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浙江省名校协作体2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·浙江开学考）向量，，且，则实数的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．3 D．7
【答案】B
【知识点】数量积的坐标表达式
【解析】【解答】由已知可得，解得.
故答案为：B.
【分析】利用向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，即可解得.
2．（2019高三上·大冶月考） （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据复数除法法则化简复数，即得结果.
3．（2022高二上·浙江开学考）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】还原直观图为原图形如图所示，
因为，所以，还原回原图形后，
，；
所以原图形的面积为．
故答案为：D
【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．
4．（2022高二上·浙江开学考）设，为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题错误的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若且，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A，当且时，，所以A符合题意，
对于B，当且时，过作平面，交于直线，则∥，因为，所以，因为，所以，所以B符合题意，
对于C，当且时，，可能平行，可能异面，可能相交，C不符合题意，
对于D，当且时，则，所以D符合题意，
故答案为：C
【分析】根据线面平行、面面平行的判定和性质，线面垂直、面面垂直的判定分析判断即可.
5．（2022高二上·浙江开学考）函数的部分大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】函数定义域为，
则，
即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A；
又，故排除C；，故排除B；
故答案为：D
【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值及排除法判断即可.
6．（2022高二上·浙江开学考）在中，角，，所对的边分别为，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由得，，令
则上式等价于，取AD中点E，连接BE，如图，
而，故只需求∠CBE的最大值，设，则
固定CE ， 由平面几何知识，
故答案为：A
【分析】根据数量积可知三角形中，作出图形，由平面几何知识得出角的最值即可.
7．（2022高二上·浙江开学考）如图，各棱长均相等的正三棱柱中，点为棱的中点，点为棱的三等分点（靠近），点为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥体积为定值
B．三棱锥体积为定值
C．当时，三棱柱被截面分成的上下两部分体积相等
D．当时，三棱柱被截面分成的上下两部分体积相等
【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】A项，到平面距离为定值， 但不为定值，故，不为定值， 故错误；
B项， 到平面距离为定值， 但 不为定值，故不为定值，故错误；
C、D项：由于，由对称性知当时，三棱柱被截面MNP分成的上下两部分体积相等，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据正三棱柱的性质结合三棱锥体积公式可判断AB选项，再由正三棱柱的对称性判断CD.
8．（2022高二上·浙江开学考）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，
所以在时，，
所以.
故答案为：B
【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.
二、多选题
9．（2022高二上·浙江开学考）在平面直角坐标系中，角以正半轴为始边，终边与单位圆（原点为圆心）交于点，则符合条件的角可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】对A，当时，，故错误；
对B，当时，，故正确；
对C，当时，，故正确；
对D，当时，，故错误.
故答案为：BC
【分析】根据题意知角的余弦为，据此求解即可.
10．（2022高二上·浙江开学考）已知非零实数，，满足，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A选项，由于，故，所以，正确；
B选项，取 知不成立，错误；
C选项，取知不成立，错误；
D选项，由于得， 而， 故，正确.
故答案为：AD
【分析】根据题意知故可判断A，取特殊值判断BC，由不等式的性质判断D.
11．（2022高二上·浙江开学考）已知时，，则关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．方程的解只有一个
B．方程的解有五个
C．方程的解有五个
D．方程的解有五个
【答案】A,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】作出图象，如图，
A项，因为，显然与有唯一交点，故正确；
B项，令，则或或或或个解，故错误；
C项，令，则
有3个解，
有2个解，共有5个解，故正确；
D项，令，则
有3个解，有2个解，共有5个解，故正确.
故答案为：ACD
【分析】作出函数的图象，数形结合，由的值及范围求解四个选项中方程解的个数逐一判断.
12．（2022高二上·浙江开学考）如图三棱锥的所有棱长均相等，、为棱、上（包括端点）的动点，直线与平面、平面所成的角分别为、，则下列判断正确的是（ ）
A．正负与点、点位置都有关
B．正负由点确定，与点位置无关
C．最大为
D．最小为
【答案】B,C,D
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：取中点，连接、，
过点在平面内分别作、，垂足分别为点、，
如下图所示：
在三棱锥中，、均为等边三角形，
因为为的中点，则，，
，、平面，平面，
平面，，
，，、平面，平面，
所以，直线与平面所成角为，即，同理，
所以，，，所以，，
所以，的正负只与点的位置有关，A不符合题意B对；
设，则，且，
在中，，
所以，，
则，所以，，
将正四面体补成正方体，如下图所示：
连接，在线段上取点，使得，
因为且，故四边形为平行四边形，
平面，平面，，
所以，四边形为矩形，且，
因为且，故四边形为矩形，则且，
平面，则，故，
设，因为四边形为正方形，则，
所以，，且、，故，
故，
则，，CD都对.
故答案为：BCD.
【分析】取中点，连接、，过点在平面内分别作、，垂足分别为点、，利用线面角的定义可判断AB选项；求出的最大值和最小值，结合线面角的定义可判断CD选项.
三、填空题
13．（2022高三上·潍坊期末）已知圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形.
则圆锥的底面直径为2，母线长为 ，
故该圆锥的侧面积为 ，
故答案为：
【分析】根据圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形可求得底面半径和母线长，即可求出该圆锥的侧面积.
14．（2022高二上·浙江开学考）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵函数的图象恒过定点，则，
∴，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：.
【分析】由指数函数的性质，可得，再根据基本不等式“”的用法，即可求出结果.
15．（2022高二上·浙江开学考）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】由题意可知，
由，可得，
则，则，
故，
故答案为：
【分析】根据对数性质判断，由已知利用对数运算可求得a，b，即得答案.
16．（2022高二上·浙江开学考）如图，正的外接圆半径为，点是劣弧上的一动点，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由圆的性质可知，，
，是与同向的单位向量，
设，原式可化为，
由外接圆半径可知，，
，
当时，有最小值，
即的最小值为.
故答案为：
【分析】由圆的性质可知，是与共线，，原式可化为换求的最小值.
四、解答题
17．（2022高二上·浙江开学考）设是实数，复数，（是虚数单位）．
（1）在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）求的最小值．
【答案】（1）解：，则，解得
（2）解：，则，，，当时，的最小值为．
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）化简复数，由已知列不等式组，解出的取值范围；
（2）求出，利用二次函数的性质可得最小值．
18．（2022高二上·浙江开学考）已知集合，集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意，，所以或，
因为，所以或，
解得或，
所以实数m的取值范围是或.
（2）解：假设存在实数m，使得是的必要不充分条件，
则，即，
则，解得，
故存在实数使得是的必要不充分条件.
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【分析】（1）化简集合N，求出其补集，由列出不等式组求解即可；
（2）根据必要不充分条件转化为，列出不等式组求解即可.
19．（2022高二上·浙江开学考）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若在上存在最小值，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：
，
由，得，
所以的单调递增区间为：
（2）解：当时，，
因为在上存在最小值，所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）先根据差角的正弦公式及辅助角公式化简得，由计算得解.
（2）由题知， 在上存在最小值，所以， 从而得解.
20．（2022高二上·浙江开学考）已知梯形木板，，米，米，现要把木板沿线段锯成面积相等的两部分，其中点在线段上，在另外的三条边上．
（1）当在线段上，设米，米，求的值；
（2）求锯痕的最小值．
【答案】（1）解：过点、分别作、，垂足分别为点、，
因为，，，故四边形为等腰梯形，
所以，，又因为，则，
，
因为、，则，且，
所以，四边形为平行四边形，则，，
所以，，则，故，，
故，
，即，故.
（2）解：当点在上时，，，
当且仅当时，等号成立，即；
当点在上（不包括端点）时，四边形为梯形，
因为，当且仅当、分别为、的中点时，
则，当且仅当、分别为、的中点时取最小值；
当点在上时，由题意可知，由对称性可知，.
综上所述，长度的最小值为米.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1 过点、分别作、，垂足分别为点、， 计算出，可求得梯形的面积，再利用三角形的面积公式可求得；
（2）对点所在位置进行分类讨论，结合基本不等式以及梯形的几何性质可求得在不同情况下的最小值，综合可得结果.
21．（2022高二上·浙江开学考）用文具盒中的两块直角三角板（直角三角形和直角三角形）绕着公共斜边翻折成的二面角，如图和，，，，，将翻折到，使二面角成，为边上的点，且．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：取BC中点F，连接，如图，
由已知知；又，则，
，
，，即，
又，平面，
平面，.
（2）解：以F为坐标原点建系如图，
则，
故，，，
设平面的法向量，则
令，则，即，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）取BC中点F，连接 ，可证明 平面 ，再由线面垂直的性质即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.
22．（2022高二上·浙江开学考）已知函数．
（1）时，①求不等式的解集；②若对任意的，，求实数取值范围；
（2）若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
①由，得，
当时，，解得，
当时，恒成立，得，
综上，
所以不等式的解集为，
②因为，
所以在上为增函数，
当时，不恒成立，
当时，由，得，
所以，所以恒成立，
所以，此时不存在，
当时，由，得，
所以，所以恒成立，
所以，得，
综上，，即实数取值范围为
（2）解：由，得，
当时，恒成立，
当时，恒成立，所以，
所以，得，
由，得，得，
当时，，，
所以，
所以存在满足以上不等式，则，得，此时，
当时，，，
所以有解，
所以，解得，
综上可得，即实数的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）①分和两种情况求解即可，②先判断函数的单调性，然后分，和三种情况求解，
（2）当时，恒成立，当时，恒成立，所以，得，由，得，然后分和求出和，使可求得结果.
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浙江省名校协作体2022-2023学年高二上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2022高二上·浙江开学考）向量，，且，则实数的值为（ ）
A．-3 B．-1 C．3 D．7
2．（2019高三上·大冶月考） （ ）
A． B． C． D．
3．（2022高二上·浙江开学考）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．
4．（2022高二上·浙江开学考）设，为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题错误的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若且，则
5．（2022高二上·浙江开学考）函数的部分大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高二上·浙江开学考）在中，角，，所对的边分别为，，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022高二上·浙江开学考）如图，各棱长均相等的正三棱柱中，点为棱的中点，点为棱的三等分点（靠近），点为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．三棱锥体积为定值
B．三棱锥体积为定值
C．当时，三棱柱被截面分成的上下两部分体积相等
D．当时，三棱柱被截面分成的上下两部分体积相等
8．（2022高二上·浙江开学考）已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高二上·浙江开学考）在平面直角坐标系中，角以正半轴为始边，终边与单位圆（原点为圆心）交于点，则符合条件的角可以是（ ）
A． B． C． D．
10．（2022高二上·浙江开学考）已知非零实数，，满足，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022高二上·浙江开学考）已知时，，则关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．方程的解只有一个
B．方程的解有五个
C．方程的解有五个
D．方程的解有五个
12．（2022高二上·浙江开学考）如图三棱锥的所有棱长均相等，、为棱、上（包括端点）的动点，直线与平面、平面所成的角分别为、，则下列判断正确的是（ ）
A．正负与点、点位置都有关
B．正负由点确定，与点位置无关
C．最大为
D．最小为
三、填空题
13．（2022高三上·潍坊期末）已知圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 ．
14．（2022高二上·浙江开学考）函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为 ．
15．（2022高二上·浙江开学考）已知，，则 ．
16．（2022高二上·浙江开学考）如图，正的外接圆半径为，点是劣弧上的一动点，则的最小值为 ．
四、解答题
17．（2022高二上·浙江开学考）设是实数，复数，（是虚数单位）．
（1）在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）求的最小值．
18．（2022高二上·浙江开学考）已知集合，集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
19．（2022高二上·浙江开学考）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若在上存在最小值，求实数的取值范围．
20．（2022高二上·浙江开学考）已知梯形木板，，米，米，现要把木板沿线段锯成面积相等的两部分，其中点在线段上，在另外的三条边上．
（1）当在线段上，设米，米，求的值；
（2）求锯痕的最小值．
21．（2022高二上·浙江开学考）用文具盒中的两块直角三角板（直角三角形和直角三角形）绕着公共斜边翻折成的二面角，如图和，，，，，将翻折到，使二面角成，为边上的点，且．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22．（2022高二上·浙江开学考）已知函数．
（1）时，①求不等式的解集；②若对任意的，，求实数取值范围；
（2）若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】数量积的坐标表达式
【解析】【解答】由已知可得，解得.
故答案为：B.
【分析】利用向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，即可解得.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：
故答案为：D.
【分析】根据复数除法法则化简复数，即得结果.
3．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】还原直观图为原图形如图所示，
因为，所以，还原回原图形后，
，；
所以原图形的面积为．
故答案为：D
【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．
4．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】对于A，当且时，，所以A符合题意，
对于B，当且时，过作平面，交于直线，则∥，因为，所以，因为，所以，所以B符合题意，
对于C，当且时，，可能平行，可能异面，可能相交，C不符合题意，
对于D，当且时，则，所以D符合题意，
故答案为：C
【分析】根据线面平行、面面平行的判定和性质，线面垂直、面面垂直的判定分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】函数定义域为，
则，
即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A；
又，故排除C；，故排除B；
故答案为：D
【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值及排除法判断即可.
6．【答案】A
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由得，，令
则上式等价于，取AD中点E，连接BE，如图，
而，故只需求∠CBE的最大值，设，则
固定CE ， 由平面几何知识，
故答案为：A
【分析】根据数量积可知三角形中，作出图形，由平面几何知识得出角的最值即可.
7．【答案】D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】A项，到平面距离为定值， 但不为定值，故，不为定值， 故错误；
B项， 到平面距离为定值， 但 不为定值，故不为定值，故错误；
C、D项：由于，由对称性知当时，三棱柱被截面MNP分成的上下两部分体积相等，C不符合题意，D符合题意.
故答案为：D
【分析】根据正三棱柱的性质结合三棱锥体积公式可判断AB选项，再由正三棱柱的对称性判断CD.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，
所以在时，，
所以.
故答案为：B
【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.
9．【答案】B,C
【知识点】任意角三角函数的定义
【解析】【解答】对A，当时，，故错误；
对B，当时，，故正确；
对C，当时，，故正确；
对D，当时，，故错误.
故答案为：BC
【分析】根据题意知角的余弦为，据此求解即可.
10．【答案】A,D
【知识点】不等式的基本性质
【解析】【解答】A选项，由于，故，所以，正确；
B选项，取 知不成立，错误；
C选项，取知不成立，错误；
D选项，由于得， 而， 故，正确.
故答案为：AD
【分析】根据题意知故可判断A，取特殊值判断BC，由不等式的性质判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】作出图象，如图，
A项，因为，显然与有唯一交点，故正确；
B项，令，则或或或或个解，故错误；
C项，令，则
有3个解，
有2个解，共有5个解，故正确；
D项，令，则
有3个解，有2个解，共有5个解，故正确.
故答案为：ACD
【分析】作出函数的图象，数形结合，由的值及范围求解四个选项中方程解的个数逐一判断.
12．【答案】B,C,D
【知识点】棱锥的结构特征
【解析】【解答】解：取中点，连接、，
过点在平面内分别作、，垂足分别为点、，
如下图所示：
在三棱锥中，、均为等边三角形，
因为为的中点，则，，
，、平面，平面，
平面，，
，，、平面，平面，
所以，直线与平面所成角为，即，同理，
所以，，，所以，，
所以，的正负只与点的位置有关，A不符合题意B对；
设，则，且，
在中，，
所以，，
则，所以，，
将正四面体补成正方体，如下图所示：
连接，在线段上取点，使得，
因为且，故四边形为平行四边形，
平面，平面，，
所以，四边形为矩形，且，
因为且，故四边形为矩形，则且，
平面，则，故，
设，因为四边形为正方形，则，
所以，，且、，故，
故，
则，，CD都对.
故答案为：BCD.
【分析】取中点，连接、，过点在平面内分别作、，垂足分别为点、，利用线面角的定义可判断AB选项；求出的最大值和最小值，结合线面角的定义可判断CD选项.
13．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形.
则圆锥的底面直径为2，母线长为 ，
故该圆锥的侧面积为 ，
故答案为：
【分析】根据圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形可求得底面半径和母线长，即可求出该圆锥的侧面积.
14．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】∵函数的图象恒过定点，则，
∴，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：.
【分析】由指数函数的性质，可得，再根据基本不等式“”的用法，即可求出结果.
15．【答案】
【知识点】对数的运算性质
【解析】【解答】由题意可知，
由，可得，
则，则，
故，
故答案为：
【分析】根据对数性质判断，由已知利用对数运算可求得a，b，即得答案.
16．【答案】
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】由圆的性质可知，，
，是与同向的单位向量，
设，原式可化为，
由外接圆半径可知，，
，
当时，有最小值，
即的最小值为.
故答案为：
【分析】由圆的性质可知，是与共线，，原式可化为换求的最小值.
17．【答案】（1）解：，则，解得
（2）解：，则，，，当时，的最小值为．
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【分析】（1）化简复数，由已知列不等式组，解出的取值范围；
（2）求出，利用二次函数的性质可得最小值．
18．【答案】（1）解：由题意，，所以或，
因为，所以或，
解得或，
所以实数m的取值范围是或.
（2）解：假设存在实数m，使得是的必要不充分条件，
则，即，
则，解得，
故存在实数使得是的必要不充分条件.
【知识点】集合的包含关系判断及应用
【解析】【分析】（1）化简集合N，求出其补集，由列出不等式组求解即可；
（2）根据必要不充分条件转化为，列出不等式组求解即可.
19．【答案】（1）解：
，
由，得，
所以的单调递增区间为：
（2）解：当时，，
因为在上存在最小值，所以，
所以.
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）先根据差角的正弦公式及辅助角公式化简得，由计算得解.
（2）由题知， 在上存在最小值，所以， 从而得解.
20．【答案】（1）解：过点、分别作、，垂足分别为点、，
因为，，，故四边形为等腰梯形，
所以，，又因为，则，
，
因为、，则，且，
所以，四边形为平行四边形，则，，
所以，，则，故，，
故，
，即，故.
（2）解：当点在上时，，，
当且仅当时，等号成立，即；
当点在上（不包括端点）时，四边形为梯形，
因为，当且仅当、分别为、的中点时，
则，当且仅当、分别为、的中点时取最小值；
当点在上时，由题意可知，由对称性可知，.
综上所述，长度的最小值为米.
【知识点】基本不等式
【解析】【分析】（1 过点、分别作、，垂足分别为点、， 计算出，可求得梯形的面积，再利用三角形的面积公式可求得；
（2）对点所在位置进行分类讨论，结合基本不等式以及梯形的几何性质可求得在不同情况下的最小值，综合可得结果.
21．【答案】（1）证明：取BC中点F，连接，如图，
由已知知；又，则，
，
，，即，
又，平面，
平面，.
（2）解：以F为坐标原点建系如图，
则，
故，，，
设平面的法向量，则
令，则，即，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【分析】（1）取BC中点F，连接 ，可证明 平面 ，再由线面垂直的性质即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.
22．【答案】（1）解：当时，，
①由，得，
当时，，解得，
当时，恒成立，得，
综上，
所以不等式的解集为，
②因为，
所以在上为增函数，
当时，不恒成立，
当时，由，得，
所以，所以恒成立，
所以，此时不存在，
当时，由，得，
所以，所以恒成立，
所以，得，
综上，，即实数取值范围为
（2）解：由，得，
当时，恒成立，
当时，恒成立，所以，
所以，得，
由，得，得，
当时，，，
所以，
所以存在满足以上不等式，则，得，此时，
当时，，，
所以有解，
所以，解得，
综上可得，即实数的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）①分和两种情况求解即可，②先判断函数的单调性，然后分，和三种情况求解，
（2）当时，恒成立，当时，恒成立，所以，得，由，得，然后分和求出和，使可求得结果.
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