山东省日照市2022-2023学年高二上学期数学8月校际联考试卷

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山东省日照市2022-2023学年高二上学期数学8月校际联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·日照开学考）命题“”的否定是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】全称命题蝗否定是特称命题．
命题“”的否定是．
故答案为：B．
【分析】由命题的否定的定义判断．
2．（2022高二上·日照开学考）已知幂函数的图象经过点，则（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【知识点】幂函数的性质
【解析】【解答】因为函数为幂函数，所以，则，
又因为的图象经过点，所以，得，
所以.
故答案为：A
【分析】根据幂函数的概念求出，再代入点的坐标可求出，即可得解.
3．（2022高二上·日照开学考）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】.
故答案为：B.
【分析】先解三角不等式和一元二次不等式求出集合A，B，再由交集的概念求解即可.
4．（2022高二上·日照开学考）已知锐角满足，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】为锐角，，，
又，
.
故答案为：A.
【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，，由，利用两角和差余弦公式可求得结果.
5．（2022高二上·日照开学考）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】设，
则，即在上是奇函数，排除B，D，
又，
故答案为：A
【分析】判断出函数的奇偶性，再利用特殊值的正负得出选项．
6．（2022高二上·日照开学考）已知函数，则（ ）
A． B．4 C．10 D．
【答案】D
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以
.
故答案为：D
【分析】根据分段函数解析式及对数的运算法则计算可得.
7．（2020高三上·如皋期末）已知 是定义在 上的奇函数，对任意两个不相等的正数 ， ，都有 ，记 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】设 ，则 ，
则由 得 ，化简得 ，
令函数 ，即得 ，则得函数 在 上为单调减函数，
因为 是定义在 上的奇函数，
所以
因为 , ，即得 ，
所以 ，即 .
故答案为：D
【分析】 由条件判断函数在（0，+∞）上是减函数，然后结合函数的奇偶性和单调性即可比较大小．
8．（2021·靖远模拟）如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，点 为线段 上的一动点，若 ，则 的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【知识点】基本不等式；向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】设BD、AE交于O，因为 ，
所以 ，所以 ,
所以 ，则 ，
所以 ，
因为O、F、B三点共线，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，
所以 ，
故答案为：A
【分析】 先得到 ，进而得到，由O, F, B三点共线，得到3x + 2y= 2，再利用基本不等式求最值即可.
9．（2022高二上·日照开学考）将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、乙、丙三人，每人至少分得一本，则下列说法正确的是（　　）
A．事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”为互斥事件
B．事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”为对立事件
C．事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”为对立事件
D．事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《红楼梦》”为互斥事件
【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：对于A，事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”能同时发生，不为互斥事件，A项错误；
对于B，事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”能同时发生，不为对立事件，B项错误；
对于C，事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”不能同时发生，是互斥事件，两个事件的并集不等于总的样本空间，故不是对立事件，C项错误；
对于D，事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《红楼梦》”不能同时发生，是互斥事件，且两个事件的并集不等于总的样本空间，故不是对立事件，D项正确.
故答案为：D.
【分析】利用互斥事件与对立事件的定义逐项分析即可.
二、多选题
10．（2022·临沂二模）已知a， ，则使“ ”成立的一个必要不充分条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】对于A，当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不充分；
当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不必要；A不符合题意；
对于B，当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不充分；
当 时，平方得 ，又 ，又 ，故 ，
即 能推出 ，必要；B符合题意；
对于C，当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不充分；
当 时，由 ， ，即 能推出 ，必要；C符合题意；
对于D，当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不充分；
当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不必要；D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据绝对值不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断可得答案。
11．（2022高二上·日照开学考）如图，已知四棱锥中，底面，分别是的中点，且，记三棱锥的体积分别为，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为是的中点，所以，不妨设到面的距离为，
则，即，A符合题意，B不符合题意；
因为是的中点，所以 ，故，
所以，，C符合题意；
由等底等高易得，所以，，
所以，
即，，，D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用等高等底、同高等底的性质得到，，进而利用换顶点法与切割法可以得到，，，依次可以判断选项的正确与否.
12．（2022高二上·日照开学考）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如.定义函数，则（　　）
A．
B．函数是周期函数
C．方程在仅有一个解
D．函数是增函数
【答案】B,C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知，画出分段函数的图象，
对A，定义可得，A不正确；
对B，由图知函数为周期函数，B符合题意；
对C，函数与函数在有一个交点，
即方程在仅有一个解，C符合题意；
对D，由图象可知，所以函数不是增函数，D不正确.
故答案为：BC.
【分析】根据定义判断A，利用分段函数形式表示，根据题意画出函数的图像，再依次判断选项B，C，D即可.
三、填空题
13．（2022高二上·日照开学考）函数的定义域为　 　.
【答案】[1，+∞)
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意知，，解得，则函数的定义域为[1，+∞).
故答案为：[1，+∞).
【分析】直接解不等式组求出定义域即可.
14．（2022高二上·日照开学考）已知圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为　 　.
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，又，
所以圆锥的母线长，所以圆锥的高，
所以圆锥的体积，
故答案为：.
【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，即为圆锥的母线长，再求得圆锥的高，从而求得体积即可.
15．（2021·丹东模拟）已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，那么当 　 　时，满足条件“ ， ”的 有两个．（仅写出一个 的具体数值即可）
【答案】 内任一数
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】由正弦定理得 ，所以 ，
若满足条件的 有两个，则 且 ，
所以 。
故答案为： 内任一数。
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出，若满足条件的 有两个，则 且 ，从而求出a的取值范围，从而得出a在此范围取任意值都可以。
16．（2022高二上·日照开学考）已知函数图像的两条相邻对称轴之间的距离小于，且，则的最小值为　 　.
【答案】13
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】，，
因为两条相邻对称轴之间的距离小于，即，故，所以，
因为在处取得最大值，所以，即，
所以，
所以，因为，所以，
即，
所以，
所以，
又，
解得，又，所以，所以，又，
所以，解得，又，所以的最小值为13.
故答案为：13.
【分析】先由对称轴间的距离确定，再利用得到，依次利用诱导公式与基本关系式求得、，，求出，进而得到，即可得到结果.
四、解答题
17．（2022高二上·日照开学考）已知，
（1）设，的夹角为，求的值；
（2）若向量与共线，求的值．
【答案】（1）解：，，
，
（2）解：，，
因为与共线，
所以，解得：.
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【分析】（1）根据向量夹角公式，先求，再求；
（2）首先分别求向量与的坐标，再根据向量平行的坐标表示，即可求解.
18．（2022高二上·日照开学考）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 0.15 0.35
（Ⅰ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.
【答案】解：（Ⅰ）由题意知样本容量为20，因为等级为5的有2个，所以，故 .
（Ⅱ）等级为3的有0.15×20=3个，设为，等级为5的有2个，设为
由枚举得，共有，，10种取法，抽取的2个产品等级恰好相同的取法有，，4种，故概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】 （1）由题意知样本容量为20，因为等级为5的有2个，所以，然后求出；
（2） 等级为3的有0.15×20=3个 ，设为，等级为5的有2个，设为，从这5件日用品中任取两件，等级系数相等的事件数，求解即可.
19．（2022高二上·日照开学考）已知函数.
（1）用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：任取，且，则，
，
，
所以，所以在区间上单调递增.
（2）解：不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，
令，因为，所以，则有在恒成立，
令，则，
所以，所以，所以实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义与作差法即可证明；
（2）将转化为，再用换元法将不等式化为，再利用配方法求得右式最值，进而解决问题.
20．（2022高二上·日照开学考）如图，在四棱锥中，面，，为线段的中点，.
（1）证明：平面
（2）求与平面所成的角的正切值.
【答案】（1）证明：在四棱锥中，面，面，所以，
因为，则是的垂直平分线，即，又，面，所以平面；
（2）解：由（1）知平面于，连，
故即为与面所成的角，；
因为是的中点，且是的中点，则且，
在中，由余弦定理得
，
所以，所以，
所以，即与所成的角的正切值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 面，面，所以，有因为 ， 所以是 是的垂直平分线，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）由（1）中的结论容易判断 即为与面所成的角， 再分别求出，，即可求出的正切值.
21．（2022高二上·日照开学考）已知向量，.函数的最小正周期为.
（1）求函数在内的单调递增区间；
（2） 使得不等式成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：
，
因为，所以，.
由，得，
又，所以函数在内的单调递增区间为，；
（2）解：，
不等式可化为，
，
时，，
设，则，不等式化为，
即不等式在有解，，
又在上是增函数，所以，所以，
即.
【知识点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）由数量积的坐标运算求出，化简函数解析式，由条件求，再结合正弦函数的单调性结论求解；
（2）化简不等式，设，则，不等式转化为，求出右边的最大值可得范围．
22．（2022高二上·日照开学考）如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地（圆心角为）和（圆心角为），为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边形区域，已知圆的直径百米，且点在劣弧上（不含端点），点在上 点在上 点和在上 点在上，记.
（1）经设计，当达到最大值时，取得最佳观赏效果，求取何值时，最大，最大值是多少？
（2）设矩形和平行四边形面积和为，求的最大值及此时的值.
【答案】（1）解：在矩形OEFG中，，，所以.
因为MN∥PQ，，所以，
在△OQP中，，，由正弦定理可知：
，即，
得.
所以
因为，所以，当，时，最大值为百米.
（2）解：设平行四边形MNPQ边MN上的高为h，所以有，
所以平行四边形MNPQ的面积为，
在矩形OEFG中，，所以矩形OEFG的面积为，
所以
.
其中，，，因为，所以，
当，时，百米2，
此时.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理
【解析】【分析】（1）由题意得，，代入，得关于的函数，进行三角恒等变换整理成求最大值；
（2）分别用变量来表达矩形和平行四边形面积相加，得关于的函数，进行三角恒等变换整理成求最大值.
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山东省日照市2022-2023学年高二上学期数学8月校际联考试卷
一、单选题
1．（2022高二上·日照开学考）命题“”的否定是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022高二上·日照开学考）已知幂函数的图象经过点，则（　　）
A． B．1 C． D．2
3．（2022高二上·日照开学考）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·日照开学考）已知锐角满足，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．（2022高二上·日照开学考）函数在区间的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二上·日照开学考）已知函数，则（ ）
A． B．4 C．10 D．
7．（2020高三上·如皋期末）已知 是定义在 上的奇函数，对任意两个不相等的正数 ， ，都有 ，记 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021·靖远模拟）如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，点 为线段 上的一动点，若 ，则 的最大值为（　　）
A． B． C．1 D．2
9．（2022高二上·日照开学考）将《红楼梦》《水浒传》《西游记》《三国演义》四本书随机地分发给甲、乙、丙三人，每人至少分得一本，则下列说法正确的是（　　）
A．事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”为互斥事件
B．事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”为对立事件
C．事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”为对立事件
D．事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《红楼梦》”为互斥事件
二、多选题
10．（2022·临沂二模）已知a， ，则使“ ”成立的一个必要不充分条件是（　　）
A． B． C． D．
11．（2022高二上·日照开学考）如图，已知四棱锥中，底面，分别是的中点，且，记三棱锥的体积分别为，则（　　）
A． B．
C． D．
12．（2022高二上·日照开学考）对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如.定义函数，则（　　）
A．
B．函数是周期函数
C．方程在仅有一个解
D．函数是增函数
三、填空题
13．（2022高二上·日照开学考）函数的定义域为　 　.
14．（2022高二上·日照开学考）已知圆锥的底面半径为2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为　 　.
15．（2021·丹东模拟）已知 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，那么当 　 　时，满足条件“ ， ”的 有两个．（仅写出一个 的具体数值即可）
16．（2022高二上·日照开学考）已知函数图像的两条相邻对称轴之间的距离小于，且，则的最小值为　 　.
四、解答题
17．（2022高二上·日照开学考）已知，
（1）设，的夹角为，求的值；
（2）若向量与共线，求的值．
18．（2022高二上·日照开学考）某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下：
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 0.15 0.35
（Ⅰ）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.
19．（2022高二上·日照开学考）已知函数.
（1）用函数单调性的定义证明在区间上单调递增；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
20．（2022高二上·日照开学考）如图，在四棱锥中，面，，为线段的中点，.
（1）证明：平面
（2）求与平面所成的角的正切值.
21．（2022高二上·日照开学考）已知向量，.函数的最小正周期为.
（1）求函数在内的单调递增区间；
（2） 使得不等式成立，求实数的取值范围.
22．（2022高二上·日照开学考）如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地（圆心角为）和（圆心角为），为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域，一块为平行四边形区域，已知圆的直径百米，且点在劣弧上（不含端点），点在上 点在上 点和在上 点在上，记.
（1）经设计，当达到最大值时，取得最佳观赏效果，求取何值时，最大，最大值是多少？
（2）设矩形和平行四边形面积和为，求的最大值及此时的值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】全称命题蝗否定是特称命题．
命题“”的否定是．
故答案为：B．
【分析】由命题的否定的定义判断．
2．【答案】A
【知识点】幂函数的性质
【解析】【解答】因为函数为幂函数，所以，则，
又因为的图象经过点，所以，得，
所以.
故答案为：A
【分析】根据幂函数的概念求出，再代入点的坐标可求出，即可得解.
3．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】.
故答案为：B.
【分析】先解三角不等式和一元二次不等式求出集合A，B，再由交集的概念求解即可.
4．【答案】A
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】为锐角，，，
又，
.
故答案为：A.
【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，，由，利用两角和差余弦公式可求得结果.
5．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】设，
则，即在上是奇函数，排除B，D，
又，
故答案为：A
【分析】判断出函数的奇偶性，再利用特殊值的正负得出选项．
6．【答案】D
【知识点】函数的值；分段函数的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以
.
故答案为：D
【分析】根据分段函数解析式及对数的运算法则计算可得.
7．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】设 ，则 ，
则由 得 ，化简得 ，
令函数 ，即得 ，则得函数 在 上为单调减函数，
因为 是定义在 上的奇函数，
所以
因为 , ，即得 ，
所以 ，即 .
故答案为：D
【分析】 由条件判断函数在（0，+∞）上是减函数，然后结合函数的奇偶性和单调性即可比较大小．
8．【答案】A
【知识点】基本不等式；向量的线性运算性质及几何意义
【解析】【解答】设BD、AE交于O，因为 ，
所以 ，所以 ,
所以 ，则 ，
所以 ，
因为O、F、B三点共线，
所以 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 ，
所以 ，
故答案为：A
【分析】 先得到 ，进而得到，由O, F, B三点共线，得到3x + 2y= 2，再利用基本不等式求最值即可.
9．【答案】D
【知识点】互斥事件与对立事件
【解析】【解答】解：对于A，事件“甲分得一本”与事件“丙分得两本”能同时发生，不为互斥事件，A项错误；
对于B，事件“乙分得《三国演义》”与事件“丙分得《水浒传》”能同时发生，不为对立事件，B项错误；
对于C，事件“甲分得两本”与事件“乙分得两本”不能同时发生，是互斥事件，两个事件的并集不等于总的样本空间，故不是对立事件，C项错误；
对于D，事件“甲分得《红楼梦》”与事件“乙分得《红楼梦》”不能同时发生，是互斥事件，且两个事件的并集不等于总的样本空间，故不是对立事件，D项正确.
故答案为：D.
【分析】利用互斥事件与对立事件的定义逐项分析即可.
10．【答案】B,C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；基本不等式
【解析】【解答】对于A，当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不充分；
当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不必要；A不符合题意；
对于B，当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不充分；
当 时，平方得 ，又 ，又 ，故 ，
即 能推出 ，必要；B符合题意；
对于C，当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不充分；
当 时，由 ， ，即 能推出 ，必要；C符合题意；
对于D，当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不充分；
当 时，满足 ，不满足 ，即 推不出 ，不必要；D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】根据绝对值不等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义判断可得答案。
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】因为是的中点，所以，不妨设到面的距离为，
则，即，A符合题意，B不符合题意；
因为是的中点，所以 ，故，
所以，，C符合题意；
由等底等高易得，所以，，
所以，
即，，，D选项正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用等高等底、同高等底的性质得到，，进而利用换顶点法与切割法可以得到，，，依次可以判断选项的正确与否.
12．【答案】B,C
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】由题意知，画出分段函数的图象，
对A，定义可得，A不正确；
对B，由图知函数为周期函数，B符合题意；
对C，函数与函数在有一个交点，
即方程在仅有一个解，C符合题意；
对D，由图象可知，所以函数不是增函数，D不正确.
故答案为：BC.
【分析】根据定义判断A，利用分段函数形式表示，根据题意画出函数的图像，再依次判断选项B，C，D即可.
13．【答案】[1，+∞)
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由题意知，，解得，则函数的定义域为[1，+∞).
故答案为：[1，+∞).
【分析】直接解不等式组求出定义域即可.
14．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）
【解析】【解答】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，
因为圆锥的侧面展开图是一个半圆，所以，又，
所以圆锥的母线长，所以圆锥的高，
所以圆锥的体积，
故答案为：.
【分析】先计算圆锥的底面周长，即为侧面展开图的弧长，进而求得侧面展开图的半径，即为圆锥的母线长，再求得圆锥的高，从而求得体积即可.
15．【答案】 内任一数
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】由正弦定理得 ，所以 ，
若满足条件的 有两个，则 且 ，
所以 。
故答案为： 内任一数。
【分析】利用已知条件结合正弦定理得出，若满足条件的 有两个，则 且 ，从而求出a的取值范围，从而得出a在此范围取任意值都可以。
16．【答案】13
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】，，
因为两条相邻对称轴之间的距离小于，即，故，所以，
因为在处取得最大值，所以，即，
所以，
所以，因为，所以，
即，
所以，
所以，
又，
解得，又，所以，所以，又，
所以，解得，又，所以的最小值为13.
故答案为：13.
【分析】先由对称轴间的距离确定，再利用得到，依次利用诱导公式与基本关系式求得、，，求出，进而得到，即可得到结果.
17．【答案】（1）解：，，
，
（2）解：，，
因为与共线，
所以，解得：.
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【分析】（1）根据向量夹角公式，先求，再求；
（2）首先分别求向量与的坐标，再根据向量平行的坐标表示，即可求解.
18．【答案】解：（Ⅰ）由题意知样本容量为20，因为等级为5的有2个，所以，故 .
（Ⅱ）等级为3的有0.15×20=3个，设为，等级为5的有2个，设为
由枚举得，共有，，10种取法，抽取的2个产品等级恰好相同的取法有，，4种，故概率为.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】 （1）由题意知样本容量为20，因为等级为5的有2个，所以，然后求出；
（2） 等级为3的有0.15×20=3个 ，设为，等级为5的有2个，设为，从这5件日用品中任取两件，等级系数相等的事件数，求解即可.
19．【答案】（1）解：任取，且，则，
，
，
所以，所以在区间上单调递增.
（2）解：不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，
令，因为，所以，则有在恒成立，
令，则，
所以，所以，所以实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义与作差法即可证明；
（2）将转化为，再用换元法将不等式化为，再利用配方法求得右式最值，进而解决问题.
20．【答案】（1）证明：在四棱锥中，面，面，所以，
因为，则是的垂直平分线，即，又，面，所以平面；
（2）解：由（1）知平面于，连，
故即为与面所成的角，；
因为是的中点，且是的中点，则且，
在中，由余弦定理得
，
所以，所以，
所以，即与所成的角的正切值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1） 面，面，所以，有因为 ， 所以是 是的垂直平分线，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）由（1）中的结论容易判断 即为与面所成的角， 再分别求出，，即可求出的正切值.
21．【答案】（1）解：
，
因为，所以，.
由，得，
又，所以函数在内的单调递增区间为，；
（2）解：，
不等式可化为，
，
时，，
设，则，不等式化为，
即不等式在有解，，
又在上是增函数，所以，所以，
即.
【知识点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式
【解析】【分析】（1）由数量积的坐标运算求出，化简函数解析式，由条件求，再结合正弦函数的单调性结论求解；
（2）化简不等式，设，则，不等式转化为，求出右边的最大值可得范围．
22．【答案】（1）解：在矩形OEFG中，，，所以.
因为MN∥PQ，，所以，
在△OQP中，，，由正弦定理可知：
，即，
得.
所以
因为，所以，当，时，最大值为百米.
（2）解：设平行四边形MNPQ边MN上的高为h，所以有，
所以平行四边形MNPQ的面积为，
在矩形OEFG中，，所以矩形OEFG的面积为，
所以
.
其中，，，因为，所以，
当，时，百米2，
此时.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理
【解析】【分析】（1）由题意得，，代入，得关于的函数，进行三角恒等变换整理成求最大值；
（2）分别用变量来表达矩形和平行四边形面积相加，得关于的函数，进行三角恒等变换整理成求最大值.
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