得，
所以，则，
由斜二测直观图可推出中，，，
故的面积为.
故答案为：B
【分析】由已知根据斜二测画法画出原平面图形，计算原图形面积即可.
6．【答案】D
【知识点】解三角形
【解析】【解答】如图，根据题意，平面ABD，，，，.
在中，因为，所以，
所以.在中，.
A，B，C不符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题意构造四面题，运用线面关系及三角形相关知识进行求解.
7．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：因为
，
，所以.
故答案为：D
【分析】根据椎体的体积公式，台体的体积公式计算即可得解.
8．【答案】C
【知识点】向量在几何中的应用；三角函数的化简求值
【解析】【解答】取BC的中点M，连接GM，因为.
所以点G是的重心，所以.
以M为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，不妨设，，
因为，所以可设，则.
因为，，
则.
因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】取BC的中点M，连接GM，由，得点G是的重心，，再以M为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，设，根据，求得，，代入计算即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：因为，，
所以，所以，A不符合题意；
因为，，所以，B符合题意；
因为，所以，C符合题意；
因为，，所以，所以，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】对于A：由已知条件可得，根据求模公式即可判断A；对于B：由已知得，，通过内积即可判断B；对于C：由已知得，通过内积判断C即可；对于D：由，，可得，即可判断.
10．【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】若，，则或，A不正确；
若，，则或，B不正确；
若，，则或或，C不正确；
若由，，得，又，则，D符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】根据空间中线面位置关系即可求解.
11．【答案】A,C
【知识点】诱导公式；正弦定理
【解析】【解答】因为，A为三角形内角，所以.设外接圆的半径为R，
则，所以外接圆的半径为.由.
得.因为，所以.
因为，所以，
所以，则.
故答案为：AC.
【分析】根据正弦定理及三角函数的诱导公式即可得解.
12．【答案】A,B,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】令，代入，得，
由，解得，或，或，
故或或.
设，则.
表示以为圆心，为半径的圆.
当时，，可理解为圆上的点与（0，0）之间的距离，
此时；
当时，，可理解为圆上的点与（0，2）之间的距离，
此时；
当时，，可理解为圆上的点与之间的距离，
此时.
综上
.
故答案为：ABC
【分析】令，代入，化简可求；再设，代入化简，得表示以为圆心，为半径的圆，分情况讨论即可.
13．【答案】3+2i
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为互为共轭复数的复数实部相等，虚部相反，
所以的共轭复数为3+2i，
故答案为：3+2i
【分析】根据共轭复数的定义即可得解.
14．【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为，所以，
则
.
故答案为：
【分析】由可得，利用同角三角函数基本关系、二倍角公式化简，即可求解.
15．【答案】
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】因为，
所以.
因为P，A，B，C四点共面，O具有任意性，所以，
故.
故答案为：.
【分析】由已知条件可得，根据P，A，B，C四点共面即可求解.
16．【答案】-2（答案不唯一）；（答案不唯一）
【知识点】向量的模；数量积的坐标表达式
【解析】【解答】因为，所以.
因为，
，
所以，所以或.
当时，，；
当时，，.
故答案为：-2；或4；（写出一组答案即可）.
【分析】因为，所以，根据向量的坐标运算、数量积公式即可求解或，再分别计算.
17．【答案】（1）解：因为，，，所以，.
因为，，，
所以，
故.
（2）解：因为，，所以.
因为，所以在上投影的数量为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量的投影
【解析】【分析】（1）由已知求得，，再由数量积求夹角公式求解即可；
（2）求出，，再由向量在向量方向上的投影的概念求解即可.
18．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
所以.
结合正弦定理可得，即，
所以.因为，所以.
（2）解：因为，所以，
所以，
因为D为AB的中点，且，，
所以，即.
由余弦定理有，又，所以.
因为，所以，所以.
故的周长为.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件进行变形求解，再利用同角三角函数的基本关系以及正弦定理、余弦定理进行求解即可；
（2）利用向量及其运算，再结合余弦定理进行求解.
19．【答案】（1）证明：连接，交于O，连接OD.
因为O是的中点，D是BC的中点，
所以OD是的中位线，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为平面ABC，，可以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，
.设平面的法向量为，
则令，得.
因为，所以，
故直线AC与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 连接，交于O，连接OD. 由 OD是的中位线，所以 ，从而推出平面；
（2） 以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为，根据得.因为， 根据公式，代数求值即可.
20．【答案】（1）解：由题意得，
则.
因为，所以.
（2）解：因为，，且，
所以，，
所以.
因为是锐角三角形，所以，解得：，
所以，所以.
故的取值范围是.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意得，再根据余弦定理即可求解；
（2）由，结合（1），根据正弦定理得，，代入面积公式化简得，结合为锐角三角形得到，从而求出三角函数的值域，求出面积的取值范围.
21．【答案】（1）解：因为，，所以.
（2）解：因为，，所以，，.
因为，所以，所以.
因为，所以，
所以
.
因为，所以，故.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合三角形的性质，以及三角函数的诱导公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合三角形的性质、同角三角函数基本关系，以及余弦的两角差公式，即可求解.
22．【答案】（1）解：当时，平面平面BCD.
在直角梯形ABCD中，，所以，所以，
因为平面平面，平面BCD，所以平面，
所以CD为三棱锥的高，
故.
（2）解：取BD的中点F，连接，
因为，所以.
因为E为BC的中点，连接EF，则EF为的中位线，所以.
因为，所以，
所以为二面角的平面角，即.
因为，所以平面.
因为平面BCD，所以平面平面BCD.
因为平面平面，所以过作于点O，则平面BCD.
因为平面BCD，所以.
过作于点G，连接OG，OF，
因为，所以平面，所以，
所以为二面角的平面角.
在中，，，.
在中，.
在中，，
所以，故二面角的正弦值为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）当时，可证明平面， 得 CD为三棱锥的高 ，代入体积公式，即可求解；
（2） 取BD的中点F，连接， 证得 为二面角的平面角 ， 过作于点G，连接OG，OF，证得 为二面角的平面角，在，，，分别求，，即可求得得解.
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辽宁省营口地区2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·营口开学考）已知，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为，所以z在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：A.
【分析】根据复数的乘法求出，从而得到答案.
2．（2022高二上·营口开学考）已知向量，满足，，且，的夹角为30°，则（ ）
A． B．7 C． D．3
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由题意得：，
所以.
故答案为：C
【分析】根据向量的数量积求得，结合向量的模即可求解.
3．（2022高二上·营口开学考）在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的底面是斜边长为2的等腰直角三角形，高为2，则该“堑堵”的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】由题意可知，该“堑堵”的表面积为.
故答案为：D.
【分析】 直接利用几何体的表面积公式求解即可.
4．（2022高二上·营口开学考）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】因为为的重心，所以.
为的中点，所以.
故答案为：C.
【分析】由为的重心，所以，为的中点，所以，从而得到答案.
5．（2022高二上·营口开学考）如图，水平放置的的斜二测直观图是图中的，若，，则的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】在中，由，
得，
所以，则，
由斜二测直观图可推出中，，，
故的面积为.
故答案为：B
【分析】由已知根据斜二测画法画出原平面图形，计算原图形面积即可.
6．（2022高二上·营口开学考）如图，有一古塔，在A点测得塔底位于北偏东60°方向上的点D处，塔顶C的仰角为30°，在A的正东方向且距D点60的B点测得塔底位于北偏西45°方向上（A，B，D在同一水平面），则塔的高度CD约为（ ）（参考数据：）
A．38m B．44m C．40m D．48m
【答案】D
【知识点】解三角形
【解析】【解答】如图，根据题意，平面ABD，，，，.
在中，因为，所以，
所以.在中，.
A，B，C不符合题意.
故答案为：D.
【分析】由题意构造四面题，运用线面关系及三角形相关知识进行求解.
7．（2022高二上·营口开学考）我国历史文化悠久，“爰”铜方彝是商代后期的一件文物，其盖似四阿式屋顶，盖为子口，器为母口，器口成长方形，平沿，器身自口部向下略内收，平底 长方形足 器内底中部及盖内均铸一“爰”字.通高24cm，口长13.5cm，口宽12cm，底长12.5cm，底宽10.5cm.现估算其体积，上部分可以看作四棱锥，高约8cm，下部分看作台体，则其体积约为（ ）（参考数据：，）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】解：因为
，
，所以.
故答案为：D
【分析】根据椎体的体积公式，台体的体积公式计算即可得解.
8．（2022高二上·营口开学考）已知角A，B，C是（非直角三角形）的三个内角，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】向量在几何中的应用；三角函数的化简求值
【解析】【解答】取BC的中点M，连接GM，因为.
所以点G是的重心，所以.
以M为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，不妨设，，
因为，所以可设，则.
因为，，
则.
因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】取BC的中点M，连接GM，由，得点G是的重心，，再以M为原点，BC为x轴建立平面直角坐标系，设，根据，求得，，代入计算即可.
二、多选题
9．（2022高二上·营口开学考）已知向量，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量的数量积运算；空间向量运算的坐标表示；向量的数量积判断向量的共线与垂直
【解析】【解答】解：因为，，
所以，所以，A不符合题意；
因为，，所以，B符合题意；
因为，所以，C符合题意；
因为，，所以，所以，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】对于A：由已知条件可得，根据求模公式即可判断A；对于B：由已知得，，通过内积即可判断B；对于C：由已知得，通过内积判断C即可；对于D：由，，可得，即可判断.
10．（2022高二上·营口开学考）已知是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】A,B,C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】若，，则或，A不正确；
若，，则或，B不正确；
若，，则或或，C不正确；
若由，，得，又，则，D符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】根据空间中线面位置关系即可求解.
11．（2022高二上·营口开学考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则（ ）
A．外接圆的半径为 B．外接圆的半径为3
C． D．
【答案】A,C
【知识点】诱导公式；正弦定理
【解析】【解答】因为，A为三角形内角，所以.设外接圆的半径为R，
则，所以外接圆的半径为.由.
得.因为，所以.
因为，所以，
所以，则.
故答案为：AC.
【分析】根据正弦定理及三角函数的诱导公式即可得解.
12．（2022高二上·营口开学考）已知复数满足，复数满足，则的值可能为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A,B,C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】令，代入，得，
由，解得，或，或，
故或或.
设，则.
表示以为圆心，为半径的圆.
当时，，可理解为圆上的点与（0，0）之间的距离，
此时；
当时，，可理解为圆上的点与（0，2）之间的距离，
此时；
当时，，可理解为圆上的点与之间的距离，
此时.
综上
.
故答案为：ABC
【分析】令，代入，化简可求；再设，代入化简，得表示以为圆心，为半径的圆，分情况讨论即可.
三、填空题
13．（2022高二上·营口开学考）的共轭复数为 .
【答案】3+2i
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】因为互为共轭复数的复数实部相等，虚部相反，
所以的共轭复数为3+2i，
故答案为：3+2i
【分析】根据共轭复数的定义即可得解.
14．（2022高二上·营口开学考）已知，则 .
【答案】
【知识点】二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】因为，所以，
则
.
故答案为：
【分析】由可得，利用同角三角函数基本关系、二倍角公式化简，即可求解.
15．（2022高二上·营口开学考）已知点P在所在平面内，O为空间中任一点，若，则 .
【答案】
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】因为，
所以.
因为P，A，B，C四点共面，O具有任意性，所以，
故.
故答案为：.
【分析】由已知条件可得，根据P，A，B，C四点共面即可求解.
16．（2022高二上·营口开学考）已知向量，，.写出m的一个值： ，使得，此时 .
【答案】-2（答案不唯一）；（答案不唯一）
【知识点】向量的模；数量积的坐标表达式
【解析】【解答】因为，所以.
因为，
，
所以，所以或.
当时，，；
当时，，.
故答案为：-2；或4；（写出一组答案即可）.
【分析】因为，所以，根据向量的坐标运算、数量积公式即可求解或，再分别计算.
四、解答题
17．（2022高二上·营口开学考）已知，，.
（1）求；
（2）求在上投影的数量.
【答案】（1）解：因为，，，所以，.
因为，，，
所以，
故.
（2）解：因为，，所以.
因为，所以在上投影的数量为.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；向量的投影
【解析】【分析】（1）由已知求得，，再由数量积求夹角公式求解即可；
（2）求出，，再由向量在向量方向上的投影的概念求解即可.
18．（2022高二上·营口开学考）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，且.
（1）求角C的大小；
（2）若D为AB的中点，且，求的周长.
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
所以.
结合正弦定理可得，即，
所以.因为，所以.
（2）解：因为，所以，
所以，
因为D为AB的中点，且，，
所以，即.
由余弦定理有，又，所以.
因为，所以，所以.
故的周长为.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据已知条件进行变形求解，再利用同角三角函数的基本关系以及正弦定理、余弦定理进行求解即可；
（2）利用向量及其运算，再结合余弦定理进行求解.
19．（2022·河南模拟）如图，在三棱柱中，平面ABC，，，D是BC的中点.
（1）证明：平面.
（2）求直线AC与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：连接，交于O，连接OD.
因为O是的中点，D是BC的中点，
所以OD是的中位线，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）解：因为平面ABC，，可以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，
.设平面的法向量为，
则令，得.
因为，所以，
故直线AC与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1） 连接，交于O，连接OD. 由 OD是的中位线，所以 ，从而推出平面；
（2） 以D为坐标原点，以，的方向分别x，y轴的正方向，平行于为轴，向上为正方向建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，设平面的法向量为，根据得.因为， 根据公式，代数求值即可.
20．（2022高二上·营口开学考）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，以a，b，c为边长的三个正方形的面积依次为，，，且.
（1）求C；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得，
则.
因为，所以.
（2）解：因为，，且，
所以，，
所以.
因为是锐角三角形，所以，解得：，
所以，所以.
故的取值范围是.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意得，再根据余弦定理即可求解；
（2）由，结合（1），根据正弦定理得，，代入面积公式化简得，结合为锐角三角形得到，从而求出三角函数的值域，求出面积的取值范围.
21．（2022高二上·营口开学考）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）解：因为，，所以.
（2）解：因为，，所以，，.
因为，所以，所以.
因为，所以，
所以
.
因为，所以，故.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；诱导公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合三角形的性质，以及三角函数的诱导公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合三角形的性质、同角三角函数基本关系，以及余弦的两角差公式，即可求解.
22．（2022高二上·营口开学考）如图，在直角梯形ABCD中，，，，沿对角线BD将折至的位置，记二面角的平面角为.
（1）当时，求三棱锥的体积；
（2）若E为BC的中点，当时，求二面角的正弦值.
【答案】（1）解：当时，平面平面BCD.
在直角梯形ABCD中，，所以，所以，
因为平面平面，平面BCD，所以平面，
所以CD为三棱锥的高，
故.
（2）解：取BD的中点F，连接，
因为，所以.
因为E为BC的中点，连接EF，则EF为的中位线，所以.
因为，所以，
所以为二面角的平面角，即.
因为，所以平面.
因为平面BCD，所以平面平面BCD.
因为平面平面，所以过作于点O，则平面BCD.
因为平面BCD，所以.
过作于点G，连接OG，OF，
因为，所以平面，所以，
所以为二面角的平面角.
在中，，，.
在中，.
在中，，
所以，故二面角的正弦值为.
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）当时，可证明平面， 得 CD为三棱锥的高 ，代入体积公式，即可求解；
（2） 取BD的中点F，连接， 证得 为二面角的平面角 ， 过作于点G，连接OG，OF，证得 为二面角的平面角，在，，，分别求，，即可求得得解.
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